基于APOS理論的高中數學概念教學

摘" 要：概念是數學的基石，概念教學是培養學生核心素養過程中不可或缺的一部分.APOS理論認為學生想形成完整的數學概念，必須經歷一系列的心理建構.本文將以APOS理論為指導，在教學中踐行該理論的操作、過程、對象和圖式四個階段，幫助學生理解數系的擴充和復數的概念.

關鍵詞：概念教學；APOS理論；數系的擴充；復數的概念

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）18-0007-03

收稿日期：2024-03-25

作者簡介：段洪坤（1994—），男，安徽省阜陽人，碩士，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出：數學教學應強調對基本概念和基本思想的理解和掌握，核心概念和基本思想教學要貫穿數學教學的始終［1］.復數的引入作為中學階段最后一次的數系擴充，學生通過本節課的學習，可以對數的概念有一個更加完整的認識.但是，因為生活中沒有事物可支撐虛數的存在，且學生目前對數系的擴充規則尚不明確，所以傳統意義上的概念同化教學難以讓學生理解本節內容以及學習本節內容的意義.研究表明，APOS理論可為高中數學教師提供教學實踐的指導，提高概念教學質量［2］.為此本文以APOS理論為指導，讓每個學生依據自己已有的知識和經驗主動地加以構建［3］，深刻理解本節內容.

1" 教學過程

1.1" 操作階段

問題1：解方程x3-15x-4=0.

計算能力強的同學可以看出特解為4，再按照所講因式分解方法可以將方程分解為x3-15x-4=（x-4）（x2+4x+1）=0，解出三個解分別為x1=4，x2=-2+3，x3=-2-3.

師：這個問題在16世紀數學家研究三次方程的一般解法時就碰到過，意大利數學家塔塔利亞和卡爾丹給出的結果是：x1=32+-121+32--121，x2=-2+3，x3=-2-3.由此我們是否能得到32+-121+32--121=4呢？

生：負數不是不能開平方嗎？這個等式怎么會成立呢？

設計意圖：從數學文化的角度引入，幫助學生進一步了解數學史，同時也可讓學生與數學家們同臺競技，產生認知沖突，激發學習興趣.

師：是的，這也是他們的疑惑點.我們都知道負數在實數范圍內是不能開平方的，但如果不是在實數范圍呢？大家想一想在之前的學習中有沒有碰到過類似的問題呢？

生：有的，比如x2-2=0在有理數中無解，但是在實數中就是可解的.

師：回答得很好，我們初中就通過引入無理數的方法解決了x2-2=0在有理數中無解的問題，這是數學發展的需要.那同學們想一想今天我們可不可以類比這一過程和方法，通過引入一些新數來解決負數開平方的問題呢？

生：應該可以的.

1.2" 過程階段

問題2：負數有無窮多個，無法逐個研究，我們應該怎么去研究呢？

師生活動：學生思考，老師積極引導，得出負數能否開平方本質上就是方程x2=-a（agt;0）是否有解的問題.通過轉化與化歸的方法，即兩邊同時除以a得到（xa）2=-1，令y=xa，則y2=-1.因此x2=-a（agt;0）是否有解的問題可轉化為x2=-1是否有解的問題了.

設計意圖：讓學生在思考中認識到數學中一些復雜的問題可以通過轉化與化歸的方法，轉化為一個基本問題，可更好地幫助學生培養數學思維.

師：現在我們需要引入一個“新數”.這個數就是i，它是數學家歐拉最早引入的，取自于imaginary一詞的詞頭.我們把這個數稱為“虛數單位”，老師想問下數系是隨意擴充的嗎？這之中有沒有什么規則呢？

生：肯定是有規則的.

師：是的，為了解決負數開平方問題，科學家們花了近兩百年的時間呢.下面老師來帶領大家回顧下從自然數到實數的擴充過程，希望能讓大家有所感悟.板書如圖2.

自然數集N負整數整數集Z分數有理數集Q無理數實數集R

師生活動：從梳理中得出數系的擴充都是通過引入新數得到的；每次擴充都可能會引入新的計算，從自然數集到整數集保證了減法的合理性，從整數集到有理數集保證了除法的合理性，從有理數集到實數集保證了開方的合理性；從數系A擴充到數系B， A中定義的運算可以拓展為B中的運算，且這些運算對于B中A的元來說結果是一致的.

師：根據我們所知的擴充規則，大家能驗證32+-121+32--121=4是否成立嗎？

生：32+-121+32--121=32+121i2+32-121i2=32+11i+32-11i=3（2+i）3+3（2-i）3=2+i+2-i=4

設計意圖：讓學生體會從遇到問題到分析問題再到解決問題的全過程.同時這一計算可加深學生對數系擴充時運算法則的“兼容性”的理解，即數系擴充后，原有的運算法則都是可行的.

1.3" 對象階段

問題3：剛剛帶領大家回顧了數系擴充的過程，也簡要概括了數系擴充的規則.現在我們需要對實數進行擴充，那么擴充后的新數長什么樣呢？

師生活動：老師引導學生類比有理數到實數的擴充過程與方法，以及實數的形式，如3，22，2+2等，學生思考回答.可能會給出類似2，3i，2+i，1i等具體的數.老師引導學生歸納，指出1i=-i2i=-i，我們會在后面的運算中再去研究它.

師：同學們能把剛剛列舉的所有數字用集合表示嗎？

生：x|x=a+bi，a，b∈R.

師：很好.板書：我們把形如a+bi（a，b∈R）的數叫作復數，其中i叫作虛數單位.全體復數構成的集合C=x|x=a+bi，a，b∈R叫作復數集.復數通常用字母z表示，即z=a+bi（a，b∈R），其中a，b分別叫作復數z的實部和虛部.當虛部b=0時，它是實數；當實部b≠0時，它是虛數.當a=0且b≠0時，它是純虛數.

設計意圖：引導學生從特殊到一般，概括出復數的代數形式，提升學生邏輯推理、抽象概括的能力.

問題4：兩個復數什么時候相等？

師生活動：通過上述引導指出復數由實部和虛部唯一確定，進而得到復數相等的定義并板書：a+bi=c+di當且僅當a=c且b=d.

設計意圖：引導學生理解復數可與有序數對一一對應，為后面復數的幾何意義的學習奠定基礎.

1.4" 圖式階段

問題5：大家能給出復數的分類并用Venn圖表示出復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系嗎？老師板書：

設計意圖：通過讓學生用Venn圖表示復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系，來幫助學生深化對本節所學知識的理解.

2" 教學反思

2.1" 落實學生的主體地位

在概念教學中，老師應以學生為主體，積極引導學生參與到課堂中來，體會概念的形成過程.而要落實學生的主體地位，需要老師能夠根據學生現有知識水平合理設置問題，引導學生進行思考探究.本節課中，筆者根據對學生的了解，從解方程x3-15x-4=0出發，讓學生產生認知沖突，激發學生的學習興趣.進而在問題的引導下，達到深度學習，最后在解決沖突的同時也完成了教學目標.

2.2" 培養學生的思維能力

數學思維能力是學生到達“三會”的必備品質.本節課，筆者讓學生認識到可通過轉化與化歸思想把一些復雜的數學問題轉化為一個基本問題，同時也讓學生在抽象復數形式的過程中鍛煉了邏輯思維和數學抽象能力，這些都是培養學生數學思維能力的必經過程.

2.3" 豐富學生的數學文化

數學在大多數同學眼中都是枯燥無味且復雜無用的，這就要求

老師在教學中不僅自己要風趣，也要讓知識“生動”起來.在教學中融入數學史，讓知識點不再枯燥的同時，也可豐富學生的數學文化，調動學生的學習興趣.老師在教學中可適當介紹一元三次方程的求根公式、數學家歐拉、數學史上的第一次數學危機（無理數的引入）來豐富課堂教學，進而調動學生的學習熱情.

3" 結束語

數學概念對于大部分學生來說是抽象且枯燥的，與傳統意義上的概念同化教學方法相比，APOS理論的應用有利于學生更深刻地理解數學概念，提升數學能力.這要求我們在前面的操作、過程和對象階段真正落實學生的主體地位，通過相關的歷史史料、合理的問題設置、及時的引導和鼓勵來提高學生的學習興趣和探索研究的能力，幫助學生實現真正意義上的深度學習，達到最后的圖式階段，進而促進學生核心素養的培養.

參考文獻：［1］

中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］ 李磊.APOS理論下高中數學概念教學的實踐研究［J］.中學數學，2023（11）：26-27.

［3］ 李莉.學生學習數學概念的層次分析［J］.數學教育學報，2002（03）：12-15.

［責任編輯：李" 璟］