深度教學視域下初中數學模型思想滲透路徑探索

夏戀

【摘 要】 ?深度教學旨在提升學生數學思維的維度與深度，讓學生挖掘數學知識潛在的魅力.而模型思想能夠將抽象化的數學知識歸類統一，從而獲得模型化的問題解決方案，提高學生的學習效率.在深度教學視域下滲透模型思想，能夠有效拓寬學生在數學知識理解上的深度與廣度，提升學生的數學技能，培養學生的數學素養.

【關鍵詞】 ?初中數學；深度教學；模型思想

深度學習要求學習者深入知識內在的邏輯，在更深的領域展開數學思考活動，促進思維的發展 ?[1] .在深度教學視域下，教師需要重視學生在學習過程中的探究式學習，實現內容的有效整合和高效遷移.數學模型則是將實際問題進行思考和分析，而后獲得其模型化的解答方案，同時針對模型進行拓寬、完善，以此獲得更加全面的數學理解.在深度教學視域下滲透模型思想需要教師結合具體的教學內容，設置合理的教學環節，在引導學生感悟知識的同時提高學生的綜合能力.

1 創設良好情境，感受模型思維

深度教學提倡在教學中提高學生的學習深度，因此對學生個人的知識背景以及學習經驗轉化也有一定的要求 ?[2] .因此，教師需要合理借助實際情境，這樣既能方便學生從中抽象出數學問題的本質，提煉更深層次的數學知識，也能讓學生將生活中的模型與數學問題相聯系，體會到數學模型思想在實際生活中的應用價值.

2 實施問題引導，形成模型思想

深度教學強調學生在教學過程中的主體地位，主要以學生的思考活動為主.因此教師可以實施問題引導，激發學生對問題的深度思考以及問題背后數學模型的建構.而后教師可以通過問題的變形對學生的數學思維進一步深化，同時幫助學生拓寬并完善數學模型，這樣既能有效激發學生學習興趣，還能培養學生提煉解題模型和解題方法的習慣，促進深度教學 ?[3] .

3 注重教學交流，深化模型思想

深度教學是在完成本職教學任務的基礎上進行的，因此教學交流必不可少.有效的教學交流一方面可以拉近師生距離，活躍課堂氛圍，另一方面還能促進學生的正向思考，讓學生在教師的正確指引下高效完成學習任務 ?[4] .而在教學交流中，學生也可以針對模型的構建步驟有一個更加清晰化、層次化的認知，這對于學生以后的模型建立可以提供良好的范例，讓學生真正獲得數學學習中的自我效能感.

4 教學案例

現筆者以人教版八年級上冊第13章“軸對稱”第4小節課題學習“最短路徑問題”為例，簡述如何在初中教學深度教學中滲透模型思想，讓學生深入理解數學知識的同時提升自身的模型思維.

4.1 教學分析

“最短路徑問題”為人教版八年級上冊第十三章中最后一節的內容，既涉及了該章節所包含的軸對稱的概念與性質，又囊括了三角形的三邊關系判斷等重要的數學知識點.在學習最短路徑問題的過程中，教師應該指導學生形成轉化、分類、抽象以及模型建立等多種數學思想，讓學生將陌生、復雜的問題熟悉、簡單化，同時形成一套解決該類問題的數學模型，為以后類似知識點的學習建立良好的基礎.在深度教學視域下，教師也應該注重教學“質”與“量”的雙重發展，讓學生在學習過程中形成對數學問題更深層次的認知.

4.2 教學目標

（1）學生能夠在教師所創作的教學情境在運用對稱軸解題，并結合兩點之間線段最短這一概念解決最短路徑問題；

（2）學生能夠結合實際問題，利用轉化思維抽象出問題中的數學概念，然后構建模型解決問題，從而培養自身的數學模型思維；

（3）借助模型思維的建構培養學生對特定數學問題的思考積極性以及趣味性，在學習的過程中感知數學學科學習的奧妙之處，培養學科素養，實現深度教學.

4.3 教學重難點

教學重點是讓學生掌握利用對稱軸知識解決兩點之間線段最短的問題；教學難點是針對該類問題建立模型，獲得解題方法的同時培養學生的模型思維.

4.4 教學步驟

4.4.1 情境引入，思考模型

在進行最短路徑問題的深度教學時，為了方便學生理解該問題實質并思考合理的解題模型，教師應該結合實際生活場景進行情境引入，幫助學生更快、更準確地對問題本質進行定位.

教師 ??已知在一條小河河岸的同側，有A、B兩點，牧民在A點處放牛，牛棚設置在B點處.A、B兩點距離河岸均有一段距離.現牧民需要將牛放至河邊讓牛飲水，然后回到牛棚.請問牧民應該如何做？

學生 A ???牧民可以先從A點以直線方向將牛拉至河邊，待牛飲完水之后繼續以直線方向從河邊回到牛棚.

教師 ??沒錯，將牧民的路程進行二段劃分，分別以直線方向行走看似是省時省力的好方案.那請同學們再思考一下，這樣的方案是最佳方案嗎？是否存在一種方案使得牧民行走的路程最短呢？這類“牛飲水”問題就是我們今天需要思考并學習的“最短路徑問題”.

設計意圖 ??通過問題情境的引入吸引學生的學習興趣，為學生后續的深度學習提供動力，同時具體情境的引入也能讓學生將問題模型化，將“最短路徑問題”視為“牛飲水”問題，促進學生思考解題模型.

4.4.2 問題引導，建構模型

教師 ??“最短路徑問題”作為“對稱軸”這一章節的最后一小節，其中也需要我們利用對稱軸的概念去解決問題.如圖1所示分別為小河l，牧民所在點A和牛棚所在點B.現以小河l為對稱軸，做點A的對稱點 A ′，并連接 A ′B，令 A ′B與小河的交點為點P.請同學們思考并回答下列問題：

問題1 ??三角形 A ′AP為什么三角形？線段 A ′P和AP之間有什么大小關系？

學生思考 ??結合對稱軸的概念可知線段l是線段 A ′A的垂直平分線，再根據等腰三角形判定定理可知三角形 A ′AP為等腰三角形，即線段 A ′P=AP.

問題2 ??既然點 A ′是點A關于小河的對稱點，那么從點A到點B的最短路徑問題是否相當于從點 A ′到點B的最短路徑問題？從點 A ′到點B的最短路徑應該如何規劃？

學生思考 ??已知 A ′P=AP，則有 A ′P+PB=AP+PB=AB，因此從點A到點B的最短路徑問題可以相當于從點 A ′到點B的最短路徑問題.然后結合兩點之間直線最短的概念可以得知點 A ′到點B的最短路徑就是直線 A ′B.因此牧民應該先將牛拉到P點喝水，然后從P點以直線方向回到B點.

問題三 ??在解決問題過程中，是否可以得出一個解決最短路徑問題的簡略模型呢？

學生思考 ??模型大致為：（1）尋找對稱點（變同側為異側）；（2）連接異側兩點（兩點之間線段最短）.

設計意圖 ??通過一系列問題的設置引導學生利用對稱點性質以及兩點之間線段最短的概念解決最短路徑問題，并將思考的過程模型化，獲得解決這類問題的簡要模型，訓練學生模型思維的同時激發學生對這類問題更深入的認識，促進學生的深度學習.

4.4.3 變式思考，完善模型

教師 ??剛剛我們解決的“最短路徑問題”是較為簡單的情況，為了加強大家對這類問題解決模型的深入認識并完善這類模型，我們可以通過幾個變式問題的設計來深入探究.

變式1 ??在原有問題情境上，如果牛在河邊一邊飲水一邊會沿著河邊走a米，然后再返回牛棚，那么位于何處開始飲水才能使得牧民所走的路徑最短？

師生討論 ??變式1只增加了牛需要順著河邊行走a米的條件，由于a米為固定的水平平移，該問題實質上仍是兩點同側的問題，因此可以先做平移，繼續沿用之前的模型先做對稱點然后進行直線連線即可解決問題，具體圖象如圖2所示.

變式2 ??在原有問題情境下，如果河寬b米，牛在河邊飲水后會馱著牧民垂直河岸橫游過河，待上岸后再回到對岸的牛棚B點處，那如何規劃才能使牧民所走路徑最短？

師生討論 ??該變式不同于前兩個問題，為異側問題.因此無需考慮模型中尋找對稱點這一步驟，只需要先豎直平移b米，然后進行直線連接即可.具體圖象如圖3所示.

變式3 ??已知點P為牛棚，OA為一條長滿小草可供牛進食的小路，OB為一條可供牛飲水的小河.假設牛需要從牛棚出發在OA小路上進食然后到OB小河邊喝水，最后回到點P牛棚處，試問如何規劃才是最短路徑？

師生討論 ??該變式雖然看似復雜，實則只需要利用模型中兩點之間直線最短概念即可解決.具體圖象如圖4所示.

變式4 ??在變式3的問題情境下，假設牛棚P位于∠AOB之內，試問如何規劃才是最短路徑？

師生討論 ??該變式相對于最初的牛飲水問題只是多了個牛進食的問題，因此可以分解為兩個同側問題，即將原有模型：尋找對稱點、直線連線進行兩遍即可.具體圖象如圖5所示.

設計意圖 ??通過變式問題的設計引導學生進行模型的使用和完善，讓學生針對各類問題都能有一個清晰的認知，同時在解決問題的過程中對“最短路徑問題”有更加深入的思考，在完善深度教學的同時培養學生的模型思維.

5 結語

總之，模型思想作為數學學科教育中十分重要的一類數學思想，無論是對學生的知識學習還是問題解決都能起到促進作用.因此在實施深度教學的基礎上，教師應該幫助學生完成模型思想的啟發和培養，讓學生養成深度探索的習慣，進而學好數學、用好數學.

參考文獻：

[1] 沃晶晶.深度教學視域下初中數學模型思想滲透路徑探索——以“反比例函數概念”教學為例[J].數理化解題研究，2022（26）：17-19.

[2]伍養群.從深度教學視角談中學數學思想培養路徑[J].數理化解題研究，2021（30）：16-17.

[3]王磊.初中數學教學中模型思想滲透策略探究[J].新課程研究，2021（15）：133-134.

[4]劉立潔，武海娟.數學模型思想在初中數學教學中的滲透探討[J].佳木斯職業學院學報，2016：265.

[5]陳杏.基于幾何模型思想的初中數學教學探索[J].基礎教育研究，2022（17）：49-53.