初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)實施路徑之初探

汪曉慧

［摘? 要］ 概念是思維的基本細胞，是活躍學(xué)生數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵動力. 教學(xué)中輕概念教學(xué)過程、重概念結(jié)論的現(xiàn)象阻礙著學(xué)生思維的發(fā)展，是亟待解決的重要問題. 文章以“函數(shù)的概念”的教學(xué)為例，探尋數(shù)學(xué)概念教學(xué)實施路徑，提升概念教學(xué)效率.

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；實施路徑；函數(shù)概念

問題的提出

章建躍博士認為，數(shù)學(xué)是“玩概念”的，數(shù)學(xué)是用概念思維的［1］. 數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，而“數(shù)學(xué)概念是確立思維邏輯的依據(jù)”［2］. 但在現(xiàn)實教學(xué)中，概念教學(xué)五分鐘，練習(xí)鞏固半小時的現(xiàn)象隨處可見. 重文字記憶，輕形成過程；重講解分析，輕實踐探索；重反復(fù)操練，輕反饋反思……導(dǎo)致數(shù)學(xué)概念教學(xué)浮于表面，思維盡失，邏輯混亂. 長時間不重視概念教學(xué)，“導(dǎo)致數(shù)學(xué)的教學(xué)出現(xiàn)了概念與解決問題脫軌的現(xiàn)象，學(xué)生們只能按部就班地解答數(shù)學(xué)問題，解決數(shù)學(xué)問題的方法千篇一律，毫無自我思想和自我意識，以至于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)思想完全喪失”［3］. 因為“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動是一個‘文化繼承的過程，也就是說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是一種個人‘解釋的活動，而且是一個對數(shù)學(xué)對象的客觀意義進行‘理解的過程”［4］. 數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)何嘗不是如此.

究其原因，一方面是教師自身的概念知識體系不夠完整，同時對概念教學(xué)不夠重視，對概念教學(xué)的本質(zhì)理解不夠深入；另一方面是受到教學(xué)進度的“牽制”，受到學(xué)生在概念學(xué)習(xí)過程中急于通過運用來證明對概念的“掌握”的影響.

概念教學(xué)實踐

教師應(yīng)該在鉆研教材，深刻而廣泛地把握概念的內(nèi)涵和外延的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確了解學(xué)生的學(xué)習(xí)心理和年齡特征，確定有趣、有效的概念教學(xué)實施方法和途徑，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念發(fā)生、形成、內(nèi)化的過程，讓學(xué)生有效理解概念的本質(zhì)，確保概念教學(xué)真實有效.

下面筆者以滬教版八年級第一學(xué)期“函數(shù)的概念”的教學(xué)為例，談?wù)劰P者對概念教學(xué)的思考.

1. 教學(xué)分析

（1）內(nèi)容分析.

函數(shù)的概念是滬教版教材八年級第一學(xué)期第十八章的內(nèi)容之一，本章內(nèi)容還有正比例函數(shù)、反比例函數(shù)以及函數(shù)的表示方法. 函數(shù)的概念是本章的第一課時，主要研究變化過程中變量間的依賴關(guān)系. 函數(shù)是描述運動變化規(guī)律的重要模型，它刻畫著變化過程中變量間的對應(yīng)關(guān)系，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念之一. 可以說，這是學(xué)生第一次接觸函數(shù)的概念，厘清函數(shù)概念學(xué)習(xí)的主線，對學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)具體函數(shù)如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)等有著非常關(guān)鍵的指導(dǎo)和示范作用.

（2）學(xué)情分析.

學(xué)生在此之前對方程、不等式等知識有了一定的了解，對有兩個或多個未知量的方程（組）也有了一定的認識. 但是，對于變量的對應(yīng)關(guān)系，尤其將變量放在運動變化的過程中是第一次接觸. 雖然學(xué)生對變量的依賴關(guān)系有一定的生活經(jīng)驗，但是需要學(xué)生對其進行數(shù)學(xué)抽象，這對于學(xué)生來說是一個較大的挑戰(zhàn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的關(guān)鍵所在.

2. 學(xué)習(xí)目標(biāo)及重難點

（1）學(xué)習(xí)目標(biāo)：①認識數(shù)量的意義并知道常用的數(shù)量，分清變量與常量；②能正確描述運動變化過程中兩個變量之間的依賴關(guān)系，理解函數(shù)的概念；③能正確判斷兩個變量之間是否是函數(shù)關(guān)系，體會運動變化與對應(yīng)的思想.

（2）教學(xué)重難點：運動變化過程中兩個變量之間是否成函數(shù)關(guān)系的認識與判斷.

3. 環(huán)節(jié)設(shè)計

【習(xí)得形成概念】

（1）情境引入，積累素材.

問題1：地球的赤道是一個大圓，其半徑r0≈6.378×106（米）. 設(shè)想有一個飛行器繞赤道飛行一周，其軌道是與赤道在同一平面且同心的圓E. 如果圓E的周長比赤道的周長多a米，那么圓E的半徑r是多少米？

問題2：一輛汽車行駛在國道上，汽車油箱里原有汽油120升，每行駛10千米耗油2升.

①填表：

②在汽車行駛過程中，汽車行駛的路程與油箱里剩余的油量都是變量嗎？

③設(shè)汽車行駛的路程為x千米，油箱里剩余的油量為y升，那么y與x之間是否存在確定的依賴關(guān)系？

設(shè)計意圖? 通過以上兩個問題，讓學(xué)生對問題情境（變化過程）中涉及的量（常量和變量）有較為清晰的認識，同時對兩個具有依賴關(guān)系的變量有全面的認識.

（2）對比分析，提煉本質(zhì).

對比分析兩個問題中的變量（問題1中的r與a，問題2中的y與x）之間的依賴關(guān)系，提煉其共同的本質(zhì)特征為“一個變化過程”中“兩個變量有確定的依賴關(guān)系”.

設(shè)計意圖? 通過對比分析問題情境，提煉其本質(zhì)特征，讓學(xué)生初步感知函數(shù)的概念，為形成函數(shù)的概念做鋪墊.

（3）歸納梳理，形成概念.

歸納梳理變量之間的依賴關(guān)系，形成函數(shù)的概念，并提出函數(shù)解析式的概念.

在某個變化過程中有兩個變量，設(shè)為x和y，如果在變量x的取值范圍內(nèi)，變量y隨著x的變化而變化，它們之間存在確定的依賴關(guān)系，那么變量y叫變量x的函數(shù)，x叫自變量. 表達兩個變量之間的依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)式子稱為函數(shù)解析式.

設(shè)計意圖? 通過合作交流、歸納梳理，使學(xué)生正確辨識某個變化過程中的兩個變量之間的依賴關(guān)系，形成函數(shù)的概念.

【鞏固內(nèi)化概念】

（4）概念辨析，鞏固理解.

問題3：氣溫的攝氏度數(shù)x與華氏度數(shù)y之間可以進行如下轉(zhuǎn)化.

（1）轉(zhuǎn)化中涉及幾個數(shù)量？分別是哪幾個？

（2）華氏度數(shù)y是不是攝氏度數(shù)x的函數(shù)？為什么？

設(shè)計意圖? 幫助學(xué)生正確辨識變化過程中的數(shù)量，理解函數(shù)的概念，判斷一個變量是不是另一個變量的函數(shù).

（5）深入認識，整合內(nèi)化.

問題4：某氣象站測得當(dāng)?shù)啬骋惶斓臍鉁刈兓闆r，如圖1所示.

（1）從這個圖象中你能獲得哪些信息？

（2）這一天的氣溫T（單位：℃）是不是時間t（單位：時）的函數(shù)？為什么？

設(shè)計意圖? 幫助學(xué)生深入認識和理解變量，準(zhǔn)確分析判斷變化過程中兩個變量之間是否為函數(shù)關(guān)系.

【應(yīng)用關(guān)聯(lián)概念】

（6）有效關(guān)聯(lián)，形成網(wǎng)絡(luò).

問題5：x看作一個變量時，x+2也是一個變量，變量x+2是不是變量x的函數(shù)？

問題6：在方程2x2+3x-2-y=0中，如果將x，y看作兩個變量，y是不是x的函數(shù)？為什么？

設(shè)計意圖? 通過代數(shù)式、方程等知識與函數(shù)概念的相互關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生深入認識新知識與舊知識之間的關(guān)系，形成知識網(wǎng)絡(luò).

教學(xué)反思與建議

（1）概念教學(xué)的目標(biāo)設(shè)置.

目標(biāo)是每節(jié)課的最終歸宿，目標(biāo)不明確將導(dǎo)致教學(xué)主線不清、策略不當(dāng). 數(shù)學(xué)概念的類型決定著教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定，不同概念的教學(xué)在指定教學(xué)目標(biāo)時會有一定的區(qū)別，但不管何種概念，其教學(xué)目標(biāo)都應(yīng)該有以下幾點.

①正確描述和表達概念，包含文字語言、符號語言和圖形語言；

②正確理解概念的內(nèi)涵和外延，理解概念的本質(zhì)；

③建立所學(xué)概念與上位概念、下位概念及并列概念的關(guān)系，形成知識結(jié)構(gòu)；

④運用概念解決相關(guān)問題，深化概念理解.

（2）概念教學(xué)的理論基礎(chǔ).

現(xiàn)代心理學(xué)認為，知識學(xué)習(xí)分為三個階段：新知識的習(xí)得階段、知識的鞏固和轉(zhuǎn)化階段以及知識的遷移和應(yīng)用階段. 基于此，概念學(xué)習(xí)也可以分為三個環(huán)節(jié)：概念的習(xí)得和提煉環(huán)節(jié)、概念的鞏固和內(nèi)化環(huán)節(jié)以及概念的遷移和應(yīng)用環(huán)節(jié). 皮亞杰的知識建構(gòu)理論認為，新知識通過轉(zhuǎn)換、組織和重新組織舊知識建構(gòu)起來. 探究和發(fā)現(xiàn)比教更重要. 基于這一理論，概念教學(xué)的重點應(yīng)該是概念的發(fā)現(xiàn)、歸納以及和之前相關(guān)概念知識的關(guān)聯(lián)整合. 奧蘇泊爾的有意義言語學(xué)習(xí)理論將新知識的學(xué)習(xí)分為下位學(xué)習(xí)、上位學(xué)習(xí)和并列結(jié)合學(xué)習(xí). 根據(jù)這一理論，可以將數(shù)學(xué)概念劃分為下位概念、上位概念和并列概念.

（3）概念教學(xué)的基本路徑.

任何教學(xué)都有一定的流程，也就是我們常說的“路徑”. 那么對于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，教師該如何有效開展，形成一個有效“路徑”呢？這是一個擺在所有教師面前不可回避的重要問題. 章建躍博士曾專門撰文《注重“基本套路”才是好數(shù)學(xué)教學(xué)》來強調(diào)教學(xué)路徑的重要性，文章指出的“基本套路”如圖2所示.

從章建躍博士提出的“基本套路”中不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要的是類比、歸納（特殊化）和推廣（一般化），對于概念學(xué)習(xí)尤為如此.

數(shù)學(xué)概念教學(xué)因概念類型的不一樣，在具體實施過程中有一定的區(qū)別，哪怕類型相同的概念，根據(jù)實際情況也會在教學(xué)過程中有所取舍. 總的來說，筆者將概念教學(xué)歸納為“三環(huán)六步”來實施.

①概念的習(xí)得形成環(huán)節(jié)，包含概念引入、提煉和形成三個步驟.

②概念的鞏固內(nèi)化環(huán)節(jié)，包含概念辨識（正例、反例）和整合（銜前接后）兩個步驟.

③概念的應(yīng)用關(guān)聯(lián)環(huán)節(jié)，是概念綜合應(yīng)用、關(guān)聯(lián)建構(gòu)的過程.

概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié)和步驟如圖3所示.

本節(jié)課的函數(shù)概念教學(xué)，可以用如圖4所示的流程圖來表示.

筆者認為，這既是教師應(yīng)該明確的“教”的路徑，也是應(yīng)該給學(xué)生傳遞的“學(xué)”的路徑. 當(dāng)學(xué)生掌握并能運用這樣的路徑進行學(xué)習(xí)時，很多問題就能迎刃而解.

函數(shù)是初中階段非常重要的一部分內(nèi)容，而函數(shù)思想也是我們思考和解決問題非常實用的一個工具，因此函數(shù)學(xué)習(xí)的基本路徑（如圖5所示）應(yīng)該讓學(xué)生牢牢把握，當(dāng)學(xué)生遇到新知識時能夠用來指導(dǎo)自己學(xué)習(xí).

像這樣一些基本學(xué)習(xí)路徑，雖然不是某節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，不可能在一節(jié)課或幾節(jié)課中完成，但這應(yīng)該是在每一節(jié)課中需要逐步傳遞給學(xué)生的一種重要的思想方法.

總結(jié)

不管是從學(xué)生掌握眼前的知識著眼，還是從學(xué)生的長遠發(fā)展來看，數(shù)學(xué)概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著不可替代的重要作用，需要引起教師和學(xué)生的重視. 對于教師而言，如何有效實施概念教學(xué)是提高教學(xué)質(zhì)量、落實學(xué)科育人的基礎(chǔ). “數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)教材的基本結(jié)構(gòu)單位，是形成數(shù)學(xué)教材知識結(jié)構(gòu)的核心，是學(xué)生進一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ). ”［5］因此，研究數(shù)學(xué)概念教學(xué)基本路徑，以此提高概念教學(xué)效率，加強學(xué)生的基礎(chǔ)，是非常有意義和有價值的事情.

參考文獻：

［1］章建躍. 章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.

［2］張鶴. 數(shù)學(xué)教學(xué)的邏輯——基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的分析［M］. 北京：首都師范大學(xué)出版社，2016.

［3］龐艷晶. 數(shù)學(xué)課堂突出概念建構(gòu)? 關(guān)注思維培養(yǎng)［J］. 考試周刊，2017（72）：134.

［4］徐斌艷. 數(shù)學(xué)教育展望［M］. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2001.

［5］杜育林. 整體把握? 精心設(shè)計——以一元二次方程的概念教學(xué)為例［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（32）：15-17.