支架式教學在高中數學教學中的應用

袁美玉 房維維

摘要：本文中首先介紹了支架式教學的內涵及過程，然后結合人教A版選擇性必修第三冊第七章第五節“正態分布”的教學案例，分析如何在教學中利用支架式教學模式，以達到引導學生體會知識的生成過程，理解知識的本質，提高問題解決能力，提升核心素養的目的.

關鍵詞：支架式教學；正態分布；教學設計

支架式教學是以學習者為中心，以培養學生的問題解決能力和自主學習能力為目標的教學模式.教師向學習者提供一些線索和提示，引導學生發現和解決學習中的問題，掌握所要學習的知識，提高問題解決能力，培養學生成長為獨立的學習者.

合理利用支架式教學能有效培養學生自主學習能力和解決問題的能力，支架式教學正逐漸被高中數學教師所采用.筆者以人教A版“正態分布”的教學設計為例，探討如何在教學中合理利用支架式教學實現其應有的價值.

1 “正態分布”教學設計思路

本節課選自2019年人教A版高中數學選擇性必修第三冊第七章《隨機變量及其分布列》第五節，教學素材豐富，可以很好地利用情境支架、問題支架、工具支架、實驗支架、數學文化等多個支架層層遞進地進行教學設計.結合本節課的教學內容設計教學思路如圖1所示.

2 “正態分布”教學設計

環節1：搭建概念支架，明晰連續型隨機變量特征

【問題支架1】師：在生活中存在著大量的隨機事件，比如在學校內任意選取一名同學，我們能否事先準確地猜測出這位同學的身高？

【問題支架2】師：這位同學身高的可能取值你能列舉出來嗎？如果能，請列出它的分布列.

追問：該同學身高正好為1.70 m的概率是多少？

師生總結：總結連續型隨機變量的主要特征并與離散型隨機變量進行對比學習.

設計意圖：根據兩個問題支架，引發學生的認知沖突，同化學生原有的認知結構.

環節2：創設情境支架，建立誤差模型，觀察曲線特點

【情境支架】師：某鋼材廠生產了一批鋼筋，為了檢驗鋼筋長度是否符合出廠標準，隨機抽取出了1 000根鋼筋，計算誤差，并且繪制頻率分布直方圖和折線圖.

【工具支架1】利用幾何畫板動態展示直方圖組距逐漸縮小的過程（可通過圖2掃碼觀看）.

學生總結：隨著組距減小，頻率分布折線圖近似于一條光滑的曲線，這條曲線會有中間高、兩邊低、左右大致對稱的特點.

【問題支架3】師：這種特點只是該隨機變量所特有的嗎？它是偶然的現象嗎？

設計意圖：激發學生的學習興趣，引導學生進一步探究曲線有“中間高、兩邊低、左右對稱”特點的原因.

環節3：深入探究正態曲線特點的原因

【實驗支架】教師介紹高爾頓釘板的結構.

【問題支架4】小球下落的位置是一個隨機事件嗎？

追問1：大量的小球下落，它的分布會不會呈現特殊的規律呢？

追問2：多次實驗，結果還是一樣的嗎？

【問題支架5】為什么隨機變量的概率分布會呈現這樣的特點呢？（提示：高爾頓釘板曾在學習二項分布時有過應用.）

在生活中，眾多的、互不干擾的、不分主次的偶然因素所作用而產生的連續型隨機變量，例如某些物理量的測量誤差，某地每年某月的平均降水量、平均氣溫，某一地區同年齡人的身高、體重等都服從正態分布.

環節4：小組協作學習，探索正態曲線的性質特征

【問題支架6】依據函數的性質，分析正態密度函數解析式和正態曲線，總結正態曲線的性質特征.（小組合作，并派小組代表匯報本組的研究成果.）

追問1：在學習函數的過程中，我們通常學習函數的哪些性質？

追問2：正態密度函數的定義域是什么？值域是什么？

追問3：正態密度函數有怎樣的單調性？

追問4：正態密度函數的對稱軸是什么？

追問5：函數的最大值在何處取得？

設計意圖：從正態密度函數解析式入手，不僅可以準確地分析正態曲線的性質特征，還可以提高學生分析函數解析式的能力.

【問題支架7】利用幾何畫板，觀察當μ和σ分別發生改變時，見圖4、5，正態曲線有怎樣的變化規律？這兩個參數在統計學中有何意義？（可通過圖3掃碼觀看.）

學生總結：參數μ反映了正態分布的集中位置，σ反映了隨機變量的分布相對于均值μ的離散程度.

教師總結：在實際問題中，參數μ，σ可以分別用樣本均值和樣本標準差來估計，所以

若X～N（μ，σ2），則E（X）=μ，D（X）=σ2.

【問題支架8】對于服從正態分布的隨機變量，如何求得隨機變量的取值落在某個區間內的概率？

追問：正態曲線與x軸圍成的面積是多少？

環節5：應用GeoGebra軟件，歸納3σ原則

【工具支架2】師：正態密度函數可以由μ，σ兩個參數唯一確定，假設X～N（0，1），可以利用

GeoGebra軟件，求得隨機變量的取值落在任意區間內的概率，如圖6所示.

引導學生在練習操作GeoGebra軟件的過程中自主總結出3σ原則.

學生總結：假設X～N（μ，σ2），則

P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.682 7；

P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.954 5；

P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.997 3.

教師總結：盡管正態變量的取值范圍是實數集，但是取值落在區間［μ-3σ，μ+3σ］以外的概率大約只有0.002 7，通常認為這種情況幾乎不可能發生.所以在實際應用中，通常認為服從正態分布N（μ，σ2）的隨機變量X只取［μ-3σ，μ+3σ］中的值，這在統計學中稱為3σ原則.

3 總結與反思

本設計的亮點之一在于在教學過程中，真正做到了以教師為主導，以學生為主體.通過一個個支架，引導學生向上攀升，逐漸提升解決問題的能力.

亮點之二在于教師提供函數性質這一支架，類比函數的性質，學生自主發現了正態曲線的性質特征.通過小組交流，學生現場產生頭腦風暴，互相補充，總結出結論.既鍛煉了學生通過類比遷移知識的能力，又提高了學生協作交流的能力.

亮點之三在于教師演示了GeoGebra軟件的使用過程之后，學生有機會實踐操作，并且了解到對于服從正態分布的隨機變量，只需要知道樣本的均值和標準差，就可以求得隨機變量的取值落在某區間內的概率.體會正態分布的無窮魅力.

不足之處在于在正態分布模型的教學中應該培養學生數據分析觀念和數學建模能力.由于課堂時間有限、樣本容量有限，因此未能展開對學生生活中服從正態分布的隨機變量進行數據收集的工作，弱化了對學生數據分析觀念和數學建模能力的培養.