數(shù)形結(jié)合，破解平面向量最值問題

孟敏

摘要：平面向量問題一般具有“數(shù)”“形”兼?zhèn)涞奶卣鳎詫τ谄矫嫦蛄恐械暮芏嘧钪祮栴}，可以分別從代數(shù)和幾何兩個角度來研究.研究的角度不同，可能就會有不一樣的精彩.而這種“數(shù)形結(jié)合”的研究，也有助于學(xué)生拓寬思路，加深對問題本質(zhì)的認(rèn)識.

關(guān)鍵詞：平面向量；數(shù)形結(jié)合；最值問題

近幾年的高考和模考中，平面向量經(jīng)常以求最值或取值范圍的題型出現(xiàn)，與其關(guān)聯(lián)的知識點(diǎn)較多，題目的綜合性也比較強(qiáng)，學(xué)生雖然感覺“面熟”，卻普遍得分不高.這種情況也在一定程度上反映出高中平面向量教學(xué)和解題中存在過于注重代數(shù)形式而忽略了幾何

方法的問題.其實(shí)，平面向量集“數(shù)”“形”于一體，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，也是分析與解答數(shù)學(xué)問題的有效工具.

高中數(shù)學(xué)中的最值問題研究的就是“動”的問題，只要找到“動”的規(guī)律，問題也就迎刃而解了！所以，在解決問題時，有時可以利用平面向量的定義、性質(zhì)、幾何意義等，將條件轉(zhuǎn)化為圖形特征， 將問題化歸為平面幾何問題進(jìn)行處理.相對于代數(shù)方法，幾何法可能更直觀形象！下面將以例題形式呈現(xiàn)一些平面向量最值問題的代數(shù)解法與幾何解法，并對幾何解法的入手方向進(jìn)行分類闡述，揭示“動” 與“變”的聯(lián)系.

1 利用平面向量的平行四邊形法則

的長度就是這兩條平行線之間的距離，即BD⊥AC.

此時利用直角三角形的勾股定理不難得到各邊的長度關(guān)系（如圖2，令CD=t），最后在△ABC中利用余弦定理求

2 利用數(shù)量積的幾何意義

3 利用極化恒等式化歸為距離問題

4 利用向量的模的幾何意義

其實(shí)，平時的練習(xí)中還有很多這樣既可以用代數(shù)法又能用

幾何法解決的問題，更不乏巧妙使用幾何法的例子.但是，我們不能因?yàn)閷⑾蛄織l件量化后能擺脫復(fù)雜的變形或化簡就一味追求代數(shù)法.如果能夠充分發(fā)掘題設(shè)條件和所求目標(biāo)的幾何意義，有些繁難的運(yùn)算可能就能夠避免，同時也能引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會和體驗(yàn)數(shù)學(xué)內(nèi)涵，掌握和鞏固數(shù)學(xué)方法.因此，在平時的教學(xué)中，既要重視向量的代數(shù)運(yùn)算，又要注意加強(qiáng)向量運(yùn)算的幾何意義的滲透， 幫助學(xué)生形成和內(nèi)化數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)其核心素養(yǎng)的發(fā)展.