高中數學探究課教學的探索與實踐

李景秋 郭民 高立東

【摘要】數學建模與數學探究課都是數學項目式學習的載體，二者具有與“選題、開題、做題、結題”相似的研究步驟，強調學習者對實踐活動過程的體驗，更加注重學習者積累數學學習經驗與解決問題的經驗.文章通過三節《正方體截面的探究》的探索與實踐，總結開展數學探究課的基本方法、步驟及注意的問題.

【關鍵詞】高中數學；數學探究；正方體截面

一、問題提出

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標準》）首次提出了數學學科的六個核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算與數據分析.其中對數學建模核心素養的定義是：數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學建模建構解決問題的素養.數學建模的過程主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題.

縱觀歐美發達國家的課程標準，不難發現各個國家雖然依據其教育目標及其對人才的需求，提出了各具特色的數學素養，但是卻對于未來的人才需求標準達成了共識，即未來人才要有綜合解決問題的能力，要有社會責任感，最重要的是要有創新能力.在此基礎上各個國家不約而同地將數學建模、數學問題的解決能力及用數學交流的能力作為數學素養的要求.

《課程標準》除了提出了數學的六大核心素養外，還在附錄2中給出了37個教學與評價案例，用具體的實例幫助全體高中數學教師理解數學學科素養與平時的教學內容對學生的評價以及考試命題之間的關系.其中與數學建模、數學探究有關的案例多達18個.

數學探究是圍繞某個具體的數學問題，開展探究與合作研究并最終解決數學問題的過程.數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學知識與方法構建模型解決問題的素養.顯然，數學探究與數學建模都是數學項目式學習的載體，數學探究相較于數學建模，無需從具體的情境中抽象數學模型，降低了學生的切入難點，但又與數學建模有著基本相同的研究步驟，需要開題、做題、結題（無需選題）.

二、探究課教學的探索與實踐

2020年“第十屆全國高中青年數學教師課例展示與培訓活動”將《正方體截面的探究》做為吉林省指定課題，筆者所在學校有多名青年教師報名參加，其中有三名教師準備了《正方體截面的探究》這節課.中國教育學會中學數學專業委員會提出了如下明確的內容要求和教學提示.

（一）研究思路與過程

1.截面在生產生活實際中的具體應用

為什么要研究截面？除了通過具體的實例示范研究問題的路徑，還必須讓學生了解數學是服務于生產生活實際的，即數學是有用的.通過查閱文獻發現，現代醫學常用的CT超聲對人體的某一部分做斷層掃描，從而形成人體的截面成像，醫生通過截面成像進行判斷；在建筑設計中，設計師常用的CAD軟件實際上是二維軟件，設計師需要畫出正剖面、橫剖面、側剖面，但在實際工作中，正剖面設計師只需要根據建筑物的高度以及實際施工的需要在不同的標高畫出對應的截面，進而利用相應的軟件形成3D圖形即可，施工方只需根據二維圖紙即可建設出完美的各類建筑設施.

所以截面可以在二維層面集中反映幾何體的主要特征，把幾何體的關鍵內隱元素及其關系集中展現在平面圖形上，可將三維空間問題轉化為二維平面問題.

2.查閱資料，開拓思路

通過查閱資料，筆者認為學生無論是動手操作還是理論證明時機均已成熟，他們在教師恰當的引導下完全可以對正方體的截面進行充分地比較和探究，得出豐富的結論，并利用所學的知識進行完備的證明.

但從資料中我們可以看到，所有調查文章都將核心集中在正方體截面圖形的形狀及從理論層面論證結論，沒有關注學習者在探究正方體截面過程中的思維過程，即便是動手操作也僅是敘述了如何操作，而為什么要這樣操作，其分類的標準和依據均無體現.

根據《課程標準》及中國教育學會中學數學專業委員會的要求，教學設計的定位應該在如何引導學生探究、發現并證明.因此，明確本節課的教學目標與學習目標是首要任務.

3.明確課程目標與學習目標

這節探究課依據《課程標準》的課程目標，即

（1）通過對幾何的切截活動，經歷、觀察、操作、想象、交流等過程，發展學生的空間觀念，積累數學活動經驗；

（2）能夠發現和提出有意義的數學問題，會猜測合理的數學結論，能夠自主提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論；

（3）初步體會運用數學知識解決數學問題，能夠在具體的實驗教具中抽象出平面、正方體、截面等數學概念，積累從具體到抽象的活動經驗，培養數學抽象的核心素養.

針對不同學習水平的班級應該制訂不同的學習目標.恰好甲、乙、丙三位教師所教授的班級處于三個不同的層次，按照學習能力水平與成績由高到低暫時將其稱為A，B，C三個班.

A班學生總體學習水平能力在年級居于上游，學生的個人學習能力較強，思維活躍，所以A班學生的學習目標設置較高：

（1）學生借助各種手段和方法，結合自主學習與小組合作學習的有效形式，進行觀察、試驗、探究，通過嘗試、歸納、類比，自行發現并總結有關截面問題的知識和方法；

（2）了解正方體截面的形狀，能夠判斷和畫出正方體的截面，并能計算幾種特殊截面的周長、面積.

B班學生總體學習水平能力在年級居于中游，學生在教師的指導下能夠自主地完成大部分學習內容，掌握基本的方法并進行簡單的模仿，相同的問題理解接受的時間相較于A班長，對于具有較高思維難度的問題在第一時間內很難自行解決.對此，授課教師將B班學生的學習目標設定為：

（1）初步掌握收集、整理資料的基本能力，在課堂上能流暢的表達出來；

（2）能夠初步了解“探究”的全過程，掌握探究課題的基本方法；

（3）能夠根據題目選擇合適的實驗材料；

（4）能運用數學知識簡單論證實驗的結果.

C班學生總體學習水平能力在年級居于下游，學生的個人自學能力較差，學生只能在教師給定的幾個結論中進行猜測，根據預設的解決問題的思路選擇他們認為比較合理的解決方案，所以C班學生的學習目標為：

（1）理解什么叫幾何體的截面；

（2）理解正方體的截面的某些特殊形狀和特征；

（3）理解正方體的截面有哪些形狀并且進行合理的分類；

（4）在了解正方體截面的形狀后，能較熟練地運用正方體截面的有關知識解決相應的問題.

4.教學器材準備及教學策略

本節課需要通過動手實驗得出對應結論，學生需要準備面包、土豆、橡皮泥等便于切割的實物及切割物體時使用的塑料刀具（需要考慮到學生的安全）；教師需要準備透明的正方體、橡皮泥、顏色鮮艷的液體等.每位準備參賽的教師都是背對背準備，所以在器材的選擇上不盡相同，教授A班的甲老師考慮到其他器材對正方體截面形成的限制因素，購買了在民用裝修中瓦工常用的激光水平儀.

三個班級均采用了觀察法、分組討論、成果展示及信息化多媒體教學策略.

（二）教學環節設計

本節課是一節數學探究課，題目明確，學生只需在教師的指導下明確研究的方案，并進行初步的研究，然后在課堂上對各自的研究成果進行討論和匯報，教師針對其精彩或不足之處進行點評，并引導學生進一步探討正方體截面的相關問題，初步掌握用數學知識解決問題的路徑與方法.

三、分析與點評

對比三位教師的教學設計，不難發現，三節課都立足于《課程標準》對于數學探究課的要求，掌握了“項目式學習”的核心，雖然在一節課中無法完整呈現整個過程，但是在本節課中呈現了探究過程中的主要環節.

（一）教學目標與學習目標設置合理

三位教師根據班級中學生的具體學情制訂了恰當的教學目標與學習目標，力圖使每一位學習者在其能力范圍內既能收獲知識，又能收獲喜悅，進而獲得情感與能力的雙重體驗.

（二）教學內容選擇恰當

特別是甲、丙兩位教師，其中甲教師沒有根據《課程標準》提供的9個問題串的順序引導學生探究，而是對聯系比較密切的三角形和六邊形進行了探討，再根據六邊形需要與正方體六個面均相交找到截面分類的標準，進而逐個減少平面與正方體表面相交的數量，逐步得到五邊形和六邊形，最后提出問題，引導學生在變化的過程中尋找非變量；而丙教師所教授的C班，側重于讓學生通過體驗收獲經驗，整節課僅進行了所截三角形只能是銳角三角形的證明，關于其他形狀截面圖形形成的原因、分類的標準及其相關的推理證明放在下一節課完成；而乙教師所教授的B班則在教師的引導下“照本宣科”地完成了本課題的各項探究內容.

（三）探究展示過程突出學生的主體地位

在這三節課中，教師和學生準備了多種多樣的實驗器材，激光水平儀、橡皮泥、金剛沙、透明正方體、帶顏色的液體等，讓數學課與實驗聯系在一起，而不是枯燥的推理證明；學生的思維也被激活，積極地展示自己的實驗成果，一部分學生利用所學的知識進行了證明，甚至出現了教師原本沒有預設的探究結論，改變了以往教師“一言堂”的教學方式，使學習者真正成為學習的主人，彰顯數學探究課的育人價值.

（四）不足之處

面對新課標、新課程，教師們第一次進行探究式案例教學，對于如何上好一節探究課，對探究課每個環節的處理還有很多值得斟酌之處.

1.探究過程不完整

學生在初中已經學習過《幾何體的截面》一課，并且很多學生已經在初中教師的帶領下進行過正方體截面的實驗，所以他們對正方體截面的形狀并不陌生，但是也僅限于了解形狀，對于形成的原因，分類的標準不是很清楚，還有少部分學生未進行幾何體截面的相關實驗與探究.三位教師均將主要精力放在課堂中帶領學生探討截面的形狀、成因及證明上，缺少了讓學生自行進行探究成因的過程，學生思考時間短，缺少獨立思考的機會.

2.未能完全平衡好探究與證明

本案例是在初中已經有過實際操作的前提下進行的一次探究，其目的不在于截面的形狀有哪些，而是在此基礎上利用分類、類比等數學思想解決問題，利用高中所學的立體幾何基本事實與公理進行嚴格的推理證明，教師需要為學生提供嚴格的證明范式.而三位教師全程沒有在黑板或大屏幕上為學生做一次范例證明，證明過程主要由學生口述，易給學生造成只需觀察即可得出結論的錯誤印象.

3.“少數”與“多數”的關系處理欠妥

大多數觀摩課都是以小組討論的方式進行的，無論是什么樣的課型，教師們都必須組織小組討論，無論是否適合討論.通過觀看課堂實錄，筆者發現小組實踐或討論時的情形是少數學生主導，多數學生旁觀，成果展示與交流時話語權主要掌握在少數績優生手中，沒有真正地實現“落實四基，提高四能，促進核心素養發展”的目的，所以探究方案的設計應豐富多樣，問題的設置要更多層次，以滿足不同層次學習者的需求.

結 語

“教是為了不教”，有關數學探究課教學設計，教師除了要考慮教材內容等因素，廣泛地占有資料，根據學習者的具體學情設計切合實際的學習目標，設計層次豐富的探究方案與探究問題，更要深入地了解學習者的學習基礎，平衡好學生自主學習與教師指導的度，讓更多的學生參與探究學習，使數學探究課真正發揮作用，進而促進學生數學核心素養的養成.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]教育部基礎教育課程教材工作委編.普通高中數學課程標準（2017年版2020修訂）解讀[M].北京：高等教育出版社，2020.

[3]金聲.高中數學“問題—互動”教學的探索與實踐[J].數學學習與研究，2021（14）：14-15.