極限思想在小學數學教學中的滲透

武開萍

【摘要】極限思想是一種運用極限概念解決與分析問題的數學推理思想，將其合理地滲透到小學數學教學之中，不但有利于學生邏輯思維能力的發散，對學生數學學習水平的提升與數學核心素養的發展同樣具有積極的促進作用.鑒于此，文章便結合小學數學教學實例，對在數學概念建構、數學公式推導、數學問題解決中滲透極限思想的數學教學方法展開探究.

【關鍵詞】極限思想；小學數學；數學教學

在數學教學中滲透數學思想方法是現代小學數學教學的流行趨勢，也是開發數學學科育人價值，落實培養學生數學核心素養教育任務的重要手段之一.因此，為讓數學思想方法成為保障學生長足發展、終身發展的關鍵思想武器，小學數學教師就必須要抓好滲透數學思想的教學契機，促成學生良好數學應用實踐意識的形成.

一、極限思想在數學概念建構中的滲透

數學概念是小學數學教學中最為基礎的教學內容，也是學生實現深度數學學習的重要奠基.因此，為讓學生在深度把握數學概念、透徹領會極限思想在數學學習過程中所起到的突出作用的同時，建構起完善的數學知識體系，小學數學教師必須要把握好數學概念建構中極限思想的滲透契機，為學生的發展數學核心素養夯實基礎.

如在引導五年級學生學習“可能性”這一數學概念時，教師便可基于小學生的認知特點與思維習慣為學生設計“摸球游戲”，并將極限思想滲透到游戲活動之中，以此讓學生在充分理解可能性這一概念的基礎上，學會運用極限思想探究與分析數學知識.

教師為學生展示一個不透明的空紙箱與若干個大小一致的紅、藍小球.首先，當著學生的面將5個紅色小球放置于紙箱中，并向學生提問：“你們認為從盒子里取出的球是什么顏色的球？如果向盒子里繼續加入紅色小球，你們認為拿出來的小球是什么顏色的小球？為什么？”以此來調動學生的學習積極性，激活學生的數學思維.此時，學生便會篤定拿出來的小球一定是紅色小球，因為盒子里沒有其他顏色的小球，摸出紅色小球的概率是100%.

其次，教師將3個藍色小球放進紙箱中，讓學生思考：如果拿出來一個小球，這個小球的顏色是紅色還是藍色？哪個顏色的概率更大？為什么？并鼓勵學生動手實踐，讓學生通過多次摸球的方式驗證“摸出紅球可能性更大”這一猜想.教師再向學生提問：“如果想要增加摸出藍球的概率，減少紅球的概率，可以怎么做？”發散學生的思維，促使學生主動提出“增加紙箱中藍色小球的數量”或“減少紙箱中紅色小球的數量”等假設，并自發地展開動手實踐與操作進行假設的驗證.通過實踐操作與探究分析，學生便會發現：不斷增加紙箱中藍色小球的數量或減少紙箱中紅色小球的數量，可增大摸出藍色小球的可能性：當紙箱中藍色小球與紅色小球的數量相等時，摸出藍色小球與摸出紅色小球的可能性相等，均是50%；當紙箱中藍色小球的數量遠遠大于紅色小球數量時，摸出藍色小球的可能性便會無限趨近于100%，但始終不會達到100%.屆時，教師便可見縫插針地向學生滲透極限思想，讓學生領會到不斷增加紙箱中藍球的數量（n→∞），使得摸出籃球的可能性越來越大，但始終不會達到100%，即摸到藍球的概率無限趨近于1；減少紙箱中紅球的數量（n→0），使得摸出紅球的可能性逐漸從大于50%減少到等于50%再低于50%，但始終不會是0，即摸到紅球的概率無限趨近于0.

最后，教師便可在學生“摸球游戲”活動結束后，鼓勵學生在課堂中表達自己的學習感想與心得，促使學生在觀點、思維、見解的碰撞中迸發出智慧的火花，實現對可能性這一數學概念的充分領會與感知.此后，教師再為學生提供黑白雙色的圍棋棋子，讓學生結合從“摸球游戲”中所獲得的知識經驗與思想方法利用圍棋棋子設計公平的數學游戲，從而在進一步加深學生對“可能性”這一數學概念的認識理解，促使學生形成良好的極限思想應用意識.

二、極限思想在數學公式推導中的滲透

小學生掌握并運用數學公式是提升數學學習效率的關鍵，也是學生合理分析數學問題與正確解決數學問題的核心所在.但在當前的小學數學教學中，多數教師會將數學公式一股腦地灌輸給學生，忽視了學生對數學公式的自主分析、自主推導，這就使得極易出現學生對數學公式認識不徹底、應用不靈活等問題，嚴重限制與阻礙了學生數學學習水平的提升與數學解題效率的提高.因此，為在核心素養視域下有效改善這一明顯問題，小學數學教師便可將極限思想巧妙地滲透到抽象的數學公式推導之中，讓學生通過自主推理、合理分析的方式實現對數學公式進行有效梳理，在有效加深學生對數學公式的印象與記憶的同時，促使學生邏輯思維能力、極限意識以及終身學習能力進一步的發展提升.

以“圓”的教學為例，教師可將極限思想滲透到“圓的面積”公式教學之中，逐步引領學生展開公式的自主推導，促使學生在推導公式的過程中感知無限趨近的極限思想.

一方面，可在劉徽的“割圓術”中滲透極限思想.

首先，教師根據學生的學習水平與思維能力將學生劃分成若干個學習小組，讓學生用圓規在A4紙上畫出一個半徑為10cm的圓，并在這個圓中盡可能大地畫內接正方形（圖1），讓學生通過測量這一內接正方形邊長的方式計算出正方形的面積，并思考這一內接正方形與圓面積之間的關系，使學生認識到內接正方形的面積趨近于圓的面積，但不等于圓的面積；其次，教師可設置探究性問題：圓內接正多邊形邊數越多，正多邊形就越接近圓的面積嗎？引發學生的探討與分析，促使學生以小組合作的形式畫邊數更多的正多邊形（圖2），通過觀察圓內正多邊形學生認識到：隨著圓內接正多邊形邊數的增加，正多邊形的面積就越接近圓的面積.當正多邊形邊數無限多時（n→∞），圓內正多邊形面積便近似于圓的面積；最后，由于小學生能力水平存在的局限性，教師可利用多媒體設備為學生展示通過內接正多邊形的方式推導出圓面積計算公式的視頻短片，為學生創設直觀的教學情境，促使學生由此感受到逐步無限趨近的極限思想的魅力，建立起良好的無限觀念與空間觀念，從而對數學知識的學習生成濃厚興趣與探究欲望.

另一方面，教師可以教材為基準，將極限思想滲透到將圓分割、拼接為平行四邊形的方法之中.

教師向學生提問：“平行四邊形與梯形面積的公式是如何推導的？”引發學生對已有知識經驗的回顧與反思，促使其主動提出“將圓轉化為已知圖形”的想法.隨后，教師便可鼓勵學生將自己所繪制的圓進行八等分，通過拼接八個由圓分出的等面積扇形認識到可將圓轉化為平行四邊形（圖3），并讓學生想一想：是否圓的等分份數越多，所拼出的圖形就接近平行四邊形？以來驅動學生通過折紙、剪拼等實際操作的方式認識到：圓等分的份數越多，所拼出的圖形就越近似平行四邊形，并且這一平行四邊形的面積無限接近原來的圓的面積（圖4）.

無論是在“割圓術”中，還是將圓轉化為平行四邊形，學生均在無意識下運用了“化圓為方”“化曲為直”的極限分割思想.并且，通過觀察與實踐“有限分割”，學生也會充分發揮自身的想象力，展開“無限分割”的聯想，并根據圖形的變化趨勢感知到圖形的最終形態.如此，不但能夠讓學生順利推導出圓的面積計算公式，也能夠讓學生在親歷“有限”到“無限”再到“極限”的過程中體悟到極限思想的價值與魅力，在后續的圓柱與圓錐面積、體積計算公式的學習中，學生便會自然而然地遷移運用這一思想方法嘗試自主推導，數學學習效率與數學思維能力便在潛移默化中得到了提升.

三、極限思想在數學問題解決中的滲透

培養學生解決問題能力是《義務教育數學課程標準（2022年版）》對我國基礎教育階段小學數學課程教學明確提出的教學要求，同樣是小學生通過學習數學知識所需發展與形成的關鍵能力、必備素質.但由于小學生的認知水平與思維能力受于自身年齡的限制而存在發展相對較緩的狀況，這就使得多數學生在實際解決數學問題的過程中通常會出現解題思維不活躍、解題策略不靈活、解題方法不變通等問題，進而嚴重限制了學生數學問題解決效率與水平的提升.因此，為在新時期的小學數學教學中，更為有效地扭轉這一形勢，小學數學教師就可從鍛煉學生解題思維入手，將極限思想合理地融入學生的問題解決過程之中，以此來讓學生的思維更加活泛、更加發散，促使學生能夠在后續的數學學習中一針見血地找出、找準問題的關鍵.

并在學生自主計算后，向學生提問“這些異分母加法算式有什么特點？算式的和有什么特點？”以此將學生的目光與思維更好地聚焦在分數算式的特點與規律的發現上.在問題的引導下，學生便會在經過小組討論或自主思考后得到“以上這些分數加法，每個分數的分子都是1，而后一個分數的分母則是前一個分數分母的兩倍.這些分數的和也越來越大.”

在上述解題過程中，不但學生的計算能力得到了鍛煉，思維能力也會在數形結合思想與極限思想的交互作用下得到了發散.

總 結

在小學數學教學中滲透極限思想不可避免地會受到小學生認知水平低、思維發展緩等因素的限制.因此，為更好保證學生數學核心素養的穩步發展，促進學生思維能力的有效進階，小學數學教師就必須要有“敢于上蜀道、登青天”的拼搏精神與頑強不屈的意志，從積極開發小學數學教材內容入手，抓住滲透極限思想的有利時機，以此來讓極限思想更好地融入學生數學知識的學習之中、數學問題的解決之中，促使學生在數學思想方法熏陶與浸潤下實現可持續性的全面發展.

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