數學實驗：通往核心素養的重要途徑

王小琦

【摘要】數學實驗是通往核心素養的一條重要路徑.數學實驗之所以能夠有效培育數學學科核心素養，一個很重要的原因就是在數學實驗的過程中，客觀存在諸多數學學科核心素養培育的可能.教師以培育核心素養為目的去設計數學實驗非常重要.基于此，文章從核心素養培育過程中數學實驗的價值出發，以初中數學“三角形的初步知識”教學為例，深刻剖析了數學實驗促進核心素養培育的相關案例，希望引導學生在數學實驗中理解核心素養內涵.

【關鍵詞】初中數學；數學實驗；核心素養

為了落實“立德樹人”的教育目標，國家層面提出了核心素養的概念，相應的各個學科也就有了學科核心素養.借鑒高中數學學科核心素養的界定，在初中數學教學中，教師也應當致力于培養學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、數據分析以及直觀想象等素養.當然必須明確的是，這些數學學科核心素養要素的培養并不是齊頭并進的，也不是各自獨立的，在某一個知識點的教學過程中，在某一節數學課堂上，數學學科核心素養的不同要素應得到不同程度的培養.在確定了這一認識之后，還有一點值得思考，那就是對傳統的初中數學教學過程進行怎樣的優化，才能讓核心素養落地的過程變得更加順利？對于這個問題，筆者認為需要在教學實踐的過程中探索其答案.行是知之始，知是行之成.對于初中數學教學的已有傳統來說，“敢探未發明的新理，敢入未開化的邊疆”應是數學教師的必備品質.有專家在若干年前提出了數學實驗的概念，并且在初中數學教學中進行了實驗與推廣.在核心素養的概念提出之后，在探究數學學科核心素養落地途徑的過程中，可以發現數學實驗是通往核心素養的一條重要路徑.

一、核心素養培育過程中數學實驗的價值

尋找數學學科核心素養落地的途徑，本質上是讓理論化的核心素養闡述變成數學課堂上教師的實施策略與方式.比如說，數學抽象作為數學學科核心素養的第一要素，其既是學生應當獲得的素養，又是學生數學學習的一個過程，也就是說數學抽象素養是在數學抽象的過程中獲得的.同樣的分析可以發現，其他數學學科核心素養要素也具有類似的特征，因此過程就變得非常重要，也因此在初中數學教學過程中，只有賦予學生一個良好的學習過程，其數學學科核心素養才能得到切實的培養.打一個比方，培育學生的數學學科核心素養就如同培育一棵樹苗一樣，應當將養分（等同于數學學科核心素養的各個要素）通過科學的配比提供給樹苗，然后讓樹苗自己去吸收，自己去成長.

那么數學實驗能不能提供這樣一個過程呢？眾所周知，數學實驗教學是讓學生通過自己動手操作，進行探究、發現、思考、分析、歸納等思維活動，最后獲得概念、理解或解決問題的一種教學過程.在這個過程當中，數學實驗的價值在于教師在學生實驗的過程中，可以更多地通過提問去引導和啟發學生學習、研究數學問題，這個過程中的教師仍然處于主導的地位，而學生處于主動學習的地位———這一點非常重要，意味著學生不再處于被動學習的狀態.通過數學實驗、課堂觀察、操作體驗，不同層次的學生可以更有效地參與課堂，其手、腦能高效率地動起來.因此，數學實驗教學可以更好地幫助學生提升數學核心素養.當然這只是一個宏觀闡述，從微觀的角度來理解核心素養培育過程中數學實驗的價值，還可以有如下兩點理解：

其一，核心素養培育的主體是學生，核心素養培育的過程伴隨著學生的學習過程.借助數學實驗可以優化學生的學習方式，幫助學生走出長期以來所形成的埋頭苦讀、應付考試的窠臼，在做的過程中既形成豐富的表象，又學會用數學語言描述自己的學習收獲，這里就有豐富的數學學科核心素養的要素.

其二，數學實驗可以更好地促進學生從形象思維走向抽象思維，從經驗積累走向數學知識體系的建立.學生在完成數學實驗的過程中，從視覺輸入信息，并且與已有的經驗發生相互作用，然后通過做的方式實現相互作用過程中生成的理解的輸出，同時在做的過程中，往往又會有新的發現，于是數學實驗也就使得學生的數學學習過程成為一個螺旋上升的過程.在這個過程當中，作為形象思維對象的表象不斷轉換為數學語言，這里也就伴隨著數學抽象與邏輯推理以及數學建模的過程，數學學科核心素養的培育也就有了充分的保證.

二、數學實驗促進核心素養培育案例分析

賦予數學實驗以核心素養培育的重任，讓數學實驗成為核心素養培育的途徑，一個很重要的研究空間就是課堂教學實踐.從數學實驗的基本環節來說，數學實驗的教學模式可以概括為四大環節，即創設情境、動手實驗、提出猜想、驗證猜想.一般認為數學實驗的目的在于培養學生追求探究知識的品質.因此，在日常的數學實踐教學中，教師除了要引導學生參與數學實驗，還要強化對學生思維能力以及認知能力的培養.

在初中數學“三角形的初步知識”的教學中，可以設計數學實驗的環節較多，具體要根據學生的認知基礎以及教學需要來選擇與判斷，筆者這里就自己的實踐案例，談談一些想法.

案例1 “三角形的角平分線、中線和高線”的學習

在學習這一內容的時候，三角形在學生的思維當中已經是一個抽象好了的圖像.這個時候將“三角形的‘角平分線‘中線和‘高線”的概念提供給學生，學生的反應是不同的：看到“角平分線”時，一般能夠想到“平分角的線”；看到“中線”和“高線”時，往往無法憑借自身的想象去形成直觀的理解.這時，教師就可以采用分類教學的策略：對于“角平分線”的教學，可以讓學生畫出三角形，然后去畫角平分線，這也是一個動手的過程，符合數學實驗的基本特征，但學生思維當中所加工的對象，更多的是抽象的圖形；在學習“中線”和“高線”的時候，可以讓學生有更多的操作空間，比如讓學生裁剪出一個三角形，然后用折疊的方法找出三條邊的中點，再連接這個中點和與這條邊相對的頂點，通過這種方式得到的中線（考慮到高線的得出過程與中線的得出過程比較類似，這里就不重復闡述），與通過測量方式得到的中線，在學生大腦中形成的表象清晰程度是不一樣的.學生通過自己的動手操作獲得直接的感性經驗，在感性經驗的基礎上再建立起對中線的理解，印象會更加深刻.從數學學科核心素養培育的角度來看，在這樣的數學實驗過程中，學生通過動手操作而形成表象，通過對表象的加工完成數學抽象，通過運用數學語言去描述數學抽象的結果.有了這樣一個過程，數學抽象以及數學建模（數學概念以模型的形態存在）就能得到充分的培養.

案例2 “全等三角形”的教學

對學生已有的認知進行研究可以發現，面對“全等”，學生往往會有“全部相等”的基本認識，這時如果教師適當地加以引導，學生就可以從邊和角兩個角度去理解全等，于是就會生成“全等三角形就是三條邊和三個角都相等的三角形”.這實際上是一個合情推理和邏輯推理相結合的推理結果，本身蘊含著數學學科核心素養中的邏輯推理這一要素的培養過程.更重要的是，在這樣一個學習過程當中，學生往往會自發的產生一個問題（根據上面的闡述，發現并提出問題往往是數學實驗的開端）：如果要判斷兩個三角形是否全等，是不是非得三條邊和三個角都相等呢？

這個問題的解決完全運用邏輯推理并非不可以（事實上好多版本的教材就是通過邏輯推理來讓學生證明的），但是如果完全采用邏輯推理，并不符合初中生的認知特點.反之，如果運用數學實驗，讓學生在做的過程中有所發現，反而可以激發學生內在的邏輯推理動機，有了這種動機，邏輯推理的過程就不會枯燥，因此學生的學習過程就會是一個良好的認知與情感相互搭配、相互促進的過程.

筆者設計的數學實驗是：先裁剪出一個三角形，然后從三條邊和三個角都相等出發，逐步減少條件，去不斷地得到新的三角形，然后看新的三角形與原先的三角形能否完全重合.這一教學設計的靈感來自教材上的設計———教材設計讓學生用刻度尺和圓規在一張透明紙上畫三角形，然后看不同學生畫的三角形是否能夠互相重合.將尺規作圖的過程變成制作三角形紙片，然后去看紙片能否完全重合，這樣學生會更加感興趣.學生產生興趣的最佳結果，就是他們愿意探究更多的可能.三條邊和三個角這6個量之間的組合非常多，因此有很多可能性.對于這些可能性，有些學生會直接否決，如只有一條邊或一個角相等的兩個三角形絕不可能全等，這實際上就是直觀想象的結果；而對于其他的可能性，學生就會在裁剪的過程當中推理、判斷.

很顯然這樣的一個數學實驗過程，既不是學生純粹的動手操作，又不是純粹的動腦思考，而是一個動手操作與動腦思考相結合的過程，這正是數學試驗所追求的.在上述實驗過程當中，學生不斷試錯，一個個猜想不斷被證實或證偽，于是全等三角形的判定結果，在學生的大腦當中也就越來越清晰.舉一個例子，在判斷“邊邊角”是否可以作為三角形全等的判斷依據時，不少小組所剪切出的結果是能夠“證實”自己的猜想的，而當他們興高采烈地說出自己的發現時，有的小組又會提出反對意見：同樣是邊邊角，他們得到了不能完全重合的兩個三角形.這樣的結果自然會讓他們思考：“邊邊角”不能作為判定三角形全等的依據的原因到底是什么？這個問題是在數學實驗的過程中產生的，但是卻必須運用邏輯推理來解決，因此這個環節對學生邏輯推理能力的培養是非常有效的.從數學學科核心素養的培育角度來看，在這一教學環節中，學生直觀想象與邏輯推理素養得到的培養非常充分.

綜觀上述兩則教學案例，可以發現的一個基本規律是：數學實驗之所以能夠有效地培育數學學科核心素養，一個很重要的原因就是在數學實驗的過程當中，客觀存在諸多數學學科核心素養培育的可能.借助于文章一開始所舉的樹苗培養的例子，在數學實驗設計的過程當中，教師必須有意識地凸顯出某些能夠培育數學學科核心素養某一要素的過程，必要的時候還應通過對數學實驗的優化設計，來達到數學學科核心素養的培育目的.比如在上面的第2個案例當中，筆者在學生實驗的時候，給予充足的時間，允許學生提出任何問題，讓學生有足夠的時間探究自己提出的問題.這樣學生才會在發現多種可能性之后，既能夠基于自身的直觀想象去判斷，又能夠選擇有價值的猜想去推理，這樣學生就能夠充分運用自身的幾何直觀與空間想象去進行初步的判斷，又能夠在推理的過程當中合理運用邏輯，相應的這些數學學科核心素養要素，自然也就能夠得到培育.從這個結果來看，教師帶著核心素養培育的目的去設計數學實驗非常重要.

三、在數學實驗中理解核心素養內涵

理解核心素養的內涵，對于初中數學教師來說是一個重要的任務，盡管由國內教育專家領銜發布的《中國學生發展核心素養》中對核心素養的概念有明確的界定；相關的課標文件中，對數學學科核心素養也有清晰的定義.但是對于一線教師而言，其對核心素養以及數學學科核心素養內涵的理解，仍然有著非常大的進步空間.教師要生成屬于自己的核心素養理解，最關鍵的就是結合自己的教學實踐來進行.數學實驗作為一個同時關注操作與思考的學習載體，能成為核心素養內涵理解的載體.這可以從兩個方面來理解：

其一，作為課程內容的數學實驗，目的是以實驗為載體，展示數學的探索發現過程，使學生親歷這個過程，從中發現數學、體驗數學、理解數學、運用數學、培養創新意識和探索精神.數學實驗應體現活動化、操作化特征，注意返璞歸真，在注意揭示數學概念定理的形成和發展過程以及展示數學問題的解決過程的同時，還要注意與基本的數學思想、數學方法掛鉤，有機地和數學知識教學相互結合，相互促進.課程內容是一個重要的切入角度，將數學實驗視作課程內容，本身就賦予了數學實驗以核心素養培育的任務，這是因為數學學科核心素養原本就是數學課程的根本指向，數學實驗與數學學科核心素養的天然吻合，決定了在前者當中實現后者的落地是可能的.

其二，數學實驗在數學知識建構以及數學學科核心素養培育過程中的綜合作用，使得學生在學習數學概念規律的同時，有充足的核心素養培育的可能.更重要的是，數學實驗還可以對學生的學習產生積極的雙向作用力———既可以促進學生對數學概念和規律的理解，也可以讓學生在數學學科核心素養得到培育的同時提高自身的學習能力，形成關鍵能力，而這正是數學學科核心素養上位概念，也就是核心素養所強調的.

結 語

總的來說，基于數學實驗對核心素養培育的促進作用，并反思數學實驗與數學學科核心素養之間的關系，可以切實有效地培養學生的關鍵能力，讓學生的學習品質得到提升，更可以讓學生的數學學習過程變得高效.由此展望數學實驗在初中數學教學中的運用，筆者認為有著更為廣闊的運用空間，這個空間既存在于課堂之上，也存在于課堂之下，課堂之上教師引導下的數學實驗，可以演變為課堂之下學生的數學實驗意識，這種演變對于學生的數學學習來說是至關重要的，其決定著學生對數學課程的理解以及自身的學習品質，是核心素養培育的堅實基礎.

【參考文獻】

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