小小的三角形不簡單

摘" 要：高考數學中解三角形的有關知識是必考題目，它們或出現在選擇填空題，或出現在論述題，但其中正余弦定理的身影均會出現，這就是我們解題時的突破口.

關鍵詞：高中數學；解三角形；正弦定理；余弦定理

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）16-0019-03

收稿日期：2024-03-05

作者簡介：蔡秋峰（1984.11—），男，江蘇省南通人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

解三角形問題中，常常會出現正弦和余弦，這時我們就需要使用正余弦定理，那如何使用它們呢？在什么時候可以使用？使用的步驟又是什么呢？本文將聚焦三角形考查中的最值問題，探究在解三角形中正余弦定理的適用條件、使用步驟、在正余弦定理基礎上的三角恒等變換.

1" 三角形面積取值問題

在小學時已經學過三角形面積公式，在學習正余弦定理后，我們開始使用邊角關系求解，與此同時，要注意邊角的取值范圍會影響三角形面積.

例1" △ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c=2（acosC-b），c2+a2=b2+3ac，b=2.

（1）求A；

（2）若M，N在線段BC上且和B，C都不重合，∠MAN=π3，求ΔAMN面積的取值范圍.

解析

cosB=c2+a2-b22ac，將題目中與其有關條件代入，cosB=b2+3ac-b22ac=32.

（1）（1）因為

sinB=sin［π-（A+C）］=sin（A+C），

C=2（acosc-b），所以

sinC=2［sinAcosC-sin（A+C）］

=-2cosAsinC.

所以cosA=-12.

因為A∈（0，π），所以A=23π.

（2）由余弦定理可知

cosB=b2+3ac-b22ac=32，B∈（0，π），

所以B=π6.

此時可求出C=π-A-B=π6，可知ΔABC為等腰三角形，故它們的對邊相等，即b=c=2.

設∠BAM=α，可知∠CAN=π3-α，∠BMA=5π6-α，∠CNA=π2+α.

在ΔAMB中，AMsinB=ABsin∠BMA，

所以AM=2sin（π/6）sin（5π/6-α）=1sin（π/6+α）.

同理在△ANC中，

AN=AC×sinCsin∠CNA=2sin（π/6）sin（π/2+α）=1cosα.

此時我們可以利用正弦定理求三角形面積公式，

S△AMN=12AM·AN·sin∠MAN

=12·1sin（π/6+α）·1cosα·sinπ3

=34sin（α+π/6）cosα

=323sinαcosα+2cos2α

=33sin2α+cos2α+1

=32sin（2α+π/6）+1.

（發現可以使用三角恒等變換將其全部整合為一個式子探究，此時三角形面積與α取值有關）

因為α∈（0，π3），所以2α+π6∈（π6，5π6）.

所以12lt;sin（2α+π6）≤1.

所以2lt;2sin（2α+π6）+1≤3.

所以33≤32sin（2α+π/6）+1lt;32.

所以S△AMN∈［33，32）.

點評" 在解題過程中，我們首先要觀察題目條件選取適宜的定理求解.在本題中，其實很多思路并不是一眼看出，而是在逐步試錯中得出，比如第一題中的正余弦定理的選擇.在第二題中利用正弦定理求解三角形面積，我們需要知道這個三角形的兩邊夾一角，根據不同三角形間的邊角關系得到所需條件.在求解中可以注意到使用邊角的統一，保證在最后的面積中只會有一個量變化［1］.

2" 三角形周長定值及最值

當題目中沒有明顯的三角形關系，我們需要使用正余弦定理嗎？又該如何使用呢？

例2" 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=60°，

（1）若AC=3，求ΔACD周長的最大值；

（2）若CD=2AB，∠BCD=75°，求tan∠DAC的值.

解析

（1）在△ACD中，

AC2=AD2+DC2-2AD·DCcosD=AD2+DC2-AD·DC.

因為AC=3，

所以9=AD2+DC2-AD·DC

=（AD+DC）2-3AD·DC

≥（AD+DC）2-3（AD+DC2）2

=（AD+DC）24，

即（AD+DC）2≤36，即AD+DC≤6，

當且僅當AD=DC=3時取等號，所以△ACD周長的最大值為9.

（2）由于∠DAC大小未知，故設∠DAC=α，要求tan∠DAC的值，我們可以利用正弦定理求出正余弦關系，再求正切.AC為兩個三角形的公共邊，并且邊所對應的角已知，以此為突破口.題中∠BCD=75°，根據梯形上下底平行，得出∠ABC，也能利用正弦定理.

在△ACD中，CDsinα=ACsin60°，

在ΔACB中，ABsin∠ACB=ACsin∠ABC，

因為AB∥CD，∠BCD=75°，所以∠ABC=105°.

因為∠DAC=α，所以∠ACB=α-45°.

所以ABsin（α-45°）=ACsin105°.

兩式相除，得

2sin（α-45°）sinα=sin105°sin60°.

因為sin105°=6+24.

所以（6-2）sinα=26cosα，

所以tan∠DAC=tanα=266-2=3+3.

點評" 解三角形問題中，正余弦定理的應用為基礎，但并不是只有獨立的定理運算，其中還有可能穿插其余部分的知識.例如本題中，我們要求范圍，但是只有一個恒等式，此時觀察平方式，可利用均值不等式出現所需的取值范圍，從而求解.題目中沒有明顯的三角形時，求解過程中可將原有圖形進行切割，利用已知條件，將其放入不同的三角形中使用三角恒等變換和正余弦定理有關知識求解問題.

求面積和周長的兩個例題也給我們一個新的思考：在對邊對角模型中求最值時使用余弦定理和基本不等式求解，求范圍時使用正弦定理加三角函數解題［2］.

3" 三角形涉及長度范圍問題例3" 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A+C=2B，△ABC的面積S=34a.

（1）求邊c；

（2）若△ABC為銳角三角形，求a的取值范圍.

解析" （1）題目中有一個關于角的條件，由此可以利用三角形內角和得到∠B的數值.

因為A+C=2B，A+B+C=π，所以B=π3.

所以S=12acsinB=12×32ac=34ac.

又因為S=34a，所以c=1.

（2）由（1）可知c=1，B=π3.

所以A+C=2B=23π.

所以a=csinAsinC=sin（2π/3-C）sinC=sin（C+π/3）sinC=（1/2）sinC+（3/2）cosCsinC=12+32tanC.

因為△ABC為銳角三角形，A+C=23π，所以需要A，C同時滿足小于π2，即

0lt;Clt;π2，0lt;A=23π-Clt;π2， 解得C∈（π6，π2）.

所以tanC∈（33，+∞）.

所以a=12+32tanC∈（12，2）.

點評" 解決三角形長度的取值范圍問題的解題思路是利用正弦定理確定變化角，三角函數取值討論范圍，最后得出結論.

4" 結束語

解三角形問題是高考數學必考題目，求解時我們的解題思路始終離不開正余弦定理，第一步就是使用它們對已知條件進行變換，第二步就是利用其余的三角函數知識或者數量關系知識求解.所以在解題中正余弦定理的作用不可或缺，熟練掌握正余弦定理也是解三角形問題的關鍵.

參考文獻：

［1］ 郭海萍，林新建.優化解題反思提升核心素養：以“解三角形問題”為例［J］.中學數學研究，2023（11）：13-15.

［2］ 周春生.一道解三角形取值范圍問題的解法［J］.數理天地（高中版），2023（19）：19-20.

［責任編輯：李" 璟］