聚焦“意義”：第一學段“運算之間的關系”教學探索

摘 要：“運算之間的關系”是義務教育數學課程“數與運算”主題的重要內容之一，第一學段需要達成“知道減法是加法的逆運算、乘法是加法的簡便運算、除法是乘法的逆運算”的學業要求。“表內乘法”和“表內除法”相關內容是“運算之間的關系”教學的重要載體。教師要在具體情境中，結合乘法和除法的初步認識、乘法口訣的編制和應用，引導學生理解乘法是加法的簡便運算、除法是減法的簡便運算、除法是乘法的逆運算，從而在生活與數學、舊知與新知、單點與結構之間建立聯系，有效落地核心素養導向的課程目標，促進認知進階、問題解決、思維發展。

關鍵詞：小學數學；運算關系；運算意義；簡便運算；逆運算

*本文系全國教育科學“十三五”規劃2020年度教育部重點課題“小學數學核心知識建構的教學研究”（編號：DHA200370）的階段性研究成果。

“運算之間的關系”是義務教育數學課程“數與運算”主題的重要內容之一。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）明確指出它在不同學段的學業要求：第一學段，“能描述四則運算的含義，知道減法是加法的逆運算、乘法是加法的簡便運算、除法是乘法的逆運算”^［1］；第二學段，“能描述減法與加法的關系、除法與乘法的關系”^［2］，“進一步理解除法是乘法的逆運算”^［3］；第四學段，“知道乘方與開方互為逆運算”^［4］。可以說，第一學段“運算之間的關系”的教學直接影響著相關知識整體建構和應用遷移的質量，值得研究和重視。

一、第一學段“運算之間的關系”教學管窺

先看蘇教版小學數學二年級上冊《期末復習》單元的兩道練習題（如圖1所示）。對于經過一個完整學期學習的二年級學生來說，解答這兩道基礎性練習題是沒有難度的。筆者在實際教學中發現：無論是有指定運算類型要求的第1題，還是沒有指定運算類型要求的第2題的第（2）題，超過90%的學生能夠快速且統一地寫出兩道乘法算式和兩道除法算式。

這樣的結果，與教材的編排意圖和教師的教學預期完美吻合：“第1題通過看圖寫兩道乘法算式和兩道除法算式，引導學生回憶乘、除法的含義，進一步體會乘、除法之間的內在聯系”；第2題的第（2）題“讓學生練習根據一句口訣寫出兩道乘法算式和兩道除法算式，幫助學生復習用口訣求積和求商的方法，熟練掌握乘法口訣與表內乘、除法之間的對應關系，促進計算技能的形成”。^［5］

綜觀人教版、北師大版和蘇教版小學數學教材中“表內乘法”“表內除法”的相關內容，無一例外地突出了情境、口訣與乘法運算、除法運算的關系，關注了除法是乘法的逆運算。如蘇教版小學數學二年級上冊，在《表內乘法（一）》單元，突出了情境、口訣與乘法運算的關系；在《表內除法（一）》單元，突出了情境、口訣與除法運算的關系，初次感悟除法是乘法的逆運算；在《表內乘法和表內除法（二）》單元，突出了情境、口訣與乘法運算和除法運算的關系，進一步感悟除法是乘法的逆運算。依據這樣的內容編排開展教學，可以幫助學生強化對乘法與除法之間關系的理解；但另一方面，弱化了對乘法與加法、除法與減法之間關系的理解，學生往往難以從整體上感悟和理解四則運算之間的關系。

二、第一學段“運算之間的關系”教學建議

以蘇教版小學數學二年級上冊“表內乘法”“表內除法”相關內容的教學為例。這兩部分內容的教學，應借助具體情境，結合乘法和除法的初步認識（含義理解）、乘法口訣的編制以及應用口訣計算相應的乘法和除法、解決簡單的實際問題，引導學生理解乘法是加法的簡便運算、除法是減法的簡便運算、除法是乘法的逆運算，并與“減法是加法的逆運算”這一舊知建立聯系，首次從整體上感悟和把握四則運算之間的關系。

（一）回溯乘法意義，豐富加法與乘法之間關系的教學

蘇教版小學數學二年級上冊《表內乘法（一）》單元從加法運算引出乘法運算，相應的教學常常是通過情境理解、操作模擬、圖形表征、史料介紹、算式比較，引導學生初步感悟和了解乘法與加法的關系——但筆者以為，這樣的教學只是把加法作為單向引出乘法的基礎材料，沒有突出也沒有充分讓學生感悟到“乘法是加法的簡便運算”。對此，有必要進一步挖掘教材內容承載的價值，并有意識地從乘法的意義出發，豐富學生對加法與乘法之間關系的感悟和理解。

【片段1】

教師出示下頁圖2（對蘇教版小學數學二年級上冊第27頁“想想做做”第2題的附圖做了適當的修改），引導學生觀察、思考，并與學生互動。

師 你能看圖用三句話講一個故事嗎？

生 每行有5個花片，有3行，一共有多少個花片？

生 還可以這么說：每組（列）有3個花片，有5組（列），一共有多少個花片？

師 看看圖，想想兩個同學講的故事，你能寫出哪幾道算式？

（學生獨立寫算式，同桌交流。教師展示學生作業并組織全班交流。）

生 我想到了：5+5+5=15，3+3+3+3+3=15。

生 我想到了：5×3=15，3×5=15。

生 我想到了：5+5+5=15，5×3=15，都是3個5相加。

生 我想到了：3+3+3+3+3=15，3×5=15，都是5個3相加。

師 同學們說得都有道理！既然我們可以用以前學過的加法解決這個問題，為什么還要學習乘法呢？

生 因為乘法寫起來比加法簡單。

師 是的。3個5相加，或者5個3相加，寫成乘法算式和加法算式都可以，但是乘法要比加法更簡便。想一想：你能用一句口訣算出這4道算式的得數嗎？如果能，用哪一句口訣呢？

生 三五十五。

（很多學生都快速選擇了這一句口訣。）

師 乘法口訣真神奇！“三五十五”可以算3個5相加是多少，也可以算5個3相加是多少；可以算加法，也可以算乘法。

【片段2】

教師呈現蘇教版小學數學二年級上冊第32頁“想想做做”第3題（如圖3所示），在學生獨立計算、反饋訂正之后組織全班交流。

師 （依次指每一列）

如果不計算，你能說說每組兩道算式的得數為什么一樣嗎？

生 （指第一列的兩道算式）

第1題是2個5加5，就是3個5相加，第2題也是3個5相加。

生 （依次指第二、三列的兩道算式）

它們都是4個5相加、5個5相加。

師 有道理。既然都表示3個5、4個5、5個5相加，每組的兩道算式分別能用哪一句口訣算出得數呢？

（學生說出“三五十五”“四五二十”“五五二十五”三句口訣。）

師 “四五二十”這句口訣可以計算4個5相加是多少，（指第二列）

除了這兩道算式之外，還能夠計算哪道算式的得數？

生 5+5+5+5=20。

生 5×2+5+5=20。

師 看來乘法口訣的作用還真不小呢！觀察一下，同樣表示4個5相加，寫成哪道算式更簡便？

生 乘法算式更簡便。

上述教學，不僅豐富了學生對乘法含義、乘法口訣的理解，拓展了乘法口訣解決計算問題的空間（即用乘法口訣計算同數連加、乘加混合算式的得數），也有助于學生更好地感悟“乘法是加法的簡便運算”，初步感悟乘法分配律。筆者以為，在《表內乘法（一）》單元和后續相關內容的教學中，應該經常引導學生退回乘法的含義去理解情境、完成計算、解決問題，不斷豐富關于加法和乘法雙向轉換、算式和圖形雙向表征、口訣與算式（特別是加法算式）雙向聯結的經驗，從而幫助學生在認知進階的過程中感悟和理解加法與乘法的關系。

（二）拓展除法意義，補充減法與除法之間關系的教學

蘇教版小學數學二年級上冊《表內除法（一）》單元從現實生活中的平均分問題引出除法運算，相應的教學也常常是通過情境理解、操作模擬、圖形表征以及利用乘法口訣求商（想乘法算除法），引導學生初步感悟和了解除法與乘法的關系——但筆者以為，這樣的教學忽略了減法也是除法的來源這一事實，中斷了學生在先前學習中初步形成的從已知運算引出新運算的思路，割裂了除法與減法的關系。對此，可以嘗試突破教材內容的框架，有意識地拓展除法的意義，引導學生建立減法與除法之間的聯系。

【片段3】

教師呈現蘇教版小學數學二年級上冊第48頁例5主題圖（如圖4），引導學生在理解題意后提出問題：6人坐纜車，每車坐2人，要坐多少車？在學生獨立嘗試通過分物或畫圖操作解決問題之后，教師為學生提供記錄單：“我記錄的算式是______，要坐______車?！币髮W生想辦法用算式記錄解決問題的操作過程和答案。然后，教師展示有代表性的學生作品，組織交流互動。

生 我記錄的是“2+2+2=6”，要坐3車。

師 在算式中，從哪里可以看出坐了3車？

生 （用紅筆依次圈出3個2，數出結果）

1車，2車，3車。

師 你的意思是每車坐2人，這里有3個2人，所以要坐3車，是嗎？

生 是的。我就是這么想的。

生 我記錄的方法和他的不一樣。我記錄的是“2×3=6”，每車坐2人，有3個2人，要坐3車。

生 我也是用乘法記錄的：2×（ ）=6。因為2×3=6，所以要坐3車。

師 有道理?？磥?，我們可以用以前學過的加法和乘法知識來解決問題。

生 我是用減法記錄的。我記錄的是“6-2-2=2”，（依次圈出3個2）

每車坐2人，要坐3車。

生 （指著前一位學生的作品）

我記錄的算式和他有一點不同。我記錄的是“6-2-2-2=0”，（依次圈出3個2）

每車坐2人，要坐3車。

師 這兩種方法看明白了嗎？（稍停）

看來用減法也能解決這個問題。

（教師引導學生比較三種記錄方法：①2+2+2=6；②2×3=6；③6-2-2-2=0。）

師 三種方法都能記錄“6人坐纜車，每車坐2人，要坐3車”，比一比，它們有什么不同呢？

生 “2+2+2=6”可以寫成“2×3=6”，但是乘法比加法簡便。

生 “6-2-2-2=0”和“2+2+2=6”是相反的。

師 我同意大家的意見。如果“2+2+2=6”能夠簡便地寫成“2×3=6”，那么，“6-2-2-2=0”能不能也有一種簡便寫法呢？

（學生思考和討論。）

師 “6人坐纜車，每車坐2人，要坐3車”，用減法記錄是“6-2-2-2=0”，還可以簡便地寫成“6÷2=3”。

（教師同步板書，讀出算式，介紹算式各部分的名稱。然后，引導學生比較減法算式、除法算式中的幾個數與平均分情境中的三個數量之間的對應關系，幫助學生初步感悟一個數連續減去幾個相同的數也可以用除法來計算，除法比減法簡便。）

上述教學，在學生通過實物或畫圖操作來加深對平均分的理解，用加法、乘法和減法來記錄解決平均分問題的過程和結果的基礎上，適時引出除法的記錄形式，引導學生初步了解除法和減法之間的關系，感悟“除法是減法的簡便運算”，拓展除法的意義。事實上，蘇教版小學數學二年級上冊《表內除法（一）》單元第53頁例7中就呈現了用連減解決平均分問題的方法，只是此方法僅在這里出現了一次，且并未與除法建立起實質性聯系。站在學生整體理解除法意義、整體感悟運算之間關系的高度來審視，教師不妨嘗試在《表內除法（一）》單元以及后續相關內容的教學中，啟發學生用不同的方法（特別是用減法和除法）解決平均分的問題，拓寬他們解決問題的視野，找到除法計算中口訣求商之外的方法，彌合除法與減法之間的斷層，實現減法與除法之間的雙向轉換。需要說明的是，補充教學只是引導學生從另一個源頭認識除法，我們依然應該重視乘法與除法之間關系的教學。

（三）關聯運算意義，優化四則運算之間整體關系的教學

“表內乘法”“表內除法”相關內容的教學，不僅要突出乘法與除法之間的關系，助力學生感悟除法是乘法的逆運算，理解和運用口訣求積與求商的方法，形成運算技能，更應助力學生從整體上理解加減乘除四則運算的意義以及運算之間的關系，靈活地選擇方法解決相關問題。對此，可以在適當的時機，引導學生從不同的角度觀察、分析和表征問題，在解決問題的過程中進一步整體感悟和理解四則運算的意義以及運算之間的關系。

【片段4】

教師呈現圖5，引導學生在觀察、思考后提出數學問題。

師 小華用正方形卡片做游戲，你能看圖用三句話講一個數學故事嗎？先自己想一想，再在小組內交流。

（在學生獨立思考、組內交流之后，教師組織全班交流。）

生 每行有8張卡片，擺了3行，小華一共有多少張卡片？

生 每列有3張卡片，擺了8列，小華一共有多少張卡片？

生 小華有24張卡片，每行有8張，可以擺幾行？

生 小華有24張卡片，擺成3行，每行有幾張？

生 小華有24張卡片，每列有3張，可以擺幾列？

生 小華有24張卡片，擺成8列，每列有幾張？

（教師呈現學生提出的這六個問題，要求學生獨立解決、組內交流。然后，教師組織全班交流，同步板書與問題對應的算式。接著，教師選擇問題2和問題5的代表性方法進行討論。）

師 （指著問題2）

這個問題，同學們想到兩種方法：（1）3+3+3+3+3+3+3+3=24； （2）3×8=24。這兩種方法都可以嗎？為什么解決問題時都選擇第二種方法？

生 兩種方法都可以，都是算8個3相加是多少。

生 兩種方法都可以，但是乘法比加法簡便。

師 （指著問題5）

這個問題，同學們也想到兩種方法：①24-3-3-3-3-3-3-3-3=0；②24÷3=8。為什么解決問題時都選擇第二種方法？

生 兩種方法都可以，但是除法比減法簡便。

師 學習了加法和減法以后，我們又學習了乘法和除法，就是要用更簡便的方法解決一些問題。（先指加法和減法算式，再指乘法和除法算式）

比一比上下兩道算式，你有什么發現？

生 我發現“24-3-3-3-3-3-3-3-3=0”和“3+3+3+3+3+3+3+3=24”是相反的， “24÷3=8”和“3×8=24”也是相反的。

師 同學們的發現很重要！減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，以后我們還會進一步學習。現在回過頭來看圖，你能寫出幾道算式？

生 我能寫出八道算式。

生 我能寫出兩道加法、兩道乘法、兩道減法、兩道除法算式。

上述教學中，學生通過看圖，喚醒了大腦中熟悉的情境問題，以及解決這些問題的代表性方法。在此基礎上，學生通過方法之間的兩兩比較，進一步理解了四則運算的意義，更清晰地認識了加法與乘法、減法與除法、加法與減法、乘法與除法之間的關系。為了有效達成新課標中有關第一學段“運算之間的關系”的課程目標，發展學生的運算能力、模型意識等核心素養，我們需要整體分析教材內容，整體把握“表內乘法”“表內除法”以及其他系列內容之間的關聯，了解四則運算的產生和來源、結構和關聯、價值和意義，進而有意識地從整體的、聯系的、發展的角度，引導學生從運算的意義出發，在解決問題、算式計算、口訣編制的過程中，整體感悟四則運算之間的關系，初步建立關于運算之間關系的有意義的知識結構，為第二學段以及后續相關內容的學習打下堅實的基礎。

當然，教學中我們還應該整體考慮運算模型的選擇、代數思維的孕伏、多元表征的關聯等問題，認識到四則運算是一個充滿聯系的整體，乘法是有別于加法、除法是有別于減法的獨特運算，從而在長程教學中引導學生結構化地認知、思考。從這個意義上說，我們應該基于新課標要求，充分了解教材編排、教師教學和學生學習的現狀，發現隱秘的內容斷層，把準不同的認知困惑，確定適切的教學起點，設計合理的學習路徑，從而讓學生的學習真實地發生，讓核心素養在學習過程中逐步形成。

參考文獻：

［1］［2］［3］［4］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：19，22，23，58.

［5］南京東方數學教育科學研究所.義務教育教科書教師教學用書·二年級上冊數學［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2021：215.