生長數(shù)學(xué)視角下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)案例研究

程玉林 蔡華遠(yuǎn)

摘 要：概念是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。開展有效的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)，能夠幫助學(xué)生夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，有助于他們進(jìn)一步探索數(shù)學(xué)知識。生長數(shù)學(xué)是一種新的教學(xué)理念，它在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用能夠幫助學(xué)生從概念出發(fā)，內(nèi)化數(shù)學(xué)知識，提升核心素養(yǎng)。文章解讀了生長數(shù)學(xué)的基本內(nèi)涵，闡述了生長數(shù)學(xué)在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用意義，并具體分析了生長數(shù)學(xué)視角下高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)施的具體案例。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；生長數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；案例研究

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2097-1737（2023）30-0020-03

高中數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、提升思維和學(xué)習(xí)能力的重要基礎(chǔ)。教師在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中要明確生長數(shù)學(xué)對學(xué)生成長的重要意義，并在教學(xué)實(shí)踐中積極分析應(yīng)用的具體方法，促進(jìn)學(xué)生能力的發(fā)展。在生長數(shù)學(xué)視角下，教師要探索高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)施的具體策略。

一、解讀生長數(shù)學(xué)基本內(nèi)涵

生長數(shù)學(xué)主要觀點(diǎn)包括：數(shù)學(xué)教學(xué)本身就是一種成長；數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)為學(xué)生的成長助力；數(shù)學(xué)教學(xué)要培植思維生長的種子；實(shí)踐上要讓學(xué)生學(xué)習(xí)具有生長力的數(shù)學(xué)[1]。生長數(shù)學(xué)注重在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮知識的生長功能，促進(jìn)學(xué)生的成長。生長數(shù)學(xué)一方面是從學(xué)生角度出發(fā)，尊重學(xué)生的生長規(guī)律，讓學(xué)生通過知識的學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)綜合素質(zhì)的全面成長。生長數(shù)學(xué)能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，并通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、分析以及解決問題來培養(yǎng)學(xué)生的思考能力，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。在問題的探究過程中，學(xué)生可以通過自主以及合作學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)能力的發(fā)展[2]。生長數(shù)學(xué)是一個完整的學(xué)習(xí)過程。從學(xué)生獲取知識到運(yùn)用知識，這是學(xué)生將知識內(nèi)化的過程，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)生長的過程。生長數(shù)學(xué)的另一方面是從數(shù)學(xué)學(xué)科角度出發(fā)，將生長數(shù)學(xué)理念應(yīng)用于課堂教學(xué)中。教師需要秉承生長的理念，在數(shù)學(xué)課堂上給學(xué)生提供機(jī)會，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行思考和探究，為學(xué)生提供開展深度學(xué)習(xí)的外部環(huán)境，助力學(xué)生成長。在生長數(shù)學(xué)理念下，

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于遵循學(xué)生的成長規(guī)律，為學(xué)生的內(nèi)生長提供強(qiáng)有力的助力。

二、生長數(shù)學(xué)在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用意義

（一）創(chuàng)新數(shù)學(xué)教學(xué)理念

當(dāng)前，部分教師在緊張的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中常常會忽略概念教學(xué)的重要性，將更多的時間和精力放在了提升學(xué)生的成績上，這主要是受應(yīng)試教育理念的影響。在應(yīng)試教育理念下，高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)很難發(fā)揮對學(xué)生的促進(jìn)作用，而生長數(shù)學(xué)在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用則能夠給教師的教學(xué)活動帶來新的思考。教師需要轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的應(yīng)試?yán)砟睿瑒?chuàng)新以“生長”為課堂目標(biāo)的教學(xué)理念。這樣教師能夠深刻認(rèn)識到概念教學(xué)的重要性，從而構(gòu)建“生長環(huán)境”，探索促進(jìn)學(xué)生生長的具體策略。因此，生長數(shù)學(xué)在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用，能夠創(chuàng)新數(shù)學(xué)教學(xué)理念，推進(jìn)生長理念的應(yīng)用。

（二）深化學(xué)生的概念理解

教師在概念教學(xué)中通常不會花太多的時間進(jìn)行深入講解，這就導(dǎo)致學(xué)生對一些概念的理解并不深刻。生長數(shù)學(xué)在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用則是鼓勵學(xué)生通過不同的角度和層次來全面理解相應(yīng)概念[3]。在生長數(shù)學(xué)理念下，學(xué)生對概念的理解不是通過教師的講解和演示，而是通過自主學(xué)習(xí)或者合作探究的形式獲得。不同的學(xué)生看待問題的角度各不相同，學(xué)生在互相交流和溝通中會更全面地思考問題，更深入地理解概念，從而實(shí)現(xiàn)全面成長。由此可見，生長數(shù)學(xué)在高中概念教學(xué)中的應(yīng)用能夠深化學(xué)生對概念的理解。

（三）推進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)

當(dāng)前，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)。學(xué)生核心素養(yǎng)的形成離不開對數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)概念是學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識體系的基礎(chǔ)，也是學(xué)生開展深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。學(xué)生在明確概念的基礎(chǔ)上，才能更高效地展開深度學(xué)習(xí)。生長數(shù)學(xué)在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用能讓學(xué)生在概念的學(xué)習(xí)中達(dá)到思維生長、能力生長、品格生長及素養(yǎng)生長等目標(biāo)。學(xué)生的這些綜合素養(yǎng)的生長能夠遷移到對數(shù)學(xué)知識體系的構(gòu)建中，使學(xué)生延續(xù)良好的思維和學(xué)習(xí)方式，對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行全面深入的探究。生長數(shù)學(xué)在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用能為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)積聚內(nèi)在能力，從而推進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)。

三、生長數(shù)學(xué)視角下高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)案例分析

（一）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生對概念學(xué)習(xí)的探索欲

高中數(shù)學(xué)教師在概念教學(xué)中通常是對概念進(jìn)行逐字逐句的講解，然后讓學(xué)生進(jìn)行課堂練習(xí)鞏固所學(xué)。在這種教學(xué)形式下，學(xué)生感受不到學(xué)習(xí)概念的意義，也難以產(chǎn)生探索欲。在生長數(shù)學(xué)教學(xué)理念下，教師要通過創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生對概念的探索欲，引導(dǎo)學(xué)生主動探索數(shù)學(xué)概念。以人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”中一元二次不等式的概念教學(xué)為例，一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c﹥0或ax2+bx+c﹤0（其中a、b、c均為常數(shù)，且a≠0）。為了激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的欲望，教師可以通過情境激活課堂，為學(xué)生的學(xué)習(xí)生長營造良好的氛圍。教師可以在課堂上創(chuàng)設(shè)以下生活化的問題情境，利用多媒體出示兩輛汽車相撞的圖片并附帶文字說明：“在一個限速40km/h的彎道上，甲車和乙車相向而行，當(dāng)兩位司機(jī)意識到可能會相撞時同時剎車，最終還是相撞了。經(jīng)過事后交警對現(xiàn)場的勘察，甲車的剎車距離超過了12 m，乙車的剎車距離超過了10 m，

甲車的剎車距離S與車速x的關(guān)系為：S甲=0.1x+0.01x2，

乙車的剎車距離S與車速x的關(guān)系為：S乙=0.05x+

0.005x2，那么這場車禍應(yīng)該判定為誰的責(zé)任？”。然后教師提出問題：“我們知道交通事故發(fā)生后，交警的責(zé)任就是通過勘察和判斷來判定責(zé)任方。請同學(xué)們思考，如果你是交警，你會怎樣依據(jù)已知信息判定責(zé)

任呢？”

在這樣的生活化問題情境中，教師可以構(gòu)建課堂知識與生活實(shí)際的聯(lián)系，增強(qiáng)課堂知識的趣味性和實(shí)用性。學(xué)生通過對事例進(jìn)行深入的分析得出，兩輛車同時剎車但是剎車距離卻不相同，那么可能會存在超速的現(xiàn)象。接下來，學(xué)生要想探索是否存在超速，就需要對一元二次不等式展開深入的探究學(xué)習(xí)。這樣，教師能夠利用生活化的問題情境激發(fā)學(xué)生對一元二次不等式概念的探索欲。

（二）組織學(xué)生對特例進(jìn)行思考，學(xué)習(xí)歸納概念

教師在生長數(shù)學(xué)理念的應(yīng)用中，要引導(dǎo)學(xué)生對特例進(jìn)行思考探究和分析，通過探索研究來歸納數(shù)學(xué)概念，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維的拓展。以人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊“隨機(jī)抽樣”的概念教學(xué)為例，教師可以組織學(xué)生通過探究進(jìn)行特例的分析對比，然后歸納概念，加深學(xué)生對概念的理解。在課堂上，教師可以讓學(xué)生對隨機(jī)抽樣的概念進(jìn)行思考和學(xué)習(xí)：“同學(xué)們，步入高中后學(xué)習(xí)壓力越來越大，此時身體健康就顯得更加重要。為了更好地了解同學(xué)們的健康狀況。學(xué)校決定抽查一下整個高一年級學(xué)生每周的體育鍛煉時長。那么今天就請同學(xué)們以小組合作的形式來幫忙制訂一個隨機(jī)抽樣的具體方案。”

在這樣的任務(wù)引導(dǎo)下，教師可以讓學(xué)生以小組合作的形式，共同進(jìn)行隨機(jī)抽樣概念的探索學(xué)習(xí)，然后引導(dǎo)各小組展示和交流不同的抽樣方案。

小組1：“我們認(rèn)為考慮到減少調(diào)研的工作量和調(diào)研數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，應(yīng)該排除班級內(nèi)的相互影響因素，以班級為單位，每個班級應(yīng)選取班級人數(shù)的10%來填寫問卷。這樣既能減輕工作量，又能保證調(diào)研數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。”

小組2：“我們覺得既然要調(diào)查學(xué)生的體育鍛煉情況，就要考慮到每個班級中的特殊情況，比如：體育特長生。所以我們覺得應(yīng)該把每個班級中的學(xué)生都按照體育能力劃分上、中、下三個層次，然后在每個班級的不同層次中抽取學(xué)生人數(shù)的10%進(jìn)行調(diào)查，這樣的隨機(jī)抽查才更準(zhǔn)確。”

......

師：“聽了同學(xué)們的方案，老師覺得每個小組都有各自的想法。剛才我們制訂了這么多隨機(jī)抽樣的方法，請同學(xué)們思考一下，到底什么是隨機(jī)抽樣呢？”

生1：“我覺得無論是從整個高一年級中直接選取特定的比例，還是將年級劃分為班級再從班級中抽取比例或者再對班級中學(xué)生進(jìn)行細(xì)化分層抽取比例，本質(zhì)都是從抽樣的總體中隨機(jī)抽取一定的樣本，樣本肯定是總體的子集。所以，我覺得從總體中隨機(jī)選出子集就叫作隨機(jī)抽樣。”

生2：“我覺得隨機(jī)抽樣應(yīng)該是劃分類別的。從總體中隨機(jī)選取樣本這樣的抽樣方法是比較簡單的，應(yīng)該叫簡單隨機(jī)抽樣。按照某種標(biāo)準(zhǔn)劃分層次，然后從每個層次中抽取同比例的樣本，應(yīng)該叫分層隨機(jī)

抽樣。”

......

通過不同學(xué)生對隨機(jī)抽樣方案的制訂，教師可以組織學(xué)生從不同的方案中思考分析共性，從而概括隨機(jī)抽樣的概念。這樣的教學(xué)方法不僅能夠讓學(xué)生通過思考進(jìn)行特例的探究和分析，還能幫助學(xué)生在對比、歸納和總結(jié)中深入掌握概念的內(nèi)涵，促進(jìn)學(xué)生思維和學(xué)習(xí)能力的生長。

（三）在概念的實(shí)踐應(yīng)用中積淀學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的生長力主要體現(xiàn)在學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)概念來解決生活中的實(shí)際問題。在概念教學(xué)中，教師要組織學(xué)生對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行實(shí)踐應(yīng)用，讓學(xué)生在概念的實(shí)踐應(yīng)用探索中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生長。以人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊“直線和圓的方程”為例，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的概念[（x-a）2+（y-b）2=r2]解決實(shí)際生活問題，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的成長。在課堂上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：“同學(xué)們，我們之前學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，

那么通過對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程概念的理解，你們覺得它能用來解決生活中的哪些問題呢？”

生1：“我覺得它能解決生活中很多跟圓形、半圓或者拱形相關(guān)的問題，比如研究半圓形橋的限高問題。”

生2：“我覺得能夠解決農(nóng)業(yè)種植中半圓形的大棚需要搭建多高的問題。”

師：“同學(xué)們分析得非常好，接下來我們看一個案例。我們都知道，橋下設(shè)有支柱能夠提升拱橋的承載力，那么支柱的高度一定要嚴(yán)格按照標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置，不能太高也不能太低。如果你是這個拱橋的設(shè)計(jì)師，你會將A2P2的高度設(shè)計(jì)為多少呢？”

教師利用多媒體展示案例：下圖（如圖1）是某圓拱橋一孔圓拱的示意圖，圓拱跨度AB為20 m，圓拱高OP為4 m，每間隔4 m需要撐一個支柱，求支柱A2P2的高度（精確到0.01 m）。

通過這個與建筑工程緊密相關(guān)的實(shí)踐問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行深入探究思考。通過分析，學(xué)生首先需要構(gòu)建圓拱與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系，建立坐標(biāo)系（如圖2），找出圓上的三個坐標(biāo)點(diǎn)即A（-10，0）、B（10，0）和P（0，4），將其代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）2+（y-b）2=r2，最終得出a=0，

b=-10.5，r2=14.52，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+（y+10.5）2=

14.52。將P2的橫坐標(biāo)x=-2代入，得出縱坐標(biāo)約為

3.86 m。那么，支柱A2P2的高度應(yīng)為3.86 m。在對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程概念進(jìn)行實(shí)踐應(yīng)用的過程中，學(xué)生需要結(jié)合圖形對問題進(jìn)行深入的觀察、思考、分析、計(jì)算以及最終驗(yàn)證。這個探索嘗試的過程也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)全面成長的過程。在生長數(shù)學(xué)視角下，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對概念進(jìn)行實(shí)踐探索，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的生長。

四、結(jié)束語

總而言之，在新的教學(xué)形勢下，高中數(shù)學(xué)教師要深刻地認(rèn)識到生長數(shù)學(xué)在概念教學(xué)中應(yīng)用的重要性，深入理解生長數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，在概念教學(xué)中積極探索生長數(shù)學(xué)推進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)以及學(xué)科核心素養(yǎng)形成的具體策略。

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基金項(xiàng)目：本文系2022年晉江市基礎(chǔ)教育教學(xué)改革專項(xiàng)課題“生長數(shù)學(xué)視角下高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的案例研究”（立項(xiàng)編號：JJ2022-ZX03）的研究成果。

作者簡介：程玉林（1986.2-），女，福建晉江人，

任教于福建泉州晉江市陳埭民族中學(xué)，一級教師，研究生學(xué)歷，2021年獲得陳埭鎮(zhèn)優(yōu)秀教師稱號。

蔡華遠(yuǎn)（1983.8-），男，福建泉州人，任教于福建泉州第五中學(xué)，一級教師，研究生學(xué)歷，2018年獲泉州第五中學(xué)優(yōu)秀教師稱號。