問題驅動，滲透模型意識

徐永婷 戴志洪

［摘要］ 問題是數學的心臟，數學發展始終都在不斷地提出問題和解決問題。恰當而有效的問題可以充分激發學生的求知欲，啟發學生深層次思考。本文以“20以內退位減的復習”教學為例，立足學生的認知基礎，巧用問題引領，讓學生在有趣的游戲情境中經歷完整的活動過程，理解退位減法的計算模型，培養數學模型意識。

［關鍵詞］ 模型意識；問題設計；小學數學；游戲情境

一、巧設情境，提出問題

[情境一]回顧梳理20以內的退位減法計算方法

1.摘蘋果游戲

談話：在上課前，我們來和小猴比賽摘蘋果吧！填一填表，誰愿意上來挑戰？

提問：口算得又對又快，是有什么好技巧嗎？

2.回顧算法

提問：就拿12-9來說，你是怎么算的？

預設：“破十法”；“平十法”；“想加算減法”。

學起于思，思源于疑。情境一中，教師設疑啟智，創設了“與小猴比賽摘蘋果”的問題情境，把學生帶入“好玩好學”的游戲情境，引導學生發現問題。借助這樣的情境，自然地引出20以內退位減的復習，讓學生在摘的過程中回憶算法。學生遇到20以內退位減的算式，可以應用“破十法”“平十法”“想加算減法”的模型來計算。當然，這種計算方法也可以推廣到其他數位的退位減法上，掌握計算模型，就能提高計算效率。

師生共同回顧算法后，學生展示和交流自己課前制作的思維導圖，積累理解算理、形成算法的學習體驗，體會到運用思維導圖整理知識的簡潔性，為今后的學習打下基礎，也為模型的構建做好鋪墊。

二、解決問題，構建模型

[情境二]觀察20以內的退位減法表（表略）

提問：現在我們把這些摘下來的蘋果放在這個表格里，可以怎么放呢？

追問：仔細觀察，除了豎著看20以內的退位減法表，還可以怎么看？

預設：豎著看；橫著看；斜著看。

1.問題引領

這張“20以內的退位減法表”藏了好多的數學奧秘，我們應該怎樣進行探究呢？

預設：圈出任一橫行或任一豎行，看看它們的被減數、減數、差是怎么變的；圈出左斜行或右斜行，看看算式的排列規律；任意讀一行，就能找到規律。

2.自主探究

談話：到底用哪種方法來探究規律比較合適？接下來我們進行一個小活動。

要求：（1）圈一圈：選擇任一橫行、豎行或斜行，將其圈出來；（2）看一看：仔細觀察你圈的那一行的算式排列有什么規律。（3）說一說：和同桌交流你的發現。

3.序列交流

第一層次：粗淺觀察到算式的整體特征（忽略了差的變化）。

預設1：豎著看，一列是十幾減9，一列是十幾減6，一列是十幾減4。

預設2：橫著看，一行是11減幾，一行是13減幾，一行16減幾。

預設3：斜著看，一斜行的得數都是4，一斜行的得數都是7，一斜行的得數都是9，斜行得數是相等的。

第二層次：深度觀察到算式的局部特征（關注了差的變化）。

預設1：豎著看，減數不變，被減數越大，差也越大。

預設2：橫著看，被減數不變，減數越小，差反而大。

預設3：斜著看，被減數和減數同時多1或者少1，差不變。

明確：斜行的算式得數相等。

4.思維完善

談話：通過觀察對比和有序思考，我們進一步探究了20以內退位減法的規律，知道了看問題要全面。

建模，就是把抽象的理論轉化成一種有“型”的模子，讓學生在觀察中發現、感悟、得出結論，既激發學生的學習興趣，又培養學生愛觀察、愛思考和愛表達的好習慣，以及解決問題的能力。孤立的算式往往看不出什么，教師巧用問題“如何把這些摘下的蘋果放進表格里”來串聯算式，讓學生經歷有效的活動過程解決問題，體會到數學與日常生活的密切聯系，同時還得出了20以內退位減法表的結構化模型，積累學生的活動經驗，培養推理能力，滲透模型意識。

三、完善結論，深化模型

[情境三]同題異構

談話：你會運用這些規律解決一些實際問題嗎？

1.我會比

小華比小紅多得幾朵小紅花？小紅比小華少得幾朵小紅花？

活動要求：（1）算一算：列式計算每一道題目；

（2）比一比：以上這三道題目有什么相同點或不同點；（3）說一說：和同桌說說你是怎么想的。

預設1：這三題都是用減法算式11-6=5去解決的。

明確：11-6=5這個算式可以解決不同的問題。

預設2：第二題和第三題都是用括線解決問題。

明確：不管是求括線上面的左邊部分，還是求括線上面的右邊部分，都是求一部分，都可以用減法來計算。

預設3：第一題是求相差多少，第二題、第三題是求一部分，都用減法計算。

小結：不論是求相差數還是求一部分，都是用減法計算的。不論是動態情境中飛走的一部分，還是靜態情境中的一部分，也都用減法去計算。

2.我會編

提問：上面這些問題都是用11-6去解決的，11-6還能解決生活中的哪些問題呢？請你獨立編題，再和同桌說一說。

“我會比”呈現了三種減法計算的問題情境，再加上二年級上冊的“已知大數與相差數，求小數需要用減法計算”，囊括了小學階段所有用減法計算的問題。教學時，教師將問題整體呈現在學生面前，學生自然從整體上認識了用減法解決的所有問題結構。由此，感悟到減法算式的模型，破除一式單題的思維定式。

“我會編”環節中，教師讓學生通過自主編題同類結構進行內化，在正逆交互中形成算式的模型結構，同時也破除了一式單題的思維定式。

四、整合資源，拓展模型

教材是教學的重要依據，但其資源是有限的。因而在教學活動中，一線教師應該學會精心整合教育資源，根據學生學情設計有層次、有內涵、形式豐富的練習。由此，讓學生在練習中獲得數學模型，鞏固數學模型，拓展數學模型。

[情境四]差不變，巧解題

1.我會變

提問：這張作業評比圖不小心被弄臟了，只知道小華和小紅的紅花朵數相差5朵，那么小華、小紅分別可能有幾朵？

追問：其實“差不變”的規律就體現在這張圖上，當小華和小紅各增加1朵，他們相差5朵，各增加2朵，他們相差也是5朵，各增加10朵呢？100朵呢？1000朵呢？只要增加或減少相同的朵數，他們的差都是不變的。

明確：觀察下面直方圖發現，第一個直方圖是被減數，第二個直方圖是減數，相差的部分就是它們的差。被減數和減數分別增加或減少相同的數，差是不變的。

接著剛才的11-6=5，在這里是解決第一行的11朵花比第二行的 6 朵花多5朵。根據上面的問題情境，小華和小紅分別可能有幾朵？這樣自然過渡，引出這一環節的練習，學生通過思考得出一系列的式子：12-7=5，13-8=5，14-9=5。這樣以一題帶出一組式子，達到結構化的訓練效果。

2.我會思

出示題目：哥哥今年12歲，弟弟今年5歲，他們相差幾歲？

提問：那去年呢？明年呢？20年后呢？

追問：他們為什么都相差7歲呢？

預設：哥哥長大，弟弟也跟著長大，他們永遠都是相差7歲。

小結：這是利用“被減數和減數同時增加或減少相同的數，差不變”的規律來解決問題，生活中處處蘊含著數學知識。

上述練習題的設計遵循從易到難、從具體到抽象的原則，“我會變”和“我會思”巧妙地將數學知識與生活實際緊密相連，選取了常見的生活場景，充分調動學生的積極性，讓學生明白數學模型的運用不僅可以解決數學問題，還可以解決生活中遇到的各種問題，鞏固所學知識，增強了學生運用模型的意識。