關于函數圖象信息提取的舉例探究

孔祥菊

【摘? 要】? 函數圖象的信息提取是問題突破的關鍵，也是初中階段需要學生重點掌握的技能.探究解析時，需要掌握信息提取的方法技巧，并能結合所學知識進行問題處理.本文對函數圖象信息提取進行舉例，分三種類型進行探究.

【關鍵詞】? 初中數學；函數；數形結合

“處理函數圖象信息”是中考數學大綱對學生的基本要求，需要學生理解題干條件，讀懂函數圖象，從中提取信息，進而解決問題.函數圖象信息的問題類型較為多樣，問題解析要結合函數的相關知識，利用函數的性質分析，下面舉例探究.

1? 函數圖象與特征系數關系

函數圖象的特征是由函數解析式的特征系數來確定的，深刻理解函數圖象與特征系數之間的關系是探究學習的重點.以二次函數圖象為例，需要關注圖象的開口方向、對稱軸、變化趨勢與特征參數之間的關系.

例1? 如圖所示1所示為對稱軸為直線x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數，且a≠0）.

小明同學得出了以下結論：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≥m（am+b）（m為任意實數），⑥當x＜﹣1時，y隨x的增大而增大.其中結論正確的個數為（? ? ）

（A）2. ? （B）4. ? ?（C）5.? ? （D）6.

思路分析? 本題目為二次函數圖象與特征系數關系分析問題，根據拋物線的開口方向可判斷a的符號，根據拋物線與y軸的交點可判斷c的符號.后續根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，下面針對六個結論進行分析.

過程解析? ①由圖象可知：a＞0，c＜0，則，可知b=-2a＜0，所以abc＞0，故①錯誤；

②由圖象可知：拋物線與x軸有兩個交點，所以b2﹣4ac＞0，則b2＞4ac，故②正確；

③由圖象可知：當x=2時，y＝4a+2b+c＜0，故③錯誤；

④由圖象可知：當x=-1時，y＝a﹣b+c=a﹣（﹣2a）+c＞0，所以3a+c＞0，故④正確；

⑤由圖象可知：當x＝1時，y取到值最小，此時y=a+b+c；而當x=m時，y=am2+bm+c，所以a+b+c≤am2+bm+c，故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤錯誤；

⑥由圖象可知：當x＜﹣1時，y隨x的增大而減小，故⑥錯誤；

綜上可知，答案為（A）.

評析? 上述探究解析二次函數圖象與特征系數之間的對應關系.解析時從三個視角進行解析判斷：視角一：根據拋物線的開口方向；視角二：根據拋物線與坐標軸的交點情形；視角三：根據拋物線上的特殊點，以及變化趨勢.

2? 函數圖象中的信息提取

函數圖象中隱含了大量的信息，涉及幾何圖形與函數圖象的情形時，需要從兩大方面進行分析：一是分析幾何圖形，提取特征性質；二是結合圖形分析函數圖象，根據其變化推導規律.常見于與幾何動點聯系緊密的函數圖象中.

例2? 如圖2-（a）所示，在等腰直角三角形ABC中，點D是斜邊BC上的動點，過點B作AB的垂線交直線AD于點E.過點C作CF⊥直線AD于點F，設AE為x，CF為y，y關于x的函數圖象如圖2-（b）所示，將圖象上的點P（6，a）向右平移2個單位，再向下平移1個單位后恰好又落在圖象上.則AB的長是___________.

思路分析? 本題目為與函數相結合的幾何平移問題，通過研究幾何圖形可以獲得其特征性質，而研究函數圖象則可以獲得平移的過程信息，進而構建思路.

過程解析? 根據條件可知，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.

由于EB⊥AB，CF⊥AE，

則∠AFC=∠ABE=90°，∠BAE=90°-∠FAC=∠FCA，

進而可證△ABE∽△CFA，

由相似性質可得CA∶AE＝CF∶AB.

又知CA=AB，則AB2＝AE·CF＝xy，

所以.其中AB為定值，

則y關于x成反比例函數關系.

因為點P（6，a）向右平移2個單位，再向下平移1個單位后的坐標為（8，a﹣1），

可得6a=8（a﹣1），解得a＝4，

則AB2＝xy＝6×4＝24，

所以AB=（舍負），即AB的長是.

評析? 上述探究幾何平移中的線段長，從函數圖象中提取信息是解題的關鍵，對于動點問題的函數圖象，需要采用數形結合的方法.分析幾何圖形提取關鍵特性，結合函數圖象特點分析動點運動規律，以及特殊位置的相關信息.

3? 函數圖象與實際問題

函數圖象在實際生活或情境中有著廣泛的聯系，這也是其重要應用之一.對于該類問題，問題解析需要把握兩點：一是圖象的坐標信息；二是從函數角度進行拆解，提取其中的實際信息.探究解析的關鍵是結合函數圖象來理解其背后的實際意義.

例3? 一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發，勻速行駛，設慢車行駛的時間為x（h），兩車之間的距離為y（km），右圖3中的折線表示y與x之間的關系.根據圖象回答：

（1）求解甲地與乙兩地之間的距離；

（2）兩車同時出發后，相遇所需的時間為_______小時；

（3）圖象中線段CD表示的實際意義是_______；

（4）慢車和快車的速度分別為多少km/h？（寫出計算過程）

思路分析：圖3所表示的是慢車行駛時間與兩車距離的函數，解析時要提取函數圖象信息，關注其中的變化情形，再結合相關知識求解.

過程解析：（1）由圖象可得，甲、乙兩地之間的距離為900千米；

（2）由圖象可得，兩車同時出發后4小時相遇；

（3）線段CD表示的實際意義是快車到達乙地后，慢車繼續行駛到甲地；

（4）慢車的速度為：900÷12＝75km/h，快車的速度為：900÷4﹣75＝225﹣75＝150km/h，即慢車和快車的速度分別為75km/h、150km/h.

評析? 上述為與一次函數圖象聯系緊密的兩車相遇問題，探究解析要理解圖象中的關鍵點的含義，根據特殊點、函數變化趨勢來解析運動過程.問題求解時，可以采用拆解的方式，結合對應函數性質分析.

4? 結語

總之，函數圖象信息探究解讀時，可分三步進行：第一步，明細坐標軸，理解函數所表示含義；第二步，提取函數變化的關鍵信息，如變化趨勢、特殊點等；第三步，結合幾何、函數等知識進行探究解讀，構建解析思路.