初中數(shù)學(xué)三角形問(wèn)題易錯(cuò)題探究

高琦 田霞

【摘 要】 ?本文結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐，歸納了一些常見(jiàn)的初中數(shù)學(xué)三角形易錯(cuò)題型，并給出了相應(yīng)的解決方法，以期為廣大師生提供一些有益的啟示.易錯(cuò)題含有大量的知識(shí)，往往會(huì)導(dǎo)致基礎(chǔ)不扎實(shí)、思維松散的學(xué)生落入出題者的圈套.所以，在平時(shí)的教學(xué)和授課中，教師要多分析易錯(cuò)題的類型和解題方式，將容易出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行歸納、分類，并在講課中向?qū)W生解釋這些問(wèn)題的聯(lián)系，以彌補(bǔ)學(xué)生的基本功和思維上的不足.

【關(guān)鍵詞】 ?初中數(shù)學(xué)；三角形；易錯(cuò)題

初中生的思維尚處在從形象思維到抽象思維的轉(zhuǎn)變中，如果不能很好地把握住教學(xué)知識(shí)點(diǎn)，就會(huì)受到主觀和形象思維的影響，從而導(dǎo)致對(duì)題目所包含的考點(diǎn)不能熟練運(yùn)用，在做題時(shí)頻繁出現(xiàn)錯(cuò)誤，這就是所謂的“易錯(cuò)題”.當(dāng)前，大多數(shù)教師和學(xué)生對(duì)易錯(cuò)試卷的歸納方式都是采用錯(cuò)題庫(kù)或者錯(cuò)題卡，缺乏對(duì)學(xué)生易錯(cuò)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和分析的數(shù)據(jù)，從而無(wú)法對(duì)易錯(cuò)資源進(jìn)行有效的利用.針對(duì)易錯(cuò)題進(jìn)行深入分析，可以更好地對(duì)易錯(cuò)題型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并可對(duì)學(xué)生的易錯(cuò)狀況進(jìn)行實(shí)時(shí)追蹤與更新，不僅可以輔助學(xué)生掌握知識(shí)，還可以幫助教師更好地進(jìn)行教學(xué)、因材施教.

1 易錯(cuò)題類型分析

1.1 計(jì)算錯(cuò)誤

根據(jù)目前的教學(xué)反饋，一些學(xué)生在做題時(shí)容易出錯(cuò)，除了少數(shù)是因?yàn)閷?duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解不夠扎實(shí)，也有一些是由于思維上的問(wèn)題，更多的是由于沒(méi)有養(yǎng)成正確的解決問(wèn)題的習(xí)慣，在做題時(shí)粗心大意.由于課堂上的走神、自我規(guī)范意識(shí)不強(qiáng)、對(duì)問(wèn)題的處理不到位，導(dǎo)致了解題的失誤，部分學(xué)生答題不規(guī)范、書(shū)寫(xiě)潦草、粗略審題等，造成計(jì)算時(shí)的粗心，由此導(dǎo)致的計(jì)算誤差使得一些計(jì)算量較大的題目成為易錯(cuò)題 ?[1] .

1.2 審題錯(cuò)誤

審題是解題的關(guān)鍵，很多同學(xué)因?yàn)闆](méi)有認(rèn)真地審題，沒(méi)有對(duì)題目所給條件進(jìn)行仔細(xì)思考，或者忽略了問(wèn)題的隱含條件，從而得到了錯(cuò)誤的答案.由于初中生的生理和心理發(fā)育還處在發(fā)育時(shí)期，受到年齡和人生閱歷的制約，在各個(gè)方面都有一定的限制.初中數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系不是孤立的，而是相互聯(lián)系的，學(xué)生若不能將所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行有效的連接，在審題中發(fā)現(xiàn)不了題干的考點(diǎn)關(guān)聯(lián)，就不能建立起自己的數(shù)學(xué)思維，勢(shì)必會(huì)受到固定思維的影響而產(chǎn)生誤差 ?[2] .

1.3 知識(shí)點(diǎn)掌握錯(cuò)誤

初中數(shù)學(xué)含有大量的概念和公式，但學(xué)生普遍存在著對(duì)數(shù)學(xué)概念不重視的問(wèn)題，如果不能從根本上理解這些概念，很容易使學(xué)生產(chǎn)生誤解.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)運(yùn)算、推理和證明的先決條件，正確地理解概念是解決問(wèn)題的首要步驟.但是，在學(xué)生解題時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到對(duì)問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)缺乏正確認(rèn)識(shí)，從而造成解題失誤.當(dāng)學(xué)生們掌握更多的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)后，一些學(xué)生因?yàn)閷?duì)知識(shí)的掌握不夠透徹，會(huì)導(dǎo)致知識(shí)的模糊與混亂，從而導(dǎo)致他們?cè)诮忸}時(shí)產(chǎn)生一些模糊的概念.同時(shí)一些基礎(chǔ)薄弱的同學(xué)在學(xué)習(xí)中難以跟上課堂的節(jié)奏，造成了對(duì)知識(shí)的理解不夠扎實(shí).另外，由于受個(gè)人個(gè)性和思想因素的影響，一些學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)得過(guò)且過(guò)，對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解不夠透徹，對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的掌握不夠充分.有些同學(xué)僅僅記住了定義和公式，并不能將知識(shí)鏈接起來(lái)，在運(yùn)用中也非常吃力，有的同學(xué)只是照搬范例，沒(méi)有扎實(shí)的基礎(chǔ)，一旦題目稍微改變就難以正確解答.

2 初中數(shù)學(xué)三角問(wèn)題易錯(cuò)題成因分析

2.1 思維定式所致

很多學(xué)生在做題的時(shí)候，都會(huì)產(chǎn)生一種思維慣性，他們會(huì)自然而然從自己的想法出發(fā)去思考問(wèn)題的答案，從而忽略了問(wèn)題背后的意義，陷入了自己的思維定式之中.因思維定式出錯(cuò)的題，一般都是在題干相對(duì)較為簡(jiǎn)單的情況下，很多學(xué)生在解題時(shí)會(huì)放松警惕，然后憑借自己的直覺(jué)和猜測(cè)，而忽略了這些問(wèn)題的邏輯性，只是粗略看了一眼題目，然后就得出了結(jié)果.中學(xué)生的思維還處在發(fā)展的初級(jí)階段，數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間總是存在著一定的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，但如果不能有效地銜接前后學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)，就會(huì)使新學(xué)習(xí)的知識(shí)對(duì)以前所學(xué)知識(shí)造成影響，從而導(dǎo)致無(wú)法有效地遷移和連接知識(shí)點(diǎn)，在實(shí)際運(yùn)用中產(chǎn)生各種各樣的錯(cuò)誤 ?[3] .

2.2 數(shù)學(xué)概念不清所致

初中生正處于活潑好動(dòng)的時(shí)期，一些學(xué)生上課時(shí)不能專心聽(tīng)講，課堂上教師教給他們的數(shù)學(xué)知識(shí)并沒(méi)有得到很好的理解，同時(shí)在課下又沒(méi)有投入時(shí)間精力去學(xué)習(xí)，這就造成了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的不熟悉，由此導(dǎo)致一些學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)不夠扎實(shí).在實(shí)際的解題中，這些學(xué)生不能很好地建立起相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)，只會(huì)死記硬背卻不能充分利用知識(shí).另外，有些同學(xué)在做題的時(shí)候，只會(huì)按照范例來(lái)做，這就導(dǎo)致題目一旦發(fā)生改變就會(huì)造成解題的失誤.

例如 ??如圖1，BC=BD，∠ACB=∠ADB.求證：AC=AD.在錯(cuò)誤解法中，一些學(xué)生連接AB，在三角形ABC和三角形ABD中，因?yàn)锳B=AB，∠ACB=∠ADB，BC=BD.所以三角形ABC與三角形ABD全等，所以AC=AD，但在本題中連接AB，將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，在證明時(shí)運(yùn)用了不能判定三角形全等的SSA，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.

2.3 審題不嚴(yán)所致

許多同學(xué)在審題時(shí)都是馬馬虎虎，沒(méi)有掌握好題目講的是什么，也不明白出題者設(shè)定了哪些考點(diǎn)，這樣就會(huì)造成題干不清、條件亂用.很多容易出錯(cuò)的題目，都會(huì)有一個(gè)或者幾個(gè)隱藏的問(wèn)題，需要學(xué)生仔細(xì)審題.一些容易出錯(cuò)的題目，并不是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和理解能力不夠，而是因?yàn)樗麄兊膶W(xué)習(xí)習(xí)慣不好、注意力不集中，在審題時(shí)沒(méi)有重視隱藏條件，所以在解決問(wèn)題的時(shí)候總會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.很多時(shí)候因?yàn)閷W(xué)生忽略了條件，導(dǎo)致分析問(wèn)題時(shí)有些情況缺失，在做題時(shí)丟失了不少分?jǐn)?shù).

3 解決初中數(shù)學(xué)三角形問(wèn)題易錯(cuò)題的有效策略

3.1 培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思維習(xí)慣

由于受思維方式的影響，學(xué)生解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，“易錯(cuò)題”往往是因?yàn)閷W(xué)生缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力 ?[4] .通過(guò)對(duì)錯(cuò)誤答案的持續(xù)修正，不僅可以鞏固知識(shí)點(diǎn)，而且可以在不間斷的積累下，使學(xué)生的思考能力得到進(jìn)一步的提升.

例如 ??在解斜三角形問(wèn)題中，可以對(duì)其進(jìn)行思維的轉(zhuǎn)變，將其轉(zhuǎn)換成直角三角形，從而達(dá)到數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換的目的.現(xiàn)已知銳角三角形ABC（如圖2）的面積為10， tan C=2， sin B= 4 5 ，求三角形ABC的邊長(zhǎng).

我們可以看到，給出的題目不是直接解直角三角形，在答題的時(shí)候就需要我們添加輔助線來(lái)構(gòu)建直角三角形，再根據(jù)題目中給出的圖形面積，借助S= 1 2 ×底×高進(jìn)行解答.根據(jù) tan C與 sin B的值，AD是三角形ABD和三角形ACD的公共邊，因此可以選擇AD進(jìn)行求解.通過(guò)公共邊AD可以根據(jù)給出的正弦、余弦和正切的值，求出對(duì)應(yīng)的各自的邊長(zhǎng).如果我們?cè)O(shè)AD為x，則BD為 3 4 x，CD為 x 2 ，此時(shí)就可以用x表示BC的長(zhǎng)，根據(jù)面積公式，本題就變成了求解x的方程式.在這個(gè)圖中并沒(méi)有明確的三角形的高，因此，學(xué)生在解答前要作一個(gè)輔助線，然后進(jìn)行解析，并根據(jù)需要建立相應(yīng)的直角三角形.這里要說(shuō)明的是，在構(gòu)造直角三角形時(shí)，首先要找到特定的角，然后把它的頂點(diǎn)和它的對(duì)邊的高度相對(duì)應(yīng)，再把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)解直角三角形.

3.2 強(qiáng)化概念教學(xué)中的認(rèn)知

學(xué)生出現(xiàn)解題錯(cuò)誤是很正常的事情，有很多種原因，比如沒(méi)有看懂題目，在學(xué)習(xí)的時(shí)候不會(huì)思考，但是不管是什么原因，教師都要抓住這個(gè)機(jī)會(huì)，爭(zhēng)取解決學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)題的原因，通過(guò)特殊的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生分析自己做錯(cuò)的原因，這樣才能更好地掌握錯(cuò)題的相關(guān)知識(shí)，防止下次出錯(cuò) ?[5] .在相似三角形的證明中，常用的方法為平行線法以及對(duì)角相等法，這就需要學(xué)生對(duì)三角形的定理性質(zhì)進(jìn)行充分把握.

例如 ??在四邊形ABCD中（如圖3），∠ABC=∠ADC=90 ° ，DE⊥CA，交點(diǎn)為F.求證：△ADE∽△ABD.

在證明這兩個(gè)三角形相似時(shí)，我們可以看到這兩個(gè)三角形有公共角，那我們只需再證明還有一對(duì)角相等或夾角對(duì)應(yīng)的邊成比例即可.在△FEA和△BCA中，因?yàn)椤螮AF=∠CAB，∠EFA=∠CBA=90 ° ，所以△FEA∽△BCA，可得EA·BA=FA·CA.同理△DFA∽△CDA，所以DA 2=FA·CA.根據(jù)以上兩個(gè)條件可得AE·AB=AD 2， AE AD = AD AB .此時(shí)根據(jù)定理可得△ADE和△ABD相似.

3.3 重視錯(cuò)題指導(dǎo)以及批改

在每節(jié)課的課程即將結(jié)束的時(shí)候，教師應(yīng)該有一個(gè)固定的時(shí)間來(lái)做總結(jié).在總結(jié)中，除了要闡述這節(jié)課所學(xué)知識(shí)的要點(diǎn)，還應(yīng)特別準(zhǔn)備歸納與該知識(shí)點(diǎn)有關(guān)的常見(jiàn)思考和錯(cuò)誤，并安排相應(yīng)的隨堂作業(yè)，以測(cè)試學(xué)生對(duì)本節(jié)課學(xué)習(xí)的理解能力.通過(guò)對(duì)課堂作業(yè)的批改，教師可以進(jìn)一步提高課堂教學(xué)的效果，同時(shí)，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候還可以通過(guò)考試來(lái)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)易錯(cuò)題的識(shí)別和適應(yīng)性.

作為一名數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該督促學(xué)生們主動(dòng)做易錯(cuò)題，時(shí)常溫習(xí)才能學(xué)到新的東西.指導(dǎo)同學(xué)們把教師所說(shuō)的易錯(cuò)問(wèn)題，以及平時(shí)的學(xué)習(xí)、作業(yè)，尤其是在考試中出現(xiàn)錯(cuò)誤的問(wèn)題，抄錄在錯(cuò)題本上.教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析自己的錯(cuò)題，回想一下自己的思路，知曉是自己的思路不夠清晰，還是自己沒(méi)有認(rèn)真思考，或者是自己的疏忽導(dǎo)致了錯(cuò)誤.同時(shí)學(xué)生要注重對(duì)易錯(cuò)題進(jìn)行練習(xí)，這樣才能在遇到類似的問(wèn)題時(shí)，得到正確的答案.

4 結(jié)語(yǔ)

長(zhǎng)期以來(lái)，易錯(cuò)題的問(wèn)題一直是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)難題，也是造成學(xué)生學(xué)習(xí)困難的一個(gè)主要原因.作為一名數(shù)學(xué)教師，在日常教學(xué)中要深刻地意識(shí)到三角形題型容易出錯(cuò)的原因，并將容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤歸類，以便學(xué)生盡早地意識(shí)到問(wèn)題的存在，并養(yǎng)成正確的解題方法和思考技巧.學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中難免會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤，在初中的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要對(duì)學(xué)生容易出錯(cuò)的問(wèn)題進(jìn)行分析，并找出錯(cuò)題的根源，采取適當(dāng)?shù)母深A(yù)措施，防止學(xué)生重復(fù)犯同樣的錯(cuò)誤，以期提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思考水平.

參考文獻(xiàn)：

[1] 尚衛(wèi)成，譚曉玲.初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象”理解及解題技巧——以“探索三角形全等條件”為例[J].數(shù)學(xué)之友，2022，36（23）：34-36.

[2]彭金萍.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的全等三角形解題策略[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（23）：134-136.

[3]馬海智.直角三角形在解決初中數(shù)學(xué)一般角問(wèn)題中的妙用[J].現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2022（12）：39-40.

[4]沈奕.初中數(shù)學(xué)證明全等三角形題型探究[J].數(shù)學(xué)之友，2022，36（07）：23-24.

[5]馬曉琴.剖析初中數(shù)學(xué)三角形問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)[J].現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2021（20）：47-48.