HPM視角下“有理數(shù)的乘方”教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

徐敬元 黃賢明

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著獨(dú)一無二的教育價(jià)值.乘方是初中數(shù)學(xué)的重要概念，擁有著豐富的歷史底蘊(yùn).在HPM視角下，以蘇科版“有理數(shù)的乘方”一課的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，指出HPM教學(xué)應(yīng)以目標(biāo)為導(dǎo)向選取史料，以活動(dòng)為載體加工史料，以德育為基點(diǎn)運(yùn)用史料.

［關(guān)鍵詞］ HPM；有理數(shù)的乘方；教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的重要構(gòu)成部分，在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著獨(dú)一無二的教育價(jià)值. 已有的實(shí)踐研究證實(shí)，數(shù)學(xué)史具有知識(shí)之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅和德育之效的教育價(jià)值? ［1］ . 乘方是初中數(shù)學(xué)課程中的重要概念. 蘇科版教材先創(chuàng)設(shè)“拉面”的情境引入課題，然后通過折紙實(shí)驗(yàn)得到多個(gè)2相乘的算式，進(jìn)而給出了冪的符號(hào)以及乘方、底數(shù)、指數(shù)和冪的概念.

對(duì)于初中生來說，從26到an到四個(gè)數(shù)學(xué)概念是認(rèn)識(shí)上的一次飛躍. 在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生首次接觸冪的符號(hào)時(shí)，對(duì)其認(rèn)識(shí)還停留于過去的經(jīng)驗(yàn)，將26認(rèn)為是2×6，并沒有將符號(hào)所表示的內(nèi)容與四個(gè)概念對(duì)應(yīng)起來. 因此，對(duì)于符號(hào)的給出與乘方概念的建構(gòu)并非如同教材設(shè)計(jì)的那樣順利，若“蜻蜓點(diǎn)水”般帶過，則學(xué)生形成的概念大多停留于記憶層面而非理解層面，這不利于后續(xù)乘方運(yùn)算的探索. 事實(shí)上，從歷史上來看，關(guān)于乘方的歷史故事較為豐富，冪的符號(hào)的起源與發(fā)展也沉淀著深厚的歷史文化底蘊(yùn)，如今冪的符號(hào)是一代代數(shù)學(xué)家在生動(dòng)實(shí)踐中的智慧結(jié)晶，是幫助學(xué)生理解概念的重要素材，擁有豐富的德育價(jià)值. 基于此，在HPM視角下對(duì)“有理數(shù)的乘方”一課進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)與思考.

史料的內(nèi)容及其運(yùn)用

1. 關(guān)于乘方的歷史故事

（1）棋盤擺米的故事.

故事大意為：古印度人西塔發(fā)明了國際象棋而受到國王的賞賜，西塔要求按“1，2，4，8，…”的規(guī)律在64格棋盤內(nèi)擺上對(duì)應(yīng)數(shù)的米粒，國王不假思索就答應(yīng)了. 事實(shí)上，格子內(nèi)的米粒數(shù)依次對(duì)應(yīng)著“20，21，22，23，…，263”，所需的米粒數(shù)近乎1. 8×1019.

（2）阿基米德的大數(shù)記法.

古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（Archi-medes，公元前287年—公元前212年）在《數(shù)沙者》中引入了大數(shù)記法：從1數(shù)到1萬萬記為一階數(shù)，從1萬萬數(shù)到1萬萬個(gè)1萬萬記為二階數(shù)，從1萬萬個(gè)1萬萬數(shù)到1萬萬個(gè)1萬萬個(gè)1萬萬記為三階數(shù)，以此類推. 他得到“充滿宇宙”的沙子數(shù)不超過1000個(gè)七階數(shù)，即不超過1051.

2. 關(guān)于冪的符號(hào)的發(fā)展歷史

關(guān)于冪的符號(hào)的發(fā)展大致經(jīng)歷了兩個(gè)階段? ?［2］.

第一階段：由于古代數(shù)學(xué)運(yùn)算并沒有涉及較高次的冪，所以古代數(shù)學(xué)家對(duì)于冪的符號(hào)的設(shè)計(jì)從平方與立方的符號(hào)出發(fā)，通過平方與立方符號(hào)的組合來表示更高次的冪. 例如：古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantus，246—300）在《算數(shù)》中用“ΔY”表示平方，用“KY”表示立方，四次方就是“ΔYΔ”的形式，五次方是“ΔKY”的形式. 顯然，這種表示冪的方法雖然圍繞著同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則，但對(duì)于較高次的冪卻難以表示，并且這樣的表示方法沒有將指數(shù)與底數(shù)聯(lián)系起來.

第二階段：16世紀(jì)，隨著法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)（F.Viète，1540—1603）提出“字母表示數(shù)”，冪的記法出現(xiàn)了“新天地”. 對(duì)于“a2，a3，a4，a5，…”的表示，數(shù)學(xué)家們眾說紛紜. 比如韋達(dá)提出用“a.q，a.cu，a.qq，a.qcu，…”來表示；英國數(shù)學(xué)家哈里奧特（T.Harriot，1560—1621）提出用“aa，aaa，aaaa，aaaaa，…”來表示；法國數(shù)學(xué)家艾里岡（P.Hérigone，1580—1643）提出用“a2，a3，a4，a5，…”表示；比利時(shí)數(shù)學(xué)家羅曼努斯（A.Romanus，1561—1615）提出用“a（2），a（3），a（4），a（5），…”來表示……直達(dá)1637年，法國數(shù)學(xué)家笛卡兒（R.Descartes，1596—1650）創(chuàng)用了冪的新符號(hào)“an”，這個(gè)符號(hào)一直沿用至今.

從歷史上來看，冪的符號(hào)從圖形符號(hào)逐漸向字母符號(hào)發(fā)展，隨著較高次冪的表示的需要，符號(hào)設(shè)計(jì)趨向于實(shí)用、便捷，利于書寫，不易混淆，且能夠體現(xiàn)冪的意義.

3. 史料運(yùn)用

本節(jié)課從多個(gè)角度融入數(shù)學(xué)史（見表1），旨在以數(shù)學(xué)史激發(fā)學(xué)生的探究興趣，追溯冪的符號(hào)的發(fā)展歷史，促使學(xué)生理解與運(yùn)用乘方的意義；旨在提升學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng).

“有理數(shù)的乘方”的教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 故事引入

呈現(xiàn)棋盤擺米的故事.

問題1? 從數(shù)學(xué)的角度思考，如果你是國王你會(huì)不會(huì)答應(yīng)西塔的要求？

問題2? 按照西塔的擺法，第4格、第5格應(yīng)該放多少粒米？

教師引導(dǎo)學(xué)生呈現(xiàn)3個(gè)2相乘、4個(gè)2相乘的過程（如圖1所示）.

追問：第10格放的米粒數(shù)應(yīng)該怎么表示？第64格呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生將米粒數(shù)的運(yùn)算過程表示出來，并指出這是多個(gè)相同的數(shù)相乘的運(yùn)算，類比乘法運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)，呈現(xiàn)乘方的概念：求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫乘方.

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)史上的名人軼事是課堂教學(xué)的重要素材，這里選取“棋盤擺米”的故事既可以引出乘方運(yùn)算，又可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為課堂增添了人文色彩. 問題1的設(shè)計(jì)讓學(xué)生站在國王的角度用數(shù)學(xué)思維思考問題，從對(duì)米粒數(shù)的感性認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)向理性思考；問題2及其追問讓學(xué)生在理性角度分析米粒數(shù)，揭示乘方運(yùn)算的概念及其學(xué)習(xí)意義，同時(shí)為后續(xù)引出乘方符號(hào)埋下伏筆.

2. 新知探索

活動(dòng)1? 設(shè)計(jì)冪的符號(hào).

63個(gè)2相乘是一個(gè)相當(dāng)大的數(shù)（二十位數(shù)），書寫起來也較為復(fù)雜，那么如何將63個(gè)2相乘用清晰、明確、簡潔的符號(hào)表示出來呢？請(qǐng)你發(fā)揮創(chuàng)造力，設(shè)計(jì)冪的符號(hào)，并與小組成員分享一下你的設(shè)計(jì)思路.

學(xué)生激烈討論，教師巡視. 在活動(dòng)中，有學(xué)生根據(jù)小學(xué)平方、立方運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)，將63個(gè)2相乘寫作263；有學(xué)生用三角形、圓形等基本圖形設(shè)計(jì)冪的符號(hào)……討論結(jié)束后，教師請(qǐng)學(xué)生代表上臺(tái)分享他們的設(shè)計(jì)思路.

問題3? 在設(shè)計(jì)冪的符號(hào)的過程中，需要注意哪些關(guān)鍵信息呢？

教師指出，設(shè)計(jì)的冪的符號(hào)要能揭示乘方運(yùn)算的本質(zhì)，即冪的符號(hào)要表示出多少個(gè)什么數(shù)相乘. 在符號(hào)設(shè)計(jì)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系過去探索的經(jīng)驗(yàn)，類比平方、立方的書寫，將63個(gè)2相乘記作263，讀作“2的63次方”，并要求學(xué)生從形式上解釋符號(hào)中各個(gè)數(shù)的含義.

問題4? 若是64個(gè)2相乘，應(yīng)該怎么表示？若是n個(gè)2相乘呢？若是n個(gè)a相乘呢？它們分別讀作什么？

學(xué)生類比263的書寫，依次寫出264，2n，an，讀作“2的64次方”“2的n次方”“a的n次方”. 教師指出：在乘方運(yùn)算中，相同因數(shù)叫底數(shù)，相同因數(shù)的個(gè)數(shù)叫指數(shù)，乘方運(yùn)算的結(jié)果叫冪（如圖2所示）.

設(shè)計(jì)意圖 由63個(gè)2相乘的復(fù)雜表示引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示冪的符號(hào)的必要性. 同時(shí)以創(chuàng)造符號(hào)的活動(dòng)激發(fā)學(xué)生“再創(chuàng)造”的熱情，并培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，促使學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 教師加以提示與引導(dǎo)，讓符號(hào)的設(shè)計(jì)與乘方的本質(zhì)建立聯(lián)系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)乘方概念的理解.

活動(dòng)2? 歷史上冪的符號(hào).

現(xiàn)在所學(xué)的冪的符號(hào)是一批批數(shù)學(xué)家在實(shí)踐中不斷革新、改良，最終呈現(xiàn)出的一份完美的“答卷”，這既源于他們對(duì)數(shù)學(xué)探索的“孜孜不倦”，又是他們智慧的結(jié)晶. 讓我們回顧冪符號(hào)的產(chǎn)生與發(fā)展歷史（如圖3所示）.

問題5 冪符號(hào)的發(fā)展歷史對(duì)你學(xué)習(xí)有理數(shù)的乘方有什么啟示？

教師鼓勵(lì)學(xué)生暢所欲言，并進(jìn)一步深化對(duì)乘方的理解.

設(shè)計(jì)意圖 通過重構(gòu)冪符號(hào)的歷史，一方面，讓學(xué)生在歷史中汲取前人的經(jīng)驗(yàn)，形成對(duì)冪符號(hào)的文化性理解；另一方面，讓學(xué)生在歷史中感悟數(shù)學(xué)家的科學(xué)精神，感受數(shù)學(xué)符號(hào)的簡潔美，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史的“德育之效”.

3. 概念應(yīng)用

例1 讀一讀，先列式再計(jì)算.

（1）25；（2）73；（3）（-3）4；（4）（-4）3.

例2 計(jì)算.

問題7? 從符號(hào)的角度出發(fā)，乘方運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)如何確定？

教師先啟發(fā)學(xué)生分類討論底數(shù)的符號(hào)，并追問：正數(shù)的冪的符號(hào)如何確定？負(fù)數(shù)呢？以此引導(dǎo)學(xué)生回顧例1與例2的結(jié)果，促使學(xué)生總結(jié)出：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 從兩個(gè)例題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生表述各個(gè)算式的意義后進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)乘方概念的理解. 同時(shí)，指出乘方運(yùn)算的優(yōu)先性與運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生分類、歸納、推理、總結(jié)的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

4. 拓展提升

古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在《數(shù)沙者》一書中數(shù)清了“充滿宇宙”的沙子數(shù). 他從最大數(shù)字單位“萬”開始，引入“萬萬（億）”作為一階單位，“億億”作為二階單位，“億億億”作為三階單位，以此類推.

問題8? 如何用冪的形式表示出“萬”“萬萬”等單位呢？觀察下列各式，并填空.

十：10 = 101；

百：100=10×10=102；

千：1000=10×10×10=103；

萬：10000=10×10×10×10=104；

十萬：100000=____=105；

百萬：1000000=____=____；

千萬：10000000=____=____；

萬萬（億）：100000000=______=______.

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)底數(shù)為10的冪的規(guī)律，并補(bǔ)充解釋：“億億”是1016，“億億億”是1024，阿基米德提出“充滿宇宙”的沙子數(shù)不會(huì)超過1000個(gè)七階數(shù)，也就是不超過1051，由此可見，冪能夠幫助我們把一個(gè)很大的數(shù)簡單地表示出來.

設(shè)計(jì)意圖 以順應(yīng)式呈現(xiàn)阿基米德數(shù)沙粒的故事，引發(fā)學(xué)生討論以10為底數(shù)的冪的規(guī)律，為“科學(xué)記數(shù)法”的學(xué)習(xí)做鋪墊，也進(jìn)一步揭示乘方的價(jià)值意義.

5. 總結(jié)升華

教師呈現(xiàn)本課的總結(jié)提綱：

（1）通過本課的學(xué)習(xí)，你對(duì)乘方有了哪些認(rèn)識(shí)？

（2）本課中的歷史故事對(duì)你有什么啟發(fā)？

（3）對(duì)于今天的學(xué)習(xí)，你還有哪些感想或疑惑？

設(shè)計(jì)意圖 通過回顧課堂所學(xué)的概念，讓學(xué)生完善知識(shí)體系. 通過回顧課堂滲透的數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生再次感受數(shù)學(xué)家的科學(xué)精神. 同時(shí)教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生求知欲的激發(fā)，通過讓學(xué)生提出感想或疑惑，形成課后的拓展性作業(yè)，從而將學(xué)習(xí)延伸至課堂外.

教學(xué)反思

隨著數(shù)學(xué)史的價(jià)值逐漸被教育工作者所重視，課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史是“大勢所趨”. 數(shù)學(xué)史的融入并非只是復(fù)制、呈現(xiàn)相關(guān)史料，更應(yīng)重視對(duì)史料的精選、加工、運(yùn)用，使之更好地服務(wù)于學(xué)生新知的學(xué)習(xí)、興趣的培養(yǎng)、文化的傳承、思想的感悟，真正彰顯數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史從“史學(xué)形態(tài)”向“教育形態(tài)”的轉(zhuǎn)變.

1. 以目標(biāo)為導(dǎo)向的史料選取

在HPM視角下進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，教師常常會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)史的選取產(chǎn)生困惑. 那么如何選取數(shù)學(xué)史，可使其滿足可學(xué)性、有效性等原則呢？? ?［3］首先，教師在選定課題的基礎(chǔ)上查閱相關(guān)史料，初步篩選具有科學(xué)性與可學(xué)性的史料；其次，確定教學(xué)目標(biāo)，在目標(biāo)的導(dǎo)向下進(jìn)一步精選史料. 例如，為達(dá)到“經(jīng)歷符號(hào)‘再創(chuàng)造的過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的目標(biāo)，對(duì)于史料的選取就應(yīng)偏向于冪符號(hào)的發(fā)展歷史. 另外，筆者發(fā)現(xiàn)，中國古代冪概念的發(fā)展也有著源遠(yuǎn)歷史，但是該史料并不能促進(jìn)學(xué)生理解冪的概念，更多是一種文化熏陶，故沒有將該史料融入教學(xué)設(shè)計(jì).

2. 以活動(dòng)為載體的史料加工

經(jīng)歷數(shù)學(xué)史料的選取后，下一步工作就是將史料轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”，即史料加工，如刪減、修改、問題化等，以數(shù)學(xué)活動(dòng)為載體呈現(xiàn)到課堂教學(xué)中. 例如，在冪的符號(hào)的加工環(huán)節(jié)中，先設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)——“歷史上冪的符號(hào)”，然后將史料精簡化，梳理符號(hào)發(fā)展的線索，突出關(guān)鍵符號(hào)，設(shè)置“談啟示”的問題，進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)乘方的理解.

3. 以德育為基點(diǎn)的史料運(yùn)用

立德樹人是當(dāng)今教育的根本任務(wù). 研究表明，數(shù)學(xué)史的德育價(jià)值主要圍繞“理性、情感、信念與品質(zhì)”? ?［4］. 在數(shù)學(xué)德育的視角下，數(shù)學(xué)史也是滲透德育的有效途徑. 從情感的角度來看，棋盤擺米的故事不僅生動(dòng)有趣，還能激發(fā)學(xué)生“幫助”國王解決問題的熱情；從理性的角度來看，冪的符號(hào)的設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)，既能讓學(xué)生追求創(chuàng)新，大膽設(shè)計(jì)，又能讓學(xué)生回歸理性，探索冪符號(hào)與乘方意義之間的關(guān)系；從信念的角度來看，冪的符號(hào)的發(fā)展歷史告訴學(xué)生，數(shù)學(xué)的發(fā)展是曲折又光明的；從品質(zhì)的角度來看，阿基米德的智慧能鼓勵(lì)學(xué)生勤思樂思、勇于開拓. 在教學(xué)實(shí)踐中，數(shù)學(xué)史并非教師的“作秀”工具，數(shù)學(xué)史的滲透有其深層次的價(jià)值與意義? ［5］. 教師應(yīng)以學(xué)生的全面發(fā)展為價(jià)值導(dǎo)向，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)史的“德育之效” .

參考文獻(xiàn)：

［1］王鑫，岳增成，汪曉勤. HPM研究的框架與進(jìn)展［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2021，60（06）：7-12+19.

［2］汪曉勤. 同底數(shù)冪運(yùn)算律的歷史［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2015（01）：46-48.

［3］陳晏蓉，汪曉勤. 數(shù)學(xué)史料的選取原則與案例分析［J］. 教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2017（12）：37-43.

［4］汪曉勤，鄒佳晨. 基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)學(xué)科德育內(nèi)涵課例分析［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（03）：7-12+19.

［5］黃賢明. 數(shù)學(xué)史滲透數(shù)學(xué)教學(xué)的微思考——以“有理數(shù)”單元為例［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2022（06）：49-51.