剖析動點與函數圖象中考題

摘要：將動點的位置變化產生的不同圖形與函數圖象相結合，是中考數學題的常見命題方式.文章以2022年中考題為例，分類解析三種常見題型，引導學生數形結合，分析動點產生圖形變化與函數圖象的對應方法，培養學生分析、解決問題的能力，提升學生數學核心素養.

關鍵詞：初中數學；動點與函數圖象；對應

1 點動

例1（2022[J]5齊齊哈爾）如圖1-1所示（圖中各角均為直角），動點P在六邊形ABCDEF上沿A→B→C→D→E勻速移動，速度為1個單位長度/s，△AFP的面積y與點P運動的時間x（單位：s）之間的函數關系圖象如圖1-2所示，下列說法正確的是（）.

A.AF＝5

B.AB＝4

C.DE＝3

D.EF＝8

解：因為點P在六邊形ABCDEF上沿A→B→C→D→E勻速移動，速度為1個單位長度/s，所以由圖1-2的第一段折線可知，點P經過4s到達點B處，此時的三角形的面積為12.

所以AB＝4.由12AF[J]5AB＝12，得AF＝6.

故A選項不正確，B選項正確.

由圖1-2的第二段折線可知，點P再經過2s到達點C處，所以BC＝2.

由圖1-2的第三段折線可知，點P再經過6s到達點D處，所以CD＝6.

由圖1-2的第四段折線可知，點P再經過4s到達點E處，所以DE＝4.故C選項不正確.

由圖1-1中各角均為直角，得EF＝AB+CD＝4+6＝10.故D選項不正確.

故選：B.

點評：弄清動點P的起始位置及運動方向，并結合函數圖象的變化趨勢，根據面積公式計算線段長.

2 線動

例2（2022[J]5濰坊）如圖2所示，四邊形ABCD的對邊分別平行，若∠ADC＝120°，CD＝2，BC＝1，點E，F分別在四邊形的AB邊與AD邊上運動，它們同時從點A出發，速度都是1個單位長度/s，點E沿A→B→C的方向運動，點F沿A→D→C的方向運動，當其中一點到達點C時另一點隨之停止.若線段EF在運動過程中掃過區域的面積記為y，運動時間記為x，那么可以反映y與x之間函數關系的圖象是（）.

解：如圖3，過點F作FH⊥AB于點H.

（1）如圖3所示，當0≤x≤1時，在Rt△FAH中，∠A＝60°，AF＝x，則FH＝AF[J]5sin A＝32x.

所以線段EF掃過的區域面積為△AEF的面積，即y＝12x[J]532x＝34x2，其函數圖象為開口向上的一段拋物線.

（2）如圖4，當1＜x≤2時，過點D作DP⊥AB于點P，

則DP＝AD[J]5sin A＝32.

所以線段EF掃過區域的面積y＝12×（x-1+x）×32＝32x-34，其圖象是一條線段.

（3）如圖5，當2＜x≤3時，過點E作EG⊥CD于點G，則CE＝CF＝3-x，EG＝32（3-x）.

所以線段EF掃過區域的面積y＝2×32-12×（3-x）×32（3-x）＝3-34（3-x）2，其圖象是開口向下的一段拋物線.

故選：B.

點評：動線段EF掃過區域的面積，與由動點運動的時間而形成的不同圖形的形狀有關.求面積的關鍵是將有關線段長用含x的代數式表示出來.

3 形動

例3（2022[J]5遼寧）如圖6所示，在等邊三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，點B，C，D，E在一條直線上，點C，D重合，△ABC沿射線DE方向運動，當點B與點E重合時停止運動.設△ABC運動的路程為x，△ABC與Rt△DEF重疊部分的面積為S，則能反映S與x之間函數關系的圖象是（）.

解：如圖7，過點A作AM⊥BC，交BC于點M.在等邊三角形ABC中，∠ACB＝60°.

在Rt△DEF中，∠F＝30°，則

∠FED＝60°，即

∠ACB＝∠FED，所以

AC∥EF.

在等邊三角形ABC中，AM⊥BC，所以

BM＝CM＝12BC＝2，AM＝3BM＝23.

所以S△ABC＝12BC[J]5AM＝43.

（1）如圖8，當0＜x≤2時，設AC與DF交于點G，此時△ABC與Rt△DEF重疊部分為△CDG.

由題意，可得CD＝x，DG＝3x.

所以S＝12CD[J]5DG＝32x2.

（2）如圖9，當2＜x≤4時，設AB與DF交于點G，此時△ABC與Rt△DEF重疊部分為四邊形AGDC.

由題意，可得CD＝x，則BD＝4-x，DG＝3（4-x）.

所以S＝S△ABC-S△BDG＝43-32（4-x）2=

-32（x-4）2+43.

（3）如圖10，當4＜x≤8時，設AB與EF交于點G，過點G作GM⊥BC，交BC于點M，

此時△ABC與Rt△DEF重疊部分為△BEG.

由題意，可得CD＝x，則CE＝x-4，DB＝x-4，則

BE＝x-（x-4）-（x-4）＝8-x.

所以BM＝4-12x，GM＝34-12x.

所以S＝12BE[J]5GM＝8-x2×34-12x=

434（x-8）2.

綜上，選項A的圖象符合題意.故選：A.

點評：△ABCD在運動過程中，與Rt△DEF重疊部分的圖形在不同階段形狀不同，因而面積的計算方法也不同.路程為x，其面積用含x的代數式表示.

4 結語

運動是物質的固有屬性和存在方式，靜止是運動的一種特殊狀態，它們可以相互轉化.解決上述問題可以根據運動時間（或路程）、圖形的特殊位置、圖象的拐點和圖象變化趨勢，數形結合，或用某一未知數表示線段長，求出函數解析式，進而確定對應的函數圖象.