小學生解決“等分除模型”問題的策略研究

[摘? 要] “等分除模型”問題是指學生知道總數和份數，把一個數平均分成幾份求一份數是多少的問題。剛好分完和分后有余是“等分除模型”中常見的問題，二年級學生解決這類問題時會采用不同的表征方式：動作表征、符號表征、語言表征、現實情境表征。

[關鍵詞] 等分除模型;策略研究;前測分析

一、問題的提出

“等分除模型”問題是指學生知道總數和份數，把一個數平均分成幾份求一份數是多少的問題。筆者以“等分除模型”教學為例，探究學生采用的表征方式以及解決剛好分完和分后有余這兩種方式的解決問題的策略。為了了解學生的已有學習經驗，筆者設計了相關的問題，并努力借助這些開放性的問題了解學生對“等分除”的學習經驗，為基于學習路徑的單元整體教學設計提供科學依據。

二、研究目的及主要問題

1. 研究目的

分析二年級的學生在解決“等分除模型”時有哪些表征方式，為小學數學的教學設計提供參考依據。

2. 研究的主要問題

（1）二年級學生在解決剛好分完這種“等分除模型”時有哪些表征方式;

（2）二年級學生在解決分后有余這種“等分除模型”時有哪些表征方式。

三、研究設計

1. 研究對象

按照現行的小學蘇教版數學教材，筆者選擇了二年級6個班共264名學生作為研究對象，他們均未在學校里學習過有關除法的內容。

2. 測試和訪談題目

本次測試采用紙筆答題，分不同時間段進行前測：第一次是學生學習蘇教版二年級上冊第四單元“表內除法（一）”前，引導學生完成剛好分完和分后有余這兩種“等分除模型”的題目，考查學生是否能用畫圖、減法算式、除法算式和文字等方式表征分物的過程;第二次是學生學習“有余數的除法”前，引導學生完成分后有余這種“等分除模型”的題目，考查學生是否能用畫圖、減法算式、除法算式和文字等方式表征分物的過程，從剛好分完的除法模型中正遷移到分后有余的除法模型。

第一次前測：

1. 把12個圓片平均分成3份。

（1）畫一畫，分一分。

（2）用減法表示分的過程。

第1次分3個，剩下（? ）個。

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第2次分3個，剩下（? ）個。

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第3次分3個，剩下（? ）個。

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第4次分3個，剩下（? ）個。

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（3）你能用除法算式來表示嗎？

（4）你能用一句話描述分物的過程嗎？

（5）這個除法算式，除了能表示“把12個圓片平均分成3份”這種情境，還能表示哪些現實情境？（至少寫2種）

2. 把16個圓片平均分成5份。

（1）畫一畫，分一分。

（2）用減法表示分的過程。

第1次分5個，剩下（? ）個。

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第2次分5個，剩下（? ）個。

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第3次分5個，剩下（? ）個。

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（3）你能用除法算式來表示嗎？

（4）你能用一句話描述分物的過程嗎？

（5）這個除法算式，除了能表示“把16個圓片平均分成5份”這種情境，還能表示哪些現實情境？（至少寫2種）

第二次前測：

1. 把21個圓片平均分成6份。

（1）畫一畫，分一分。

（2）用減法表示分的過程。

（3）你能用除法算式來表示嗎？

（4）你能用一句話描述分物的過程嗎？

（5）這個除法算式，除了能表示“把21個圓片平均分成6份”這種情境，還能表示哪些現實情境？（至少寫2種）

3. 測試和訪談過程

第一次測試時間選擇在學生沒有接觸過表內除法等知識前;第二次測試時間選擇在學生學習表內除法后，但是還沒有學習有余數的除法等知識。測試對象為二年級不同教師執教的兩個平行班級共88名學生。學生在解答過程中，教師沒有做任何提示和指導，整個測試過程基本反映了學生真實的認知水平。測試后，教師對學生的解題情況進行批改和整理、分析，并選擇部分學生進行訪談，了解他們的思考過程。

四、“等分除模型”的測試結果分析

1. 二年級學生初次解決“等分除模型”時能想到不同的表征方式

從表1可知，二年級學生在解決剛好分完和分后有余這兩個問題時能想到用不同的方式進行表征。其中解決剛好分完問題時想到用1種方法進行表征的占59.1%，解決分后有余問題時想到用1種方法進行表征的占31.8%。據筆者觀察，學生的這一種方法主要是動作表征。

2. 二年級學生再次解決分后有余時能想到更多的表征方式

從表2可知，當學生學習表內除法知識時，經歷了動作表征、符號表征、語言表征和現實情境表征等過程，對剛好分完這種問題有了全面的認識。因此，學生在第二次前測時，比第一次前測分后有余問題時有了更多的表征方式：第一次解決分后有余問題時不能進行表征的占48.9%，第二次解決分后有余問題時不能進行表征的占5.7%;第一次解決分后有余問題時用1種方法進行表征的占31.8%，第二次解決分后有余問題時用1種方法進行表征的占46.6%。可見，學生學習表內除法時的各種表征方式對有余數的除法有積極促進作用。

3. 二年級學生解決“等分除模型”時多用動作表征和除法算式表征

從表3可以看出無論是解決剛好分完問題還是解決分后有余問題，大多數學生都是用動作表征分物的過程，其中學生解決剛好分完問題時運用動作表征的占59.1%，解決分后有余問題時運用動作表征的占31.8%。為了進一步了解學生用動作表征的過程，筆者訪談了部分學生：如把12個圓片平均分成3份時，有的學生是1個1個地分圓片，把12個圓片分到不能再分為止;有的學生第一次分3個圓片，第二次分3個圓片，以此類推分完為止;有的學生想到了乘法口訣“三四十二”，就立即4個4個地分，直接分完了。

二年級學生首選動作表征解決“等分除模型”;其次是符號表征，學生解決剛好分完問題時運用符號表征的占57.9%，解決分后有余問題時運用符號表征的占23.9%;再次是語言表征，學生解決剛好分完問題時運用語言表征的占23.9%，解決分后有余問題時運用語言表征的占8.0%。

五、結論

1. 這組題目的測試和分析后得出的結論

（1）二年級學生解決“等分除模型”時能想到不同的表征方式，比如動作表征、符號表征（減法算式和除法算式）、語言表征、現實情境表征。

（2）當二年級學生學習表內除法后，相比第一次前測分后有余問題，第二次前測時有了更多的表征方式。

（3）二年級學生解決“等分除模型”時多用動作表征和除法算式表征。

（4）二年級學生在解決“等分除模型”時，個體之間存在差異性。

2. 對小學數學教學的啟示

（1）在表內除法的新課教學中，教師要設計豐富的體驗活動，幫助學生經歷動作表征、符號表征（減法算式和除法算式）、語言表征、現實情境表征等活動，建立平均分的表象。

（2）在有余數除法的新課教學中，教師要從復習表內除法導入，引導學生發現分物時會出現剛好分完和分后有余這兩種情況，并溝通表內除法和有余數的除法之間的聯系。

（3）在教學活動前進行前測，有利于教師更好地把握學情，了解大多數學生的已有知識經驗。

作者簡介：賈俊俊（1981—），本科學歷，二級教師，從事小學數學教學工作。