把握教學明線與暗線 促進素養落地與生根

摘" 要：在單元整體教學過程中，教師既要抓住“傳授知識”這一明線，又要把握“促進學生自主發展”這一暗線，避免教學的短視行為，促進學生數學核心素養的發展. 以“基本不等式”單元整體教學為例，探討教學實踐中把握教學明線與暗線的重要性及方式方法，通過研讀課程標準、深挖教材資源，注重知識來源、巧設知識應用，明確研究方法、發展核心素養，梳理問題鏈條、實現知識重構，引導學生深入思考，發展高階思維和數學核心素養.

關鍵詞：單元整體教學；教學明線；教學暗線；核心素養；基本不等式

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）11-0023-05

一、問題提出

德國教育學家斯普朗格曾說過：“教育的最終目的不是傳授已有的東西，而是要把人的創造力量誘導出來，將生命感、價值感喚醒.”精選課程內容，處理好數學核心素養與知識技能之間的關系，突出數學主線，凸顯數學的內在邏輯和思想方法，要求教師設計長期的教學目標，在抓住“傳授知識”這條明線的同時，牢牢把握“促進學生自主發展”這條暗線，實現從知識學習到能力培養再到素養發展. 在數學教學過程中，教師要善于把握課堂教學的明線與暗線，在兩者并行過程中，既要有效避免教學的短視行為，又要更好地落實單元教學理念，促進數學核心素養的落地與生根.

本文以“基本不等式”單元整體教學為例，對把握課堂教學的明線與暗線、促進核心素養的落地與生根進行探討與分析.

二、課堂教學明線與暗線的內涵、關系和價值

1. 課堂教學明線與暗線的內涵

課堂教學的明線，狹義來說是教材呈現的內容，廣義來說就是向學生傳授知識，是教師為達成教學目標在教學過程中直接展示給學生的、以知識傳授和技能培養為主線的活動線索. 通常涉及具體的教學內容、方法和任務. 從教學內容來看，明線包括教師傳授給學生的具體概念、公式、法則、定理等，如子集和真子集的概念、函數單調性的定義等. 從教學方法來看，明線涉及教師使用的課堂教學手段和教學策略，如直觀演示、講練結合等，以幫助學生理解和掌握所學內容. 從教學任務來看，明線還包括具體的課堂和課后任務，讓學生鞏固和應用所學知識.

課堂教學的暗線，狹義來說是解決問題時用到的思想方法和路徑，廣義來說是促進學生全面發展. 學科核心素養是學科教學的最終歸宿，集中體現了學科的育人價值. 教育的價值和意義在于提供各種條件讓學生在學習過程中不斷提升思維品質，逐漸走向自主發展.

2. 課堂教學明線與暗線的關系

課堂教學的明線是暗線的有效載體和工具，暗線為明線指明了方向和目標，推動明線的生成與發展，兩者相輔相成. 課堂教學的明線實現了由“知其然”到“知其所以然”的過程，課堂教學的暗線實現了由“知其所以然”到“何由以知其所以然”的跨越.

數學的教與學都需要借助教材，教材既是教師教學的依據，也是學生學習的基本素材. 但是教材是靜態的，教師對教材內容的重構是動態的，以有效問題鏈為驅動，實現從靜態的數學內容到動態的數學活動的轉變，培養學生學會從數學的角度發現問題、提出問題、分析問題和解決問題，將數學知識轉化為實際應用能力，增強學生的數學建模意識，比記住數學的概念、公式和定理等知識更重要.

3. 課堂教學明線與暗線的價值

課堂教學明線與暗線交替，在明晰課堂教學明線并深入挖掘課堂教學暗線的基礎上，教師才能引導學生“如何思考問題”“如何建構新知”，從而促進學生準確把握教學內容，實現知識的重構與理解，以及思想方法的體驗與領悟. 教師引導學生用欣賞的視角感知數學思想方法的發生發展過程，感知數學的獨特魅力，從而在深度學習中培養學生將已有知識遷移到新情境中的自主判斷、決策、解決復雜問題和發展高階思維的能力.

在“基本不等式”內容的學習過程中，受到教學短視行為的影響，部分教師省略了對基本不等式幾何意義的探究，甚至有些教師認為對基本不等式幾何意義的探究只是為了體現數形結合思想. 如果從數學完整性的角度來看，就會理解各個版本的教材為什么都會對基本不等式的幾何意義進行探究. 例如，在學習實數時，將任意一個實數和數軸上的一個點一一對應，這樣就可以從形的角度來理解實數了. 同時，利用勾股定理、借助尺規作圖作出長度為[2， 3，][5，…]的線段；在學習完全平方公式[a+b2=a2+][2ab+b2]時，也從形的角度對該公式進行了解釋，體現了代數與幾何之間的聯系. 在這個過程中，如果引導學生從不同的角度認識同一個事物，會有不同的體驗. 深挖教材背后的暗線就會發現，這些內容不僅體現了數形結合思想，還滲透了數學建模思想，即引導學生通過建立數學模型來解決數學問題，以此為暗線對基本不等式教學內容進行重構，可以有效發展學生的數學核心素養.

三、體現課堂教學明線與暗線的教學設計案例

為體現課堂教學明線與暗線在教學設計中的作用，下面以人教A版《普通高中教科書·數學》必修第一冊第二章第2節“基本不等式”為例進行分析.

1. 教學內容解析

數學中存在著各種各樣的數量關系，既有相等關系，又有不等關系，它們是建立方程和構建不等式的基礎. 本節課是在學習了不等式的基本性質的基礎上繼續研究一種重要且基本的不等式，它在解決其他不等式問題、最值問題等方面發揮著重要作用. 為何稱該不等式為基本不等式？主要基于以下四個方面的考慮.

（1）基本不等式與許多重要的數學概念和性質相關.

從數與運算的角度來看，基本不等式體現了兩個非負實數的算術平均數不小于它們的幾何平均數，基本不等式涉及的是代數中的“基本量”和最基本的運算；從幾何圖形的角度來看，“半徑大于或等于半弦”“周長相等的矩形中，正方形的面積最大”等都是基本不等式的幾何直觀解釋.

（2）基本不等式的證明或推導方法多樣化.

從數量關系的角度來看，利用不等式的性質可以推導基本不等式；從幾何圖形的角度來看，借助幾何直觀可以探究基本不等式的幾何解釋；從函數的角度來看，通過構造函數，利用函數的性質可以證明基本不等式.

（3）基本不等式為解決最值問題提供了新思路.

基本不等式的代數結構是數學模型思想的一個范例，借助這個模型可以求解最大值或最小值.

（4）基本不等式可以構造出新的不等式.

在原有基本不等式的基礎上，通過變形可以衍生出一系列新的重要不等式. 例如，若[agt;0]，[bgt;0]，由基本不等式可得[1a+1b≥21ab]，則[ab≥21a+1b]. 這樣就得到一個重要不等式——兩個正數的幾何平均數不小于它們的調和平均數.

因此，基本不等式內容的學習可以培養和發展學生的邏輯推理、數學運算和數學建模等素養.

基于以上教學內容分析，本節課的教學重點為：結合具體實例抽象得到基本不等式，掌握基本不等式的證明方法和幾何解釋，會用基本不等式解決簡單的最值問題.

2. 教學目標制訂

教學目標的制訂，既要突出數學核心素養，思考相應素養在教學中的孕育點、生長點，又要符合課程標準提出的評價要求.

教學目標具體包括以下四個方面.

（1）能在具體情境中抽象出重要不等式，通過從一般到特殊的推理方法得到基本不等式；

（2）能利用不等式的性質證明基本不等式；

（3）能通過幾何直觀說明基本不等式的幾何解釋；

（4）能在深刻理解基本不等式的基礎上解決簡單的最值問題.

其中，目標（1）是為了培養學生的抽象概括能力；目標（2）是為了培養學生的推理論證能力；目標（3）是為了培養學生的直觀想象能力，感知數形結合的重要思想和方法；目標（4）是為了培養學生的數學抽象和推理論證能力，以及數學運算和數學建模素養.

3. 明線和暗線厘定

從全章的教學內容出發，教師不僅要關注本節課的教學目標，還要關注整個單元的教學目標. 在實際教學中，明線與暗線并行，教師可以將教學內容按照一定的順序和結構組織起來，從而讓學生更好地感知數學的完整性和結構性.

在教學過程中，應該以知識的生成為明線、素養的達成為暗線組織教學. 如圖1，本節課的教學明線為：基本不等式的獲得與證明，以及基本不等式的簡單應用. 暗線為：在結合幾何圖形表示不等式的過程中培養學生的直觀想象和數學抽象素養；在利用代數法證明不等式的過程中培養學生的邏輯推理素養；在探尋基本不等式幾何意義的過程中培養學生的數學建模素養；在應用基本不等式求最值的過程中，既培養學生的邏輯推理和數學運算素養，又使學生體會數學知識的應用價值. 在初中階段，學生一般可以利用幾何法（如“將軍飲馬”模型）或借助函數圖象（如二次函數的圖象）求最值. 在學習了基本不等式后，學生就可以利用不等式求最值了.

通過創設恰當的教學情境，提出合適的數學問題，引導學生主動探索基本不等式并進行證明，引領學生多角度、多方位認識基本不等式，了解它的幾何意義，充分滲透數形結合思想. 針對教學中的重點和難點，教師主要采用問題驅動、啟發誘導、合作探究的教學方法進行突出和突破. 在尋求基本不等式的幾何解釋環節，組織學生以小組形式進行合作探究，為不同水平的學生提供交流的平臺，并輔以信息技術手段，引導學生直觀感知，從而把生疏的、內在的知識變成一個可認知的、可交流的對象，提高學生的學習效率；在應用基本不等式解決最值問題環節，通過啟發、引導、點撥等方式培養學生思考問題的邏輯性和嚴謹性.

4. 教學過程設計

環節1：借助幾何直觀，抽象概括重要不等式.

問題1：有如圖2所示的兩種廣告牌，圖2（a）由兩個等腰直角三角形構成，圖2（b）是一個矩形. 試用直觀的方法比較這兩個廣告牌面積的大小，并將這種大小關系用含字母[a，b]的不等式表示出來.

追問：將上述不等式中[a，b]的范圍擴充為任意實數，該不等式依然成立嗎？

【設計意圖】借助教材習題，創設問題情境，引導學生利用面積之間的數量關系，抽象出重要不等式，增強學生以形化數、以數化形的意識和能力. 最后讓學生在實數范圍內給出重要不等式的證明，復習鞏固“作差法”.

環節2：創設數學情境，類比探究基本不等式.

問題2：已知矩形的長和寬分別為[a，b]，求作一個正方形.

（1）使其與已知矩形的面積相等，則該正方形的邊長是多少？

（2）使其與已知矩形的周長相等，則該正方形的邊長是多少？

【設計意圖】借助幾何平均數的一個簡單實際應用，創設情境，給學生提供類比探究的平臺. 在獲得基本不等式的過程中，體會重要不等式和基本不等式實際上是一脈相承的. 另外，通過兩者之間的聯系和區別，能夠更加深刻地認識基本不等式的適用范圍、等號成立的條件及其代數結構特征.

環節3：注重推理論證，嘗試證明基本不等式.

問題3：你能用代數法證明基本不等式嗎？

追問：還有其他證明方法嗎？

【設計意圖】基本不等式有很多種證明方法，引導學生從不同角度、使用不同方法證明基本不等式. 學生可能最先想到“作差法”，當然也有學生從重要不等式出發，利用不等式的基本性質，用綜合法給出證明.

環節4：組織小組討論，尋求基本不等式的幾何解釋.

在教師的示范引領下，學生以小組討論的形式探究并展示基本不等式的幾何解釋.

【設計意圖】與從幾何圖形的不等關系中抽象出基本不等式的過程不同，這是已知基本不等式，借助幾何直觀尋求基本不等式的幾何解釋. 在由“數”到“形”的轉化過程中，讓學生從知識獲得、證法探求和幾何解釋等角度再次認識基本不等式. 最后，通過運用符號語言、自然語言和圖形語言三種不同方式表示基本不等式，關注其幾何意義和代數意義，促進學生對基本不等式的深入理解.

教學中最主要的難點是讓學生將基本不等式與幾何圖形中的元素建立聯系，從而將基本不等式與幾何元素的大小聯系起來. 因此，在討論前，先借助數學史中有關基本不等式的素材，如趙爽弦圖、古巴比倫泥版上的“和差術”、歐幾里得《幾何原本》中兩條線段幾何中項的作圖法等啟發學生展開討論. 從實際教學來看，學生的思維是非常活躍的，給出了很多意想不到的幾何解釋. 有的學生從趙爽弦圖中得到啟發，從大正方形中四個全等的直角三角形的面積與大正方形面積的比較中得到結果；有的學生從二次函數的性質出發，利用二次函數圖象中點的坐標關系得到結果；有的學生探究了等圓中半徑與弦長一半的關系，從中得到結論. 還有一個小組的學生利用兩個圓外切，從公切線的角度出發，利用勾股定理完成證明. 在小組討論的基礎上，形成階段性研究成果，并進行成果展示. 通過班級內組與組之間的互評和教師點評，培養學生的批判性思維和創新性思維，讓學生在自主探究和合作交流中獲取結論性知識和過程性體驗，從而有效夯實“四基”、培養“四能”.

環節5：設計證明問題，簡單應用基本不等式.

例" 已知[agt;0，bgt;0，cgt;0]，求證：[a+b+c≥][ab+bc+ac].

練習：已知[xgt;0]，求[x+1x]的最小值.

【設計意圖】例題的安排實際是給出了基本不等式的應用，即利用基本不等式證明其他不等式；而練習題則是利用基本不等式求最值，為后續學習作鋪墊.

四、幾點思考

1. 研讀課程標準，深挖教材資源

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）為數學教學指明了方向，而教材為核心素養的落地生根提供了載體. 特別是教材中的閱讀材料、思考交流等都為研究方法和研究路徑提供了豐富的資源. 教師應該多研讀《標準》、深挖教材，對相關資源進行有效整合，這樣就能開闊教學視野，獲得更多教學啟示，加深學生對單元教學內容的理解. 例如，本節課的問題1來源于北師大版《普通高中教科書·數學》必修第一冊第26頁練習的第2題，既減輕了教師創設教學情境的負擔，又與上節課的內容相呼應，還培養了學生的直觀想象素養.

2. 注重知識來源，巧設知識應用

受短視化教學觀念的影響，教師往往只重視知識的應用，而忽略了知識的來源，即知識產生、發展與完善的過程. 例如，本節課中，基本不等式的幾何解釋是教學難點，如果教師在HPM視角下，對歷史知識進行重構，了解單元主題的歷史發展過程，確定歷史發展過程中的關鍵環節，從一個環節發展到下一個環節的動因，以及數學家遇到的困難和障礙，并以此為契機，設計教學活動，將使基本不等式各環節的教學變得自然. 在教學活動中，學生親歷基本不等式的構建及應用過程，既能充分認識探究基本不等式幾何意義的必要性，加深對基本不等式及其應用的理解，又能激發學生學習的興趣和探究的熱情.

3. 明確研究方法，發展核心素養

明確研究的方法和路徑，即明確研究概念、公式、定理等用到的方法是什么，以及教學的路徑是什么. 例如，研究基本不等式一般采用的研究方法是觀察法和分析法，而研究路徑則是“幾何直觀—代數證明—幾何解釋—簡單應用”. 在清楚明線并深入挖掘暗線的過程中，教師要明確具體的研究方法，從而引導學生思考，發展數學核心素養.

4. 梳理問題鏈，實現知識重構

問題鏈在知識重構中發揮著重要的作用. 通過對知識明線的梳理，以及對暗線的深入挖掘，站在學生的角度梳理出有效的問題鏈，在教學中體現學生的主體地位，實現由低階思維到高階思維的轉變. 一方面，問題鏈教學為學生提供了思考的問題，在內容上可以引導學生獲得較為深入的數學知識；另一方面，問題與問題之間的跨度為學生多樣的思維和探索提供了可能性. 厘清明線相對容易，教師一般都能做到，但是只有挖掘出暗線才能加深學生對明線的理解，才能培養學生分析和解決新問題的能力，才能發展學生的數學核心素養. 挖掘暗線是教學的重中之重. 因此，在教學設計過程中，教師既要圍繞明線設計好主要問題，又要圍繞暗線設置好關鍵問題，梳理問題形成問題鏈，實現數學知識的重構，引導學生深入思考，發展高階思維，提升數學核心素養.

參考文獻：

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引用格式：陳剛，羅新兵. 把握教學明線與暗線" 促進素養落地與生根：以“基本不等式”單元整體教學為例［J］. 中國數學教育（高中版），2024（11）：23-27.

基金項目：陜西省“十四五”教育科學規劃2023年度課題——“三新”背景下高中生數學建模素養培育的實踐研究（SGH23Y1804）.

作者簡介：陳剛（1988— ），男，中學高級教師，博士研究生，主要從事課程與教學論研究；

羅新兵（1974— ），男，教授，博士生導師，主要從事課程與教學論研究.