隱含條件在不等式解題中的應用與探索

摘" 要：通過在具體例題的解題研究中發掘隱含條件，包括從概念、圖形、公式等方面入手，分析題設特征，運用數形結合等，探討發現隱含條件的方法，簡化復雜問題，幫助學生明確解題方向，找到解題思路.

關鍵詞：隱含條件；不等式；高中數學

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）16-0016-03

收稿日期：2024-03-05

作者簡介：歐凡（1992.10—），女，福建省漳州人，本科，中學二級教師，從事高中數學教學研究.

不等式是數學中一類重要的代數式，是研究數量關系的重要工具.在高考數學中，不等式是重要的考點之一，常與其他知識點結合進行考查，如函數、解析幾何、數列等領域常涉及不等式的應用.面對這些問題，解題者須具備靈活的思維和較強的推理能力，挖掘隱含條件是解決問題的關鍵，通過仔細審題、觀察圖形和深入分析，找到隱藏在題目中的重要條件，可以化復雜為簡單，化抽象為具體，有效解決問題.

1" 例題分析

例1" 設集合A={x|log12（2x+4）gt;log12（x+5）}，B={x|x2-mx+m=0}，m∈R.

（1）若m=-2，求A∩B；

（2）若A∪B=A，求實數m的取值范圍.

分析" （1）解對數不等式時，隱含了定義域的討論，函數單調性的判斷，再運用不等式的性質化簡隱含條件，可以將復雜問題簡化，進而求出解集；

（2）交并的集合運算往往隱藏了子集、真子集的運算，子集運算需要分類討論B=與B≠，當B=時，

運用根的判別式時隱含了解一元二次不等式

；結合二次函數圖象根的分布，隱含了根的判別式、端點值范圍、對稱軸范圍條件，再次運用一元二次不等式、不等式性質化簡問題，即可得解［1］.

解析" （1）由log12（2x+4）gt;log12（x+5），得

0lt;2x+4，2x+4lt;x+5.

解得-2lt;xlt;1，則A=x|-2lt;xlt;1.

當m=-2時，x2-mx+m=0可化為

x2+2x-2=0，

解得x=-1+3或x=-1-3.

則B=-1+3，-1-3.

所以A∩B=-1+3.

（2）因為A∪B=A，所以BA.

當B=時，由x2-mx+m=0，得Δ=m2-4mlt;0，解得0lt;mlt;4；當B≠時，令f（x）=x2-mx+m，其開口向上，對稱軸為x=m2，

則

Δ≥0，-2lt;m2lt;1，f（-2）gt;0，f（1）gt;0. 即m2-4m≥0，-4lt;mlt;2，4+2m+mgt;0，1-m+mgt;0，

解得-43lt;m≤0.

綜上，-43lt;mlt;4.

例2" 已知扇形的半徑為r，弧長為l.若其周長的數值為面積的數值的2倍，則下列說法正確的是（" ）.

A.該扇形面積的最小值為8

B.當扇形周長最小時，其圓心角為2

C.r+2l的最小值為9

D.1r2+4l2的最小值為12

分析" 選項A，根據題目給出的關鍵語句“周長的數值為面積的數值的2倍”，引出了一個關于半徑和弧長的方程，根據方程再次發現一個弧長的隱含條件lgt;2，結合扇形面積公式得出一個分式求最值的隱含條件，通過配方，簡化成基本不等式求最值問題；選項B、C類似選項A，根據扇形周長公式

或給定分式求最值的隱含條件，通過配方，簡化成基本不等式求最值問題；選項D，根據題目隱含的關于半徑和弧長的方程，減少未知數，代入給定代數式1r2+4l2，化簡成一元二次不等式進行求解.

解析" 因為2r+l=rl，所以r=ll-2（lgt;2）.

所以扇形面積

S=12rl

=12·l2l-2

=12·（l-2）2+4（l-2）+4l-2

=12［（l-2）+4l-2+4］

≥12×（2（l-2）·4l-2+4）

=12×（4+4）=4，

當且僅當l-2=4l-2，即l=4時等號成立，選項A錯誤.

扇形周長為

2r+l=2ll-2+l

=l2l-2

=（l-2）2+4（l-2）+4l-2

=（l-2）+4l-2+4

≥2（l-2）·4l-2

=4+4=8，

當且僅當l-2=4l-2，即l=4時等號成立，

此時，圓心角為lr=42=2，選項B正確.

r+2l=ll-2+2l

=2（l-2）2+5（l-2）+2l-2

=2（l-2）+2l-2+5

≥22（l-2）·2l-2+5=4+5=9，

當且僅當2（l-2）=2l-2，即l=3時等號成立，選項C正確.

1r2+4l2=（l-2）2l2+4l2

=8l2-4l+1

=8（1l-14）2+12，

當1l=14時，上式取得最小值為12，選項D正確.

故選BCD.

例3" 已知曲線x2m-2+y24-m=1（m∈R），則下列說法正確的為（" ）.

A.若該曲線是雙曲線方程，則mgt;4或mlt;2

B.若m∈（2，4），則該曲線為橢圓

C.若該曲線離心率為32，則m=125

D.若該曲線為焦點在y軸上雙曲線，則離心率e∈（1，2）

分析" 根據雙曲線、橢圓的定義和標準方程的特征的隱含條件，用一元二次不等式表示出m的范圍，即可判斷選項A、B；根據不同坐標軸的焦點位置的隱含條件，列出m的不等式組并化簡，然后利用離心率公式計算化簡，轉化為隱含的分式不等式進行求解.

解析" 對于選項A，若該曲線是雙曲線方程，則（m-2）（4-m）lt;0，解得mgt;4或mlt;2，選項A正確；

對于選項B，當m=3時，曲線方程為x2+y2=1，表示圓，選項B錯誤；

對于選項C，若該曲線離心率為32lt;1，則曲線表示橢圓，

當焦點在x軸上時，1-4-mm-2=34，解得m=185，

當焦點在y軸上時，1-m-24-m=34，解得m=125，選項C錯誤；

對于選項D，若該曲線為焦點在y軸上的雙曲線，則4-mgt;0，m-2lt;0， 解得mlt;2.

因為e=1+2-m4-m=2+2m-4，

又因為m-4lt;-2，則-12lt;1m-4lt;0.

所以1lt;1m-4lt;2.

所以1lt;elt;2，選項D正確.

故選AD.

例4" 關于x的不等式ax2-2x+1≤0在（0，2］上有解，則實數a的取值范圍是.

分析" 根據題意將不等式轉化為a≤2x-1x2在（0，2］能成立，轉化為求分式最值的隱含條件，再通過計算化簡、換元，將復雜的不等式能成立問題轉化為更易于處理的求函數最值問題，如通過消元法、變量替換等手段［2］.同時注意變量變化后的取值范圍.

解析" 由不等式ax2-2x+1≤0以及x∈（0，2］，可得a≤2x-1x2.

依題意可知a≤（2x-1x2）max，x∈（0，2］即可.

令y=2x-1x2，x∈（0，2］，

又y=2x-1x2=-（1x-1）2+1，

由x∈（0，2］可得1x∈［12，+∞），

利用二次函數性質可知ymax=-（1-1）2+1=1，

即可得a≤1.

即實數a的取值范圍是（-∞，1］.

2" 結束語

在高中數學解題中挖掘隱含條件是非常重要的.通過利用適當的技巧和方法，學生可以更快速地發現并利用這些隱含條件，從而更好地解決數學問題.因此，教師應在教學中注重引導學生掌握挖掘隱含條件的技巧和方法，以提高他們的解題能力和思維邏輯能力.

參考文獻：

［1］

李偉.高中數學不等式解題中隱含條件的挖掘研究［J］.數學學習與研究，2022（5）：120-121.

［2］ 李志強.高中數學不等式解題中隱含條件的挖掘策略［J］.數理化解題研究，2018（12）：40-41.

［責任編輯：李" 璟］