在高中數(shù)學教學中開展探究性學習的實踐與思考

朱海峰　楊麗萍

【摘要】本文闡述探究性學習選題的原則和分類方式，深入挖掘教材中的探究性學習材料，結合案例分析函數(shù)、幾何和概率統(tǒng)計三個方面的選題并說明探究性學習的選題操作方法，論述促進高中數(shù)學探究性學習順利開展的三條途徑，旨在促進新課程、新教材、新高考改革走向深入。

【關鍵詞】探究性學習 高中數(shù)學 教學實踐

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）20-0080-04

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標準》）提出：數(shù)學探究活動是運用數(shù)學知識解決數(shù)學問題的一類綜合實踐活動，是高中階段數(shù)學課程的重要內(nèi)容。在《課程標準》中，必修課程的主題五、選擇性必修課程的主題四以及選修課程中，都有數(shù)學建模活動和數(shù)學探究活動，且以課題研究的形式開展，要求學生在每個課程段完成其中的一個課題研究。數(shù)學探究性學習是指圍繞某個具體的數(shù)學問題，開展自主探究或合作研究最終解決問題的過程，具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題，猜測合理的數(shù)學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學結論。探究性學習是新課改以來學生學習數(shù)學的重要學習方式方法，也是學生提升數(shù)學核心素養(yǎng)的重要方式。自2021年秋季學期起，廣西正式啟動實施普通高中新課程、新教材改革，高一年級啟用新教材。然而，在啟用新教材一年多的時間里，由于培訓不到位以及教師對新課程認識不足，導致探究性學習活動并沒有得到有效開展。

因此，本文首先闡述探究性學習選題的原則和分類方式，讓讀者熟悉探究性學習；其次，筆者通過研究教材，挖掘教材中的數(shù)學探究性學習素材，主要從函數(shù)、幾何和概率統(tǒng)計等三個方面進行選題，結合案例說明探究性學習的選題操作方法；最后，筆者根據(jù)日常的教學活動，總結促進高中數(shù)學探究性學習順利開展的三條途徑，拋磚引玉，給教師提供一些參考。

一、探究性學習選題原則和分類方式

（一）探究性學習選題原則

根據(jù)新課程“以人為本”的教育理念，筆者認為探究性學習選題應當遵循微型化原則、可操作性原則以及生活化原則等三個原則。

微型化原則指的是選題宜小不宜大、宜精不宜泛。選擇能夠在一節(jié)課或者半個小時左右完成的“微課題”，比如探究橢圓的第二定義、探究復數(shù)的三角表示、探究正方體的側(cè)面展開等，既能吸引學生的注意力，提高學生的課堂參與度，又容易達成探究的目的。

可操作性原則是指選擇的課題具備一定的可操作性，具有起點低、爬坡緩、落點高等特點。選擇的課題應符合學生的能力水平和認知水平，學生“跳一跳”能解決或者通過查閱資料、運用信息技術能夠解決，使學生充滿自信。比如游客增長模型、拋硬幣實驗等。

生活化原則是指選題要突出數(shù)學來源于生活又應用于生活的特點。《課程標準》指出：教師應該充分利用學生已有的生活經(jīng)驗，指導學生把所學的數(shù)學知識運用于現(xiàn)實中，以體會數(shù)學在現(xiàn)實生活中的應用價值。學生充分體會到數(shù)學的魅力，自然就會對數(shù)學學習充滿興趣。比如摩天輪運動模型、用猜價格游戲引入零點和二分法、動手制作常見幾何體模型等。

（二）探究性學習分類

根據(jù)不同的分類標準，探究性學習可以劃分為不同類型。

從探究內(nèi)容來源分析，可以將探究性學習分為“知識（定理）來源探究”和“知識（定理）延伸探究”，例如探究函數(shù)概念的歷史發(fā)展、笛卡爾與解析幾何等就是知識（定理）來源探究，探究橢圓的第二定義、祖暅原理等是知識（定理）延伸探究。

從探究的自主程度分析，在教師引導下進行的探究稱為“引導式探究”，課堂教學中的探究基本上屬于“引導式探究”，具有時間短、見效快、適應性強等特點；學生獨立自主進行的探究稱為“自主式探究”，例如測量建筑物的高度、某形狀物體的體積等。

從探究過程中使用的工具分析，不需要借助信息技術的探究稱為“傳統(tǒng)式探究”，例如用向量法研究三角形的性質(zhì)，這一探究性學習用紙與筆基本上就能完成，探究抽簽是否公平也可以不借助信息技術完成；需要信息技術輔助的稱為“信息技術探究”，例如立體幾何截面、均勻隨機數(shù)的生成、陌生函數(shù)的圖象和性質(zhì)等，這些都是可以借助信息技術完成的探究。

二、依托教材開展探究性學習案例分析

筆者對新教材設置的欄目進行了初步統(tǒng)計，新教材必修和選擇性必修五本教材中，共安排了“探究與發(fā)現(xiàn)”13處、“閱讀與思考”25處、“數(shù)學探究”2處、“數(shù)學建模”2處、“信息技術應用”7處、“拓廣探索”題目185道。按照高中數(shù)學四大主線內(nèi)容統(tǒng)計，函數(shù)主線素材有18份、代數(shù)與幾何素材有23份、概率與統(tǒng)計素材有9份、數(shù)學建模活動和數(shù)學探究活動素材有4份。下面，本文從函數(shù)、代數(shù)與幾何、概率與統(tǒng)計三個方面各選一案例進行分析，供各位同仁參考。

（一）案例1：等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比（選擇性必修第二冊第四章第56頁）

類比即類同、比類、推類，與“從無到有產(chǎn)生數(shù)學”的數(shù)學抽象素養(yǎng)和“從少到多發(fā)展數(shù)學”的邏輯推理素養(yǎng)本質(zhì)相同，與數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等也有內(nèi)在關聯(lián)。等差數(shù)列和等比數(shù)列在很多方面都具有類比關系，是很好的探究性學習素材。

教師給學生展示如下探究性學習素材。

等差數(shù)列與等比數(shù)列的“對偶關系”：把等差數(shù)列的一個關系式中的運算“+”改為“×”、“-”改為“÷”、正整數(shù)倍改為正整數(shù)指數(shù)冪，相應地就可以得到等比數(shù)列中一個形式相同的關系式，反之也成立。

1.根據(jù)以上說法，你能發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列和等比數(shù)列的哪些對偶關系式？

2.在等差數(shù)列{an}中，若a2023=0，則有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a4047-n（n∈N*，n＜4047），相應的，在等比數(shù)列{bn}中，若a2023=1，請你類比推測出對偶的等式，并加以證明。

此案例中，可以根據(jù)概念、遞推關系、通項公式、項的性質(zhì)等發(fā)現(xiàn)對偶關系。在探究性學習活動過程中，學生既能對等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識進行復習鞏固，又能探究出等差數(shù)列和等比數(shù)列之間的聯(lián)系，做到舉一反三、觸類旁通，發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

類比思想在高中數(shù)學中無處不在，教材的編寫也有意加強滲透類比的思想方法，從等式性質(zhì)到不等式性質(zhì)，從平面向量到空間向量，從平面幾何到空間立體幾何，從圓到橢圓，從橢圓到雙曲線，從等差數(shù)列到等比數(shù)列，等等。合理地運用類比思想，不僅能讓學生加深新舊知識之間的聯(lián)系，構建完備的知識體系，還能發(fā)展學生的創(chuàng)新思維和發(fā)散思維，達到舉一反三的效果。

（二）案例2：容器中水的問題（必修第二冊第八章第145頁）

如圖1，透明塑料制成的長方體容器ABCD- A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜。隨著傾斜度的不同，有下面五個命題：

1.有水的部分始終呈棱柱形；

2.沒有水的部分始終呈棱柱形；

3.水面EFGH所在四邊形的面積為定值；

4.棱A1D1始終與水面所在平面平行；

5.當容器傾斜如圖1（3）所示時，BE·BF是定值。

其中所有正確命題的序號是_____，為什么？

學生經(jīng)過探究后可以得到正確的命題序號為1、2、4、5。教師再展示如下問題，引導學生探究走向深處。

如圖1，透明塑料制成的正方體容器ABCD- A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，若固定底面的點A在地面上，再將容器傾斜，水面可能呈現(xiàn)哪些形狀？

以上兩個探究活動都是考查用一個平面去截立體圖形所得到的截面圖，前者的平面要求過直線BC，而后者的平面沒有固定，因此結論具有開放性，考查了學生的直觀想象、數(shù)學建模、邏輯推理等數(shù)學學科核心素養(yǎng)，教師在設計探究性學習方案時，如果能夠?qū)嵨镅菔尽赢嬔菔九c邏輯推理等方式結合，將會呈現(xiàn)一節(jié)很好的探究性學習課。

（三）案例3：病毒檢驗次數(shù)問題（選擇性必修第三冊第七章第91頁）

某單位有10 000名職工，想通過驗血的方法篩查乙肝病毒攜帶者。假設攜帶病毒的人占5%，如果對每個人的血樣逐一化驗，就需要化驗10 000次，統(tǒng)計專家提出了一種化驗方法：隨機地按5人一組分組，然后將各組5個人的血樣混合再化驗。如果混合血樣陰性，說明這5個人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需要對該組內(nèi)的5個人每個人再分別化驗一次。

1.按照這種化驗方法能減少化驗次數(shù)嗎？

2.如果攜帶病毒的人只占2%，按照k個人一組，k取多大時化驗次數(shù)最少？

學生經(jīng)過探究，得出如下結果。

這道探究性學習題考查了學生的數(shù)學建模、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學學科核心素養(yǎng)。教師在教學過程中適當引導學生關注科技發(fā)展、社會民生等，利用所學知識解決問題，堅定理想信念，厚植愛國情懷，體現(xiàn)了數(shù)學的育人價值。

三、促進高中數(shù)學探究性學習順利開展的三條途徑

（一）堅持與時俱進，更新與轉(zhuǎn)變教學觀念

黨的二十大報告指出，教師是教育強國的第一資源，是科技強國的關鍵支撐，是人才強國的重要保障。教師需要與時俱進，不斷更新教學觀念，貫徹落實黨的二十大精神。教學觀念對教學起著指導作用，是指導教師落實課程改革的關鍵。

首先，可以通過名師引領，更新與轉(zhuǎn)變教學觀念。目前，線上培訓日趨成熟。教師通過參加線上培訓，可以學習全國各地的專家和名師的最新理念與優(yōu)質(zhì)經(jīng)驗。例如，筆者通過“教研網(wǎng)”公眾號，觀看了全國各地新課程改革線上報告會，觀摩了很多名師的優(yōu)質(zhì)課、示范課，學到了很多理論知識和實踐經(jīng)驗。

其次，通過同伴互助，加強教師之間的切磋和經(jīng)驗共享，實現(xiàn)共同成長。比如舉辦數(shù)學“沙龍”、同課異構、課題研討等活動，促進教師之間的溝通，使教師相互學習、相互提高。

最后，通過自我反思，更新自身的教學觀念。葉瀾教授說過，一個教師寫三十年教案不一定有效果，但堅持寫三年教學反思，一定能成為優(yōu)秀教師。教師通過反思課堂中存在的問題，反思課堂中師生的關系，反思自身的專業(yè)素養(yǎng)，從而找到自己的短板，對癥下藥，使自己更好地成長。

（二）深入鉆研教材，提煉探究性學習材料

教師可以通過熟讀教材、鉆研教材、吃透教材，溝通知識的內(nèi)在聯(lián)系；通過參加培訓、課程學習和閱讀資料等，領會章節(jié)的編排意圖。教師要善于從更高的視角看待高中數(shù)學知識，掌握高中數(shù)學知識的延伸，如一元三次方程的解法、洛必達法則、代數(shù)基本定理、復數(shù)的三角表示、矩陣等。教材所呈現(xiàn)的不只是數(shù)學知識，還有蘊藏在這些知識背后的思想方法。研究提煉教材內(nèi)容所體現(xiàn)的思想方法，如函數(shù)思想、數(shù)形結合思想、化歸思想等，對開闊教師的視野、提升教師的專業(yè)素養(yǎng)具有重要作用。

（三）掌握信息技術，促進信息技術與教學融合

科學技術日新月異，新一代信息技術已經(jīng)成為全球科技競爭的戰(zhàn)略制高點。信息技術的發(fā)展往往帶來教學方式的變革和學習方式的改變。探究性學習活動的開展離不開信息技術的支撐，比如作圖軟件幾何畫板、GeoGebra，數(shù)據(jù)處理軟件Excel、SPSS、mathlab等。利用信息技術，一方面能夠提高學生的學習興趣，另一方面有助于學生探究未知問題。因此，教師要學會以上軟件的基本操作，精通其中的一款或多款軟件，從而充分利用信息技術輔助設計知識的生成和延伸等學習環(huán)節(jié)。

高中數(shù)學學習過程是一個漫長而復雜的過程，也是教師不斷探索和研究的過程。探究性學習讓學生有了探索未知領域的空間。教師應給足學生開展探究性學習的時間與空間，引導學生多角度、全方位、深層次地探究問題。本文結合教學實踐總結出來的三條有效促進高中數(shù)學探究性學習順利開展的途徑還存在一定的局限性，有待今后繼續(xù)深入探究。總而言之，探究性學習活動的開展，是對傳統(tǒng)數(shù)學學習方式的革新，是夯實“四基”、培養(yǎng)“四能”的基本要求，是落實“三會”的重要途徑，更是落實數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要抓手，對學生的全面發(fā)展具有重要意義，值得教師深入研究。

參考文獻

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［3］王曦.用“幾何畫板”進行高中數(shù)學探究性學習［J］.中學數(shù)學教學參考，2015（1/2）.

［4］敬平焉.高中數(shù)學課堂中探究性學習的困惑與思考［J］.教學研究，2020（27）.

作者簡介：朱海峰（1985— ），廣西北流人，碩士，一級教師，主要研究方向為數(shù)學解題教學；楊麗萍（1991— ），廣西陸川人，本科，二級教師，主要研究方向為數(shù)學解題教學。

（責編 劉小瑗）