基于邏輯推理提升高中生的數(shù)學運算素養(yǎng)

于洋 劉明

【摘 要】作為高中數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一的數(shù)學運算素養(yǎng)是數(shù)學的“童子功”，它和邏輯推理素養(yǎng)既相對獨立，又相互交融，更相互促進。通過高中解析幾何的實踐教學，從邏輯推理的角度探索提升學生數(shù)學運算素養(yǎng)的路徑，不僅讓學生學會運算和優(yōu)化運算，更讓學生理解數(shù)學運算的本質，從而提升數(shù)學運算素養(yǎng)。

【關鍵詞】高中數(shù)學；核心素養(yǎng)；邏輯推理；數(shù)學運算；解析幾何

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2023）46-0049-05

【作者簡介】1.于洋，南京師范大學附屬中學（南京，210003）教師，一級教師；2.劉明，南京師范大學附屬中學（南京，210003）教師，正高級教師，江蘇省數(shù)學特級教師。

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）指出，數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的。［1］4數(shù)學離不開運算，數(shù)學運算作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)的六大素養(yǎng)之一，一直以來是研究的熱點，“如何提升數(shù)學運算素養(yǎng)”更是當下研究的重點領域。之前國內有不少學者系統(tǒng)性地研究了數(shù)學運算能力，北京師范大學教授曹才翰和陜西師范大學教授羅增儒都認為數(shù)學運算能力包括數(shù)學計算能力和邏輯思維能力［2］［3］，吉林師范大學劉影認為數(shù)學運算是運算技能和邏輯思維能力結合起來的一種演繹推理。［4］數(shù)學教育領域通常將運算定義為運用相應的法則和公式對具體運算對象進行變形的演繹過程。［5］

新課標將數(shù)學運算素養(yǎng)定義為“在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)”［1］7。“明晰”需要作出邏輯判斷，“依據(jù)”“解決”需要邏輯推理。可見，無論是傳統(tǒng)的數(shù)學運算能力還是現(xiàn)在的數(shù)學運算素養(yǎng)都離不開邏輯推理的支撐。所以，筆者嘗試通過分析解決運算問題過程中的邏輯推理素養(yǎng)為著力點，探尋提升數(shù)學運算素養(yǎng)的路徑。

一、理解問題對象，明晰運算本質

高中數(shù)學課堂上，經(jīng)常有這樣一種現(xiàn)象——學生明知道怎么算卻總是算不對或者算得特別繁瑣。這種狀況出現(xiàn)的原因往往是學生不理解運算對象的概念，沒有厘清問題的所在就盲目地套用公式或者錯誤使用習得的方法。因此，教師要引導學生明確問題的本質，理解方法的適用條件，勤于總結，提升運算的精確度。

【案例1】在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)f（x）=x2+2x+b與兩坐標軸有三個交點。經(jīng)過三個交點的圓記為C，求圓C的方程。

有的學生解決過程如下：由方程x2+2x+b=0得x=-1±[1-b]，所以f（x）與坐標軸的交點為（0，b），（-1-[1-b]，0），（-1+[1-b]，0）。設圓C為x2+y2+Dx+Ey+F=0，將三個交點坐標代入圓C的方程，求解D，E，F(xiàn)，從而求出圓C的方程為x2+y2+2x-（b+1）y+b=0。

有的學生解決過程如下：設圓C為x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0，得x2+Dx+F=0。這與x2+2x+b=0是同一個方程，所以D=2，F(xiàn)=b。再令圓C方程中的x=0，得y2+Ey+F=0，又因為圓C過點（0，b），所以b2+Eb+b=0，所以E=-（b+1）。從而求出圓C的方程為x2+y2+2x-（b+1）y+b=0。

上述兩種方法都是正確的，但第一種運算繁瑣，第二種簡捷。存在差異的主要原因是想出第二種解法的學生能識別出二次函數(shù)f（x）與x軸交點的橫坐標就是方程x2+Dx+F=0的兩個解，所以x2+Dx+F=0與x2+2x+b=0是同一個方程。

第一種方法學生利用熟悉的求根公式解決方程x2+2x+b=0之后再求解D，E，F(xiàn)，體現(xiàn)了“能夠對與學過的知識有關聯(lián)的數(shù)學命題，通過對其條件與結論的分析，探索論證的思路”［1］102，符合邏輯推理素養(yǎng)水平二。第二種方法則體現(xiàn)了“用數(shù)學的眼光找到合適的對象，對于較復雜的問題，探索論證的途徑，解決問題”［1］102，符合邏輯推理素養(yǎng)水平三。一般的情況下，數(shù)學運算中蘊含的邏輯推理素養(yǎng)水平越高，計算復雜程度越低。

二、從特殊到一般，探尋運算思路

在解決圓錐曲線問題的過程中，學生經(jīng)常會遇到這樣尷尬的情況：剛開始的時候思路清晰，算到一半?yún)s算不下去了，面對復雜的式子找不到解決問題的突破口。在圓錐曲線的計算中，我們面對的往往是一個又一個的未知量，未知量之間又有著多種關系。學生往往在復雜的關系中面對未知量的變化找不到運算的方向。此時，教師可以啟發(fā)學生嘗試特殊情況，看看有沒有新的發(fā)現(xiàn)，從特殊到一般，先將問題特殊化得到結果，再進行一般化的驗證，尋找問題解決的突破口。

【案例2】已知A，B為圓O：x2+y2=4與y軸的交點（A在B上方），過點P（0，4）的直線l交圓O于M，N。若M，N都不與A，B重合時，是否存在定直線m，使得直線AN與BM的交點恒在直線m上。若存在，求出直線m的方程；若不存在，說明理由。

通過觀察，筆者發(fā)現(xiàn)全班大約五分之四的學生做法如下。

（1）當k不存在時，點M，N與點A，B重合，不符合題意。

（2）當k存在時，設直線l：y=kx+4，將直線與圓的方程聯(lián)立得[y=kx+4x2+y2=4]，所以（1+k2）x+8kx+12=0。由題意得△＞0，即64k2-48（1+k2）＞0，所以k2＞3。設點M（x1，y1），N（x2，y2），所以x1+x2=[-8k1+k2]，x1x2=[121+k2]，又因為A（0，2），B（0，-2），所以直線AN的方程為y-2=[y2-2x2]（x-0），即y=[y2-2x2]x+2。同理直線BM的方程為y=[y1+2x1]x-2，所以[y=y1+2x1x-2y=y2-2x2x+2]，所以[xG=4x1x26x2-2x1yG=2kx1x2+6x2+2x13x2-x1]（*）。

學生做到上面這一步，之后不知所措，筆者與其交流發(fā)現(xiàn)他們對于（*）式無從下手，因為由韋達定理得到的x1+x2=[-8k1+k2]，x1x2=[121+k2]無法代入（*）式。那么接下來該如何解決呢？

筆者在課堂上啟發(fā)學生：既然設直線y=kx+4解決不了問題，說明將直線一般化我們暫時行不通，那么我們能不能把這條直線猜出來呢？學生迅速回應可以將直線特殊化。學生取特殊點N為（-2，0）和（2，0）分別得到G為（-1，1）和（1，1），聯(lián)立得直線m：y=1。因此猜想直線AN與BM的交點恒在直線m：y=1。要證明yG=1，即證明[2kx1x2+6x2+2x13x2-x1]=1，即證[2kx1x2+6x2+2x1=3x2-x1]，即證[2kx1x2+3（x1+x2）=]0。代入x1+x2=[-8k1+k2]，x1x2=[121+k2]，則問題得證，所以直線AN與BM的交點恒在一條定直線上，該定直線的方程為y=1。

通過歸納演繹，學生先得到了問題的結果后再進行驗證，找到了問題解決的思路，明確了運算方向。從“山重水復疑無路”到“柳暗花明又一村”，讓學生深刻感受到從特殊到一般的數(shù)學思想的價值，從而促進學生數(shù)學思維水平的發(fā)展，助力運算素養(yǎng)的提升。

三、從一般到特殊，遷移運算方法

圓錐曲線里面有一些常考的二級結論，例如：橢圓焦點三角形的面積公式、焦半徑公式、橢圓上一點的切線方程、雙曲線的焦點到漸近線的距離等。利用這些二級結論，學生可以迅速解決問題。但是，復雜的圓錐曲線問題往往將二級結論的條件內隱化，學生僅從問題表面無法發(fā)現(xiàn)與二級結論的聯(lián)系。這就需要學生學會用數(shù)學的眼光看待運算對象之間的關系，通過添加輔助線的手段將陌生問題情境轉化為熟悉的問題情境，在復雜的情境中把握條件與已有知識之間的關聯(lián)，尋找問題的突破口，實現(xiàn)運算方法的正向遷移。

【案例3】已知橢圓C：[x24]+[y23]=1的左、右頂點分別為A，B，過點C（0，1）且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1=2k2，求直線l斜率的值。

學生常見解法如下：設直線l為y=kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2）。聯(lián)立直線l和橢圓C的方程得[x24+y23=1y=kx+1]，消去y得（4k2+3）x2+8kx-8=0。由題意得△＞0，所以x1+x2=[-8k4k2+3]，x1x2=[-84k2+3]。因為k1=2k2，所以[y1-0x1+2]=2[y2-0x2-2]，即[y1x1+2]=[2y2x2-2]，所以[y1]（[x2-2]）=[2y2]（[x1+2]）。又因為y1=kx1+1，y2=kx2+1，所以（kx1+1）（x2-2）=2（kx2+1）（x1+2），化簡得到kx1x2+（2k+2）x1+（4k-1）x2+6=0①。許多學生對①式束手無策，因為由韋達定理得到x1+x2，x1x2無法直接代入①式。

這個時候怎么辦？筆者啟發(fā)學生思考能不能利用前面學習過的知識來解決問題，引導學生觀察圖象與前面學習的哪些模型或者結論類似。學生通過探究，連接BM后聯(lián)想到前面學習的“橢圓直徑定理”。

利用橢圓直徑定理的思路我們可以將k1與kBM的關系轉化為k2與kBM的關系，具體過程如下：k1kBM=[y1-0x1+2]·[y1-0x1-2]=[3（1-x24）x12-4]=-[34]，所以2k2kBM=-[34]，即k2kBM=-[38]，所以[y2x2-2]·[y1x1-2]=-[38]，所以8y1y2=-3（x1-2）（x2-2），即8（kx1+1）（kx2+1）=-3（x1-2）（x2-2），化簡得（8k[2]+3）x1x2+（8k-6）（x1+x2）+20=0。將x1+x2=[-8k4k2+3]，x1x2=[-84k2+3]代入上式化簡得4k2-4k-3=0，解得k=-[12]或[32]。又因為題意要求k＞1，所以k=[32]。

通過連接BM從而呈現(xiàn)“橢圓直徑定理”的條件，激發(fā)學生聯(lián)想已有的二級結論，將k1=2k2轉化為k2kBM=-[38]，得到[y2x2-2]·[y1x1-2]=-[38]，從而把非對稱性結構轉化為對稱結構，接下來化簡后可以直接代入韋達定理。在解析幾何的學習中，教師要引導學生扎實掌握二級結論的內容，多運用二級結論解決運算問題，從而促進學生從一般化的結論遷移到特殊問題情境，破解運算障礙。

四、發(fā)展多元思維，優(yōu)化運算路徑

在教學過程中，筆者經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學生就題論題，沒有對問題進行深入思考，運用單一方法解決不同的問題時常受阻。究其根源，學生缺乏解決問題方法的積累。而方法的積累必須讓學生經(jīng)歷探索不同思路和選擇不同運算方法解決問題的過程。所以，在數(shù)學課堂上教師要摒棄原有的“輕來龍去脈、重類型強化，輕結論探索、重結論運用”的教學方式，積極引導學生基于問題發(fā)散思考，讓學生經(jīng)歷“數(shù)學化”“再創(chuàng)造”的活動過程，建立起自己的數(shù)學理解力，為學生掌握不同的方法提供有效途徑。

【案例4】已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是他們的一個公共點，且∠F1PF2=[π3]，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為? ? ? ? ? ? ? ? ?。

為了解題的方便，不妨設橢圓的標準方程為[x2a12]+[y2b12]=1（a1＞b1＞0），離心率為e1，設雙曲線的標準方程為[x2a22]+[y2b22]=1（a1＞0，b1＞0），離心率為e2，橢圓和雙曲線的焦距為2c。

解法1：因為|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|-|PF2|=2a2，所以|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1-a2，所以由余弦定理得（2c）2=（a1+a2）2+（a1-a2）2-2（a1+a2）（a1-a2）cos[π3]，化簡得4c2=[a12]+3[a22]，所以4=（[a1c]）2+3（[a2c]）2，即[1e12]+[3e22]=4。利用柯西不等式得[12+（13）2]（[1e12]+[3e22]）≥（[1e1]+[1e2]）2，即[163]≥（[1e1]+[1e2]）2。所以[1e1] + [1e2] ≤ [433]。

上述解法大部分學生是想不到的，因為柯西不等式在高中數(shù)學新課程中不屬于必修內容。那么怎么辦？筆者以疑問激發(fā)學生思考，利用小組合作相互交流，提升思考的寬度和深度。通過課堂探究，學生最終得到了解法2和解法3。

解法2：設|PF1|=r1，|PF2|=r2，因為|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1-a2，所以|PF1|=a1+a2，所以[1e1]+[1e2]=[a1+ac]=[|PF1|c]=[r1c]，所以（[1e1]+[1e2]）2=（[r1c]）2，所以由余弦定理得（2c）2=[r12]+[r22]-2r1r2cos[π3]，即4c2=[r12]+[r22]-r1r2。所以（[1e1]+[1e2]）2=[4r12r12+r22-r1r2]=[41+（r2r1）2-r2r1]=[4（r2r1-12）2+34]，當[r2r1]=[12]時，（[1e1]+[1e2]）[2max]=[163]，所以[1e1]+[1e2][|max]=[433]。

解法3：設∠PF1F2=θ，因為∠F1PF2=[π3]，∠PF1F2+∠F1PF2+∠PF2F1=π，所以∠PF2F1=[23]π-θ，所以[1e1]+[1e2]=[|PF1|c]=2[|PF1|2c]=2[sin∠PF2F1sin∠F1PF2]=2[sin（23π-θ）sinπ3]=[4sin（23π-θ）3]≤[43]=[433]，所以[1e1]+[1e2][|max]=[433]。

解法1的思維路徑是從條件到問題，對于學生來說是正向思考，想易算難，需要補充柯西不等式才能求解。解法2和解法3的思維是從問題到條件，對于學生來說是逆向思考，想難算易。所以，發(fā)展學生的多元思維，在積累解決問題的方法中孕育選擇的機會，才有可能實現(xiàn)數(shù)學運算效益的最大化。

高中數(shù)學課程標準修訂組組長史寧中教授在高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)分析中指出“數(shù)學運算是邏輯推理……運算能力并非一種單一的、孤立的數(shù)學能力，而是運算技能與邏輯思維等的有機結合”［6］。所以，在高中數(shù)學的教學中，教師既要以運算訓練培養(yǎng)學生的運算素養(yǎng)，更要以邏輯推理為抓手，幫助學生實現(xiàn)數(shù)學運算素養(yǎng)“質的提高”。在解決問題的過程中，學生理清問題的對象從而提煉數(shù)學運算對象，利用從特殊到一般和從一般到特殊尋找運算方法，在發(fā)展多元邏輯思維的過程中提升多元運算思維，從而實現(xiàn)邏輯推理助推數(shù)學運算素養(yǎng)的提升。

【參考文獻】

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：4.

［2］許嘉璐，曹才翰.中國中學教學百科全書：數(shù)學卷［M］.沈陽：沈陽出版社，1991.

［3］羅增儒，李文銘.數(shù)學教學論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2006.

［4］程曉亮，劉影.數(shù)學教學論［M］.北京：北京大學出版社，2013.

［5］郭玉峰，段欣慰，孫艷.數(shù)學運算素養(yǎng)的理解與商榷［J］.中國數(shù)學教育，2019（20）：3-8.

［6］史寧中，王尚志.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）解讀［M］.北京：高等教育出版社，2018：127-130.

*本文系江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃2020年度課題“基于高中數(shù)學核心素養(yǎng)的考試命題評價研究”（C-c/2020/02/23）、江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃2021年度課題“核心素養(yǎng)視域下的高中數(shù)學‘學材重構”（D/2021/02/566）、江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃2021年度課題“基于新課標的高中數(shù)學大單元教學校本實踐研究”（D/2021/02/572）階段性研究成果。