數學教學中批判性思維的培養

尤娜　趙思林

摘 要：數學教學中的批判性思維主要是借助邏輯思維，對某個數學對象產生懷疑或困惑、提出問題、查找原因、證明或證偽，從而獲得某些結論或觀點的思維過程。批判性思維具有思維發展的創新價值、個人成長的育人價值和數學教育的內在價值等。在數學教學中培養學生的批判性思維，既要關注課前準備、課堂實施、課后反思的日常教學過程，做好滲透培養，又要關注批判性心力、批判性心智（包括反省、反思、反駁、反證技能，系統分析，綜合評判，質疑創新，元批判性思維等）等相關思維要素，做好專項培養。

關鍵詞：批判性思維；數學教學；批判性心力；批判性心智

批判性思維的概念源自杜威提出的“反省性思維”。隨后，格拉澤（Glaser）采用“批判性思維”（Critical Thinking）這一術語拓展了其定義。由于研究角度的不同，導致批判性思維的內涵也不同，主要有以下幾種觀點：（1） 批判性思維是一種嚴密的、全面的、自我反省的思維方式［1］，具有審視問題、尋求解決方案、進行推理的高階思維能力［2］；（2） 批判性思維是個體對某些結論或觀點進行正確的評價與判斷，也是個體在觀察和交流中，對蘊含的信息和言論進行有技巧的、邏輯的、主動的解釋和評估［3］；（3） 批判性思維是個體對做什么和相信什么作出合理決策的能力，核心是澄清能力、推論能力、演繹歸納能力和運用決策能力［4］，體現在評價、比較、分析、質疑和整合信息的過程中［5］；（4） 批判性思維是一種有目的性的自我調節性判斷的思維過程［6］，是一種對我們自己和他人的思維加以全面審查的、主動的、有意識的、有組織的認識過程［7］；（5） 批判性思維是一種個體克服以自我為中心的情感傾向的思維活動，是在辯證理性和開放精神指導下的認知思維活動和過程［8］；（6） 批判性思維是批判性思維能力和批判性情感傾向的綜合體，既是分析、整合、評估信息的能力和相關的能力傾向的綜合體［9］，也是反省性質疑精神與相關的認知技能的綜合體［10］。綜上可知，已有研究對批判性思維的內涵尚未達成共識。

從數學學科的特點來看，數學思維主要是邏輯思維。因此，我們認為，數學教學中的批判性思維主要是借助邏輯思維，對某個數學對象產生懷疑或困惑、提出問題、查找原因、證明或證偽，從而獲得某些結論或觀點的思維過程。

一、 批判性思維的教育價值

正如康德所言，作為一種重要的思維方式和優良的思維品質，批判性不只是個別人或某個時代的特征，而成為人類精神生活中必要的基本素質。批判與求真、反省、反思、質疑、論證、反駁、揚棄、創新、超越等都有著密切的聯系。批判性思維具有重要的教育價值，培養學生的批判性思維是數學教學的重要目標。

（一） 注重思維發展的創新價值

建設創新型國家，離不開創新型人才。批判性思維是培養學生創新能力有效路徑和重要抓手。同作為重要的高階思維，批判性思維和創造性思維相輔相成。批判性思維在于“破”，創造性思維在于“立”。［11］批判是創新的基礎，通過對已有信息的質疑和反思，從中不斷發現問題和解決問題，最后實現創新。創新是批判的取向，通過對已有信息的分析、判斷，反饋已有信息的不足或錯誤，從而修正、完善或拋棄已有信息。批判性思維是創造性思維和創造性活動中不可缺少的因素。［12］批判性思維是對知識不斷認識和增慧的過程，是對問題不斷發現和探究的過程，是對真理不懈追求和探索的過程。真理不是新舊知識的交錯，而是對已有知識的不斷修正或揚棄。正如鐘啟泉先生所說的：脫離批判性思維的教學，創新精神的培養只能淪為空話。［13］

（二） 追求個人成長的育人價值

批判性思維是強調個性發展的思維。批判個性的形成，需要完善批判性人格，并逐步形成獨立思考、辨別是非、選擇和獲取有價值的知識、分析并提取有意義的信息等能力。批判性思維有助于學生形成理性的思考習慣，以樹立正確的價值取向（是非觀念）。批判性思維的培養不僅是學生生存發展的重要保障，而且是學生個性化發展的認知基礎。在網絡時代，批判性思維技能的掌握是學生健康成長的需要。網絡既給人們搜集信息和學習帶來了方便，又給“三觀”尚未完全形成和穩定的中小學學生帶來了負面的影響。比如，面對網絡上海量的虛假信息、錯誤信息、垃圾信息、不良信息，學生（甚至成年人）如果沒有掌握批判性思維技能，很容易上當受騙甚至可能走上犯罪道路。

（三） 體現數學教育的內在價值

《義務教育數學課程標準（2022年版）》和《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》要求學生“發展質疑問難的批判性思維”［14］，“發展批判反思等共通性素養”［15］，“樹立敢于（批判）質疑……的科學精神”［16］。目前，我國高中生雖然批判性思維傾向較高，但是批判性思維能力較低。［17］這說明，我國學生對批判性思維基本形成價值認同，但我國教育對學生批判性思維的培養明顯不足。皮亞杰認知發展理論表明，10—18歲是批判性思維發展的關鍵期。因此，在中小學加強批判性思維的培養是落實數學教育核心目標的內在需要。

二、 數學教學中批判性思維的培養途徑

批判性思維可以通過教學與練習來培養。批判性思維的培養主要有兩種途徑：一是借助一門學科單獨培養；二是借助幾門學科聯合培養。已有學者對批判性思維的培養做了研究：通過建設批判性思維教學文化、創設“三位一體”培養環境、提升教師批判意識、改變評價模式與方法、建立系統培養體系、運用多樣教學方法（問題驅動法、探究討論法、直觀演示法、自主學習法等）、訓練學生批判性思維遷移、增強學生批判性思維精神（求真精神、懷疑精神、理性精神等）、加強學生元認知的自我監控力、引導學生反思與辨析等策略或方法，來培養批判性思維。［1822］這些策略與方法都有一些啟發性和實用性，但是不夠全面、系統。

研究表明，批判性思維的培養與學科內容相結合更為有效。［23］在數學教學中培養批判性思維，更具有優勢：一方面，數學理論的嚴謹性、邏輯性與批判性思維的內涵非常接近；另一方面，數學學習經常伴隨著質疑、糾錯、探究、論證等批判性思維活動。依據數學教學的特點，全面、系統地培養批判性思維，既要關注日常教學過程，做好滲透培養，又要關注相關思維要素，做好專項培養。

（一） 在課前準備、課堂實施、課后反思中滲透培養

作為一種高階思維，批判性思維的培養并非一朝一夕之功。在現有的以學科知識教學為載體，在問題解決過程中發展思維、培育素養的課程與教學安排下，批判性思維的培養可以片段式地滲透在日常的課堂教學中——實際上，日常課堂教學培養的扎實的數學“四基”和關鍵能力正是發展批判性思維的必要基礎。這需要教師做好課前準備、課堂實施、課后反思的工作。

1. 課前準備

第一，制定批判性思維的教學目標。一是分階段設定批判性思維目標，即讓不同年齡對應不同的批判性思維要求；二是分要素設定批判性思維目標，即拆分批判性思維的要素，包括如何質疑、如何提出問題、如何查找問題存在的原因、如何證明或證偽、如何作出正確結論等；三是制定批判性思維目標時，重視思維的可遷移性，在學科教學內容中增加批判性思維的相關內容，把批判性思維目標植根于學科教學目標之中，構建含有批判性思維的課程目標和教學目標；四是將課程目標中已經明確的批判性思維要求在相應的教學中不斷細化、優化，并付諸實施。例如，初中和高中都會教學函數的定義，都要確定相應的批判性思維教學目標，讓學生通過對一些典型案例的辨析，即對函數各種“非本質屬性”的批判來建構定義的“本質屬性”——單值對應。

第二，精選或開發培養批判性思維的案例。案例是培養學生批判性思維的有效載體。在批判性思維教學目標的指向下，可以采用“微批判”的案例教學，即片段式培養批判性思維的教學。教師可以精選經典案例（典型例題、模糊概念、易錯知識等），見縫插針地引導學生進行比較、辨析、反省、反思、質疑、論證等訓練。例如，高中教學函數的定義時，可以讓學生通過對“判斷y=1是不是函數”的思考與探討，認識到初中函數定義的局限性，從而對其進行批判，激發學習高中函數定義的動機。

2. 課堂實施

課堂教學中，教師自身良好的批判性思維能力和對教學時機的適當把握，有助于提高學生批判性思維培養的有效性。

首先，教師要增強批判性思維能力。主要可以從兩個方面入手。第一，加強對批判性思維理論的學習，包括對批判性思維通識理論的學習，對結合學科特點的批判性思維理論的學習，對以培養批判性思維為目標的學科教學應該重新建構的教學原則（如數學教學的數形結合原則、直觀想象原則、邏輯推理原則等）以及教學策略與方法（如演繹法、實驗法、探究法、啟發法等）的學習，等等。第二，重視對批判性思維的實證研究。一方面，開展研究性教學，即總結教學經驗，提煉教學理論，投入教學實踐，驗證完善教學成果；另一方面，進行量化的實證研究，即總結得到教學經驗，提煉形成教學理論之后，系統設計實施教學，收集分析測量數據，獲得研究結論。

其次，教師要把握批判性思維的教學時機，如興趣的啟發時機、知識的生長時機、思維的拓展時機和應用時機等。第一，激活學生批判性思維的興趣點，即創設多樣的教學情境，激發學生批判性思維；營造輕松的課堂氛圍，激發學生批判的動機；融合美育與德育，激發學生批判的興趣等。第二，關注學生批判性思維的生長點，即關注概念的癥結點、知識的轉折點和解題的關鍵點等，培養學生全面、客觀、理性看待問題的思維能力。第三，把握學生批判性思維的拓展點，即創設序列化問題，拓展學生思維空間；巧設沖突化問題，引導學生發散思維；妙設層次化問題，引導學生深度思維等。第四，強化學生批判性思維的應用點，即開展研究性學習活動和主題辯論賽等，增強學生的批判意識，促進學生的批判性交流，提升學生的思維品質，讓學生能以批判的眼光觀察世界，用批判的思維思考問題。

例如，教學“充要條件”時，教師可以出示題目：關于x的一元二次方程x2-mx+m+3=0的兩個實根都大于2，求實數m的取值范圍。再出示解法：x1+x2=m＞4，x1x2=m+3＞4，解得m＞4。讓學生判斷是否正確。學生運用批判性思維，不難發現該解法不夠嚴謹，從而得到解法：Δ=m2-4m-12≥0，x1+x2=m＞4，x1x2=m+3＞4，解得m≥6。這時，教師進一步引發學生質疑批判：取m=7，代入原方程，發現并不滿足條件。經過進一步推敲，學生得到正確解法：x1x2=m+3＞4應該改為（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4=m+3-2m+4＞0。

3. 課后反思

課后反思是學生對學習內容、方式以及過程的系統思考、反復思考、辨別式思考等。如何讓學生學會反思？需要教會學生反思的對象、方法和角度等，并且帶領學生進行反思。例如，高中教學函數的定義后，教師可以選擇下面一些角度，帶領學生進行反思：一是“對比”反思，即讓學生對比不同版本的高中數學教材中函數的定義，從而產生各種疑惑；二是“閱讀”反思，即讓學生閱讀相關文獻，引導學生判斷函數的定義是否符合下定義的規則；三是“講述”反思，即讓多個學生講述定義，讓全班對不同的講述產生各種思考，引導學生檢查對定義理解的全面性與準確性；四是“問題”反思，即圍繞教學重難點設計問題串，引導學生辨析并弄清概念的本質屬性等。

（二） 圍繞批判性心力、批判性心智專項培養

人的心理加工活動是在心力與心智協同操作下完成的，心力操作即非認知操作，心智操作即認知操作。［24］心力操作是激活心智操作的動力系統，心智操作是實現心力操作的必要條件。批判性思維的培養，既離不開心力操作的激活，也離不開心智操作的提升。

1. 激活批判性心力

心力（即非認知）主要包括情感、動機、興趣、態度、意志、性格等成分。［25］批判性心力是指激活、啟動、維持和完成批判性思維過程所需的心力操作，主要包括積極的批判情感、強烈的批判動機、濃厚的批判興趣、正確的批判態度、堅強的批判意志和堅定的批判性格等非認知因素。激活批判性心力，需要良好的人文環境和積極的意向場。

第一，各方協作，營造批判性思維的人文環境。良好的人文環境包括國家鼓勵批判性人才、社會保護批判性行為、學校創設批判性文化、教師鼓勵質疑批判的精神等。通過環境熏陶，激發學生濃厚的批判興趣、引導學生樹立正確的批判態度、訓練學生堅強的批判意志等，全方位呵護學生批判性思維的萌芽與發展。

第二，師生合作，打造批判性思維的意向場。教師要優化批判性思維的教學方法，如采用啟發式、探究式、討論式、追問式等，激發學生的批判動機。學生要學習批判性思維的方法，如反省反思、理性質疑、勇于表達、邏輯證明等。

例如，教學“復數的絕對值（模）”時，可以采用如下方法激活學生的批判性心力（主要是批判性動機）。教師讓學生聯想實數x的絕對值的算法，即x=x，x≥0，-x，x＜0。由此，學生可能把實數絕對值的本質錯誤地理解為“分類討論的算法”。這樣理解貌似可以，但卻無法得到a+bi的定義（算法）。進而，讓學生對這種“錯誤”理解進行批判，得到“實數絕對值的本質是距離”的正確理解，即x=（x-0）2。在此基礎上，得到復數絕對值的定義：a+bi=OZ=（a-0）2+（b-0）2=a2+b2，其中，O（0，0），Z（a，b）。不難看出，a+bi=a2+b2是在x=（x-0）2的基礎上生成的。

2. 提升批判性心智

心智（即認知）系統是獲取思維經驗的重要基礎，也是發展思維能力的必要條件。［26］批判性心智是指調動、維持、完成和反思批判性思維過程所需的心智操作，主要包括“四反”技能（即反省、反思、反駁、反證）、系統分析、綜合評判、質疑創新、元批判性思維等高階認知。

（1） 培養“四反”技能

“四反”是批判性思維的重要技能。

反省是一種詰問。［27］反省是對自己數學經驗的一種追問，也是對自己數學認知狀況和非認知狀況的一種追問，目的是提升自己的認知能力和非認知水平——主要是了解自己的認知情況，包括知識的掌握度、方法的熟練度、結論的準確度等，在此基礎上提升、更新、加強自己的認知能力。

反思是對話的產物。［28］反思是通過對自己的追問以及與他人或他物的信息交換，對已有信息產生的思考。反思的對象是多樣的，比如教材、自己、同學、教師、權威等。思考的方法也是多樣的，比如用簡單思考復雜、用特殊思考一般、用具象思考抽象、用情境思考知識等。［29］

反駁是一種揚棄。反駁是用反例和事實對某些已有信息的批駁和局部性否定。例如，依據初中的函數定義，不少學生因為對應關系中未含有兩個變量而認為對應關系不是函數。但若依據高中的函數本質（即單值對應），對應關系是單值對應，則此對應關系是函數。這就出現了認知矛盾。矛盾的出現并不是否定初中的函數定義，而是認為初中的函數定義不夠完善，需要改造，由此可得高中的函數定義。

反證是一種證明方法。反證是通過假設結論錯誤（否定結論），推出矛盾，從而否決假設（證明結論）。使用反證法需要具備良好的逆向思維。培養學生的逆向思維可以從以下方面入手：一是結合概念，引導學生逆向思考，挖掘概念中的隱含條件和隱蔽性質；二是結合公式，引導學生逆寫公式，掌握公式從左到右和從右到左的推導與應用過程，如正弦函數的二倍角公式sin2α=2sinαcosα、余弦函數的差角公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ的順推與逆推、順用與逆用等；三是結合例題，在教學過程中加強反例的應用和反證法的使用，滲透逆向思維解題的數學思想。

（2） 展開系統分析

系統分析是批判性思維的常用方法。系統分析將信息作為一個系統，對系統的要素和結構進行綜合分析，探尋信息的可信性和處理信息的可行性。借助系統分析訓練，啟發學生深入思考，可以增加學生客觀、辯證、理性處理信息的能力。任何信息都是由單個要素或多個要素組合而成的。比如，數學中的定義、結論、問題等由數學概念、數學符號、數學圖表等要素組成。分析信息主要有三個角度：一是分析要素的現象，二是分析要素的本質，三是分析要素之間的聯系。

單要素信息與多要素信息分析的方法也不同。一方面，對單要素信息，需要選取一些分析角度，不同要素的分析角度不同。比如，分析數學概念，可以從概念的含義、概念的發展史、概念的表述、概念的應用、概念的辨析等方面進行。另一方面，對多要素信息，需要系統分析。比如，對數學問題，可以從以下角度分析：一是問題的本質，即情境下的問題蘊含什么要素，這些要素考查什么知識，這些知識之間有什么聯系等；二是解決問題的思路，即弄清問題涉及的內容后，結合數學方法和思想等，探究解題路徑；三是問題的變式，即利用問題的本質，衍生變式問題，深化或加強問題。

（3） 進行綜合評判

綜合評判不是憑借直觀的感受或觀察隨意評價，而是有根據、有條理地判斷信息。通過評價，不僅能思考教材內容、教師教法、學生的自我認知，還能檢查活動過程中存在的問題。評價的對象是多樣的，如教材、教師、自己。不同對象評價的角度不同，主要從教學的結果與過程兩個方面進行。一方面是以預期教學目標為參照的評判，即構建一套評價體系，診斷和評價教學成果，促進自我反思和自我評判的常態化。另一方面是對教學過程進行多層次的評判，即通過提問的方式對照教學過程中可能存在的問題。一是教材的內容，即數學概念、數學命題、數學問題等。對數學概念，思考概念的背景是什么、概念的本質是什么、概念的幾何意義是什么等；對數學命題，思考命題的條件是什么、命題的結論是什么等；對數學問題，則思考問題的物理背景或幾何意義是什么、問題的條件是什么等。二是教師的教學，即教師講授方法是否正確、思路是否清晰、提問是否恰當等。三是自己的理解，即對教材內容的掌握和應用、對教師講授的吸收和提煉等。對教材內容和教師講授，反思自己的認知情況，如概念的運用、概念與其他概念的關系、解決問題的思路與方法、解決問題方法的簡化、命題的證明、命題的推廣等。

（4） 落實質疑創新

批判性思維往往是創新的“最近發展區”，并以創新為最終目標。這種創新被稱為質疑式創新，它是一種希望通過質疑批判，發現或提出正確的新知識、新方法和新理論的思維。這里的“新”一般是相對創新，即與自己已有經驗相比較，提出了新的概念和新的命題、數學問題解決的新策略和新方法。教師應該圍繞課題提問，利用對話式（發現式）教學，引導學生反思、分析、判斷、揚棄、建構，從而（相對）創新。數學教學中激發批判性思維的問題包括質疑性問題、反思性問題、診斷性問題、猜測性問題、探究性問題、開放性問題等。

例如，教師可以圍繞“函數的本質是什么？”這一探究性問題，設計問題串：（1） 請舉一個例子來說明怎樣理解函數的對應關系。（2） 任意一個對應關系都能表示一個函數嗎？（3） 應用高中的函數定義，判斷y=1是不是函數。（4） 是否只能用解析式表示函數關系？（5） 函數定義中的對應關系有什么特點？這樣的問題串意在讓學生通過對函數定義的思考，在認知系統中逐步批判并剔除（消除）函數概念的各種非本質屬性，從而達到認識函數概念本質屬性的目的。需要說明的是，質疑式創新的結論可以再批判，即“批判—創新—批判”。在思維活動中，兩者相輔相成，批判是創新的前期支架，創新是批判的內容來源。

（5） 開發元批判性思維

元批判性思維是批判性思維的核心成分，而元批判性思維的核心是元批判性思維監控［30］。開發元批判性思維是提升批判性心智的核心環節，也是培養批判性思維的重要途徑。元批判性思維是對批判性思維要素和過程的一種“批判”，是基于理性標準反復審視思維要素的漏洞和過程的偏差，完善批判性思維要素和監管批判性思維過程。理性標準是元批判性思維的關鍵。元批判性思維貫穿批判性思維全過程，涉及反省反思是否合理、分類是否嚴密、評價是否準確、創新是否正確等。

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（尤 娜，內江師范學院教育科學研究院。主要研究方向：數學教育。趙思林，內江師范學院數學與信息科學學院，教授，碩士生導師。主要研究方向：數學高考、數學教育。）

*本文系四川省卓越教師培養計劃項目（編號：ZY16001）、四川省教育科研資助金項目重點課題“差錯診斷與差錯控制——數學教與學解困新路探究”（編號：SCJG20A049）、內江師范學院橫向科研項目“高中數學原創性命題研究與推廣”（編號：HXL21111）的階段性研究成果。趙思林為本文通訊作者。