數形結合思想在初中函數教學中的應用

摘 要：運用數形結合思想實施初中數學教學，有利于培養學生的直觀想象、數學建模和數學抽象能力。以“一次函數”教學為例，探討數形結合思想在教學中的應用路徑如下：借助數形結合，分析數量關系；感知坐標模型，實現以數定形；分析模型信息，實現以形探數等。構建初中函數教學中數與形之間的轉化思維，有效提升學生數學實際問題的解決能力。

關鍵詞：初中數學；函數教學；一次函數；數形結合；以數定形；以形探數

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2024）01-0058-04

數與形可直觀反映同一問題的兩方面屬性。“數”指的是運用代數的知識解決問題，“形”指的是利用圖形的性質研究數量關系，數形結合則是指利用數與形之間的聯動、轉化快速解決問題的一種思想。圖形與數字之間存在著緊密的對應關系，以形助數可幫助學生深刻理解抽象的公式概念，以數解形則可促進學生對實際問題的有效解決。數形結合思想構建起數學邏輯與外部世界的聯系橋梁，使其呈現出可視化的應用狀態，容易為學生理解與接受。數學教學中數與形的緊密結合和靈活運用，能夠充分培養學生的直觀想象、數學建模和數學抽象能力，發展學生的數學核心素養。下面，筆者以人教版數學八年級下冊第十九章“一次函數”教學為例，從教學實際出發，通過分析數量關系、建立坐標模型及借助函數圖像解決實際問題三個教學步驟，闡釋數形結合思想在初中函數教學中的應用。

一、借助數形結合，分析數量關系

函數中數與形的轉化，本質上源于數值的規律性變化。一次函數作為發生在集合之間的一種嚴格的對應關系，呈現出獨有的變化規律。用直觀的圖形幫助學生理解抽象的集合關系與變化規律是一種較好的學習方式［1］。一次函數中數形結合的初步應用，則落實在一次函數的函數與自變量之間，即通過函數模型的構建，進行兩個變量間的數量關系分析，以此探尋函數的基本性質。

（一）以形助數，探索題目中的數學規律

初中生在解題的過程中很難通過簡單的文字描述，推理出題目中隱藏的數學規律。因此，教師需要啟迪學生的思維，引導學生通過制表、繪圖的方式將抽象的數學元素、文字描述等轉化為直觀的圖形，進而實現快速解題的目的。如圖1所示例題是初中函數教學中常見的一次函數問題，教師應結合學生的實際學習情況，引導學生利用數形結合思想，探索題干中各類數學元素的規律。

師：同學們仔細閱讀以上三道例題，觀察其中的數量關系，它們有什么共同特點？

生1：在每一組數量關系的描述中，都存在著變化的數量和不變的數量。

生2：因為有不變的數量存在，變化的數量之間存在著某種變化規律。

師：你應如何將這種變化規律描述或表達出來？

生2：可以用列表的方法，進行結果對比。

教師以問題為導向，為學生提供一個比較清晰的思考方向，引導學生通過自我思考掌握正確的解題思路。學生會聯想到以圖表的方式探索題干中各類數學元素的規律，借用圖表的直觀性感悟抽象的數、數量及數量關系。

（二）實踐操作，掌握數形結合的方法

學生提出列表的解題方法后，教師可引導學生主動實踐探索。于是學生將例題1中給出的數量關系轉化為表格，運用學過的s=vt計算公式，將路程s隨時間t而變化的一組組數據填寫在表1當中。

師：請同學們觀察表格中的數據，說一說自己的發現。

生1：表格中時間每增加1小時，路程便隨之增加60千米。

生2：路程的變化與時間的變化相互關聯，形成一一對應關系，表格中數據變化有規律。

師：這一變化規律在表格中的呈現是否存在局限性？

學生再次觀察表格中的數據經過思考后發現：盡管表格展示了時間與路程的對應關系，但存在局限性。表格無法列出所有的情況，在處理復雜的數量關系問題時，表格呈現的數據結果不便觀察。相較于圖形而言，繪制表格的形式只適合簡單函數的數量對應關系，教師還需循序漸進引導學生利用圖象呈現一次函數的變化規律。

教師提出運用直角坐標系對例題1中的數量關系進行更直觀的呈現，鼓勵學生建立直角坐標系，將表格中的數據轉化為坐標點，如（1，60）、（2，120）、（3，180）……并繪制在直角坐標系中。學生繪制出如圖2所示的圖象，通過圖象直觀呈現例題1中兩個變量之間的函數關系。這種方法不僅可以幫助學生直觀理解路程與時間的函數關系，還可以促進學生對數學圖形與計算公式之間關系的深入理解。

（三）總結規律，幫助學生理解一次函數圖象

以上教學環節中，教師首先引導學生提取題目中的數量關系，形成比文字描述更加直觀的數據表格。學生通過觀察表格中的數據，只能較為籠統地感受簡單函數的變化規律，于是教師引導學生借助直角坐標系，將其轉化為圖象，通過坐標系中點、線與數據的結合，既賦予圖象以數量關系，又將抽象數量關系轉化為具象圖形。教師以數形結合深化學生的理解，引出最為基礎的正比例函數概念，并為后續學習一次函數的一般形式、變式及實際應用做好鋪墊。

接下來，教師要求學生以同樣的方式繪制出例題2、例題3的函數圖象，觀察對比三組函數圖象，并總結出規律。

生1：三組函數圖象在直角坐標系中均呈直線狀態。

生2：圖象中的直線全部都經過原點。

生3：直線的傾斜程度與數量關系中恒定不變的系數有關。

函數作為初中代數部分最為核心的教學內容，對其基本概念的理解與實際應用至關重要。初中函數教學中，教師通常從函數的傳統定義出發，將其描述為數量關系變化，而數形結合則將這一變化進行具象呈現。學生通過數形結合的實踐操作，將抽象的數量關系具象表達為直觀的函數圖象，并從中總結規律：在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么就將x作為自變量，y則為x的函數，兩個變量與數量關系中的系數k形成的等量關系式y=kx（k為常數，k≠0），為正比例函數。

教師將數學理論與實踐操作相結合進行教學，不僅能夠將抽象的數學概念具體化，還能培養學生的空間想象能力和邏輯推理能力，使學生能夠深入地理解數學的本質，有效提升學生的數學學習效果。

二、感知坐標模型，以“數”定“形”

函數及其模型的構建，本質上服務于實際數學問題的解決。數形結合思想下坐標模型的建立，更加方便不同數量關系之間的對比，從而得出結果。在一次函數的概念感知過程中，需以“數”定“形”，通過數形關系的構建，橫向類比，得出結論。

（一）感知數學模型，將求解過程簡單化

經過上一階段的教學后，部分學生已經能夠掌握利用制表、繪圖的方式提煉數量關系去解決實際問題，但還不能熟練應用。因此，教師需要通過課堂練習，引導學生充分感知各類題目中的數學模型，逐漸熟悉、掌握并信賴數形結合思想，以至于在面對實際問題時能夠下意識地利用數形結合思想解答問題［2］。教師在多媒體課件中出示圖3所示課堂練習，要求學生交流討論，探尋解題思路。

學生經過討論后得到以下兩種結果。一部分學生認為應該選擇A旅行社，因為B旅行社要先交1 000元，而A旅行社不需要交。例如，當20人成團時，A旅行社需要花費1 600元，B旅行社需要花費2 200元，因此選擇A旅行社。另一部分學生則認為應該選擇B旅行社，A旅行社只打八折，而B旅行社打六折。例如，當70人成團時，那么A旅行社需要花費5 600元，而B旅行社僅需要5 200元，所以選擇B旅行社更合適。

學生在這一問題的探討上發生了觀點沖突，但都為自己的觀點舉出了相應的佐證實例。在題目解析過程中，教師可以有意識引導學生運用表格對比解決上述問題。學生在對前置教學環節進行簡單回憶后，將課堂練習題中的數量關系轉換為表格的形式，整理結果如表2。學生觀察表格發現，在成團人數到達50人之前，A旅社的費用低于B旅社，而成團人數超過50人的情況下，B旅社的費用更低，實際問題的解決需要以具體數值為依托來得出結論。但表格的數量表達方式計算量較大，學生想到了運用數形結合的思想方法來解決問題。

（二）建立坐標模型，優化解題方法

學生指出，由于每個旅行社的計費方式是固定的，而變化的因素是參團學生的人數和最終的費用，因此可以建立一個函數模型。在這個模型中，學生人數是自變量x，成團費用是因變量y。假設夏令營的參團人數為x，按A旅行社計費條件，則應付費用y=80x，按B旅行社計費條件，則應付費用y=60x+1 000。接下來，學生將這兩個函數解析式繪制成如圖4所示圖象來進行直觀比較。

師：我們觀察函數圖象，可以發現兩條直線在坐標（50，4 000）處交匯，據此可以得出怎樣的結論？

生：當夏令營成團人數為50人時，選擇A、B兩家旅行社所需費用一樣；當成團人數小于50人時，選擇A旅社費用更少；當成團人數大于50人時，選擇B旅社費用更少。

師：同學們能否將兩個函數解析式進行結合，同時考慮自變量x的取值范圍，將函數圖象進一步簡化？

將兩個函數解析式進行結合對于學生來說有一定的難度。此時，教師引導學生通過對A、B旅行社成團費用差值進行分析，形成新的函數解析式，即y=y1-y2=80x-（60x+1 000），最后簡化為y=20x-1 000，并據此繪制出函數圖象，如圖5所示。學生通過分析圖象可知，當x=50時，y=0，則y1=y2，說明A、B旅行社所需費用相等；當x＜50時，y＜0，即y1＜y2，表示A旅行社成團費用更低；當x＞50時，y＞0，即y1＞y2，表示B旅行社成團費用更低。

教師通過疊加問題的形式，引導學生將實際問題抽象為數量關系，初步將其呈現在表格中，通過方法上的重復鞏固思維模式。隨后將表格進一步抽象為解析式，并將兩個解析式的函數圖象繪于同一直角坐標系中，方便對比，有所發現。學生通過觀察圖象，充分理解兩個圖象中交點的含義，能夠通過圖象分析出不同自變量下兩種方案結果的不同。最后，教師通過變式啟發，引導學生進一步深入理解函數圖象的變化與其實際意義之間的關聯，完成對數形結合的多層次理解。

三、實現模型應用，以“形”探“數”

完整的數形結合思想在初中函數教學中的應用還需完善逆向思維教學。學生不僅要掌握以“數”定“形”方法，還要掌握從函數圖象中提取數據信息的技巧，將具象圖形抽象為函數解析式，并通過運算解決實際問題。

（一）通過圖形提取數學信息

除了利用圖形表達數量關系外，在圖形中探索數量元素，進而整理數量關系也是數形結合思想的主要內容之一［3］。為進一步提升學生的抽象思維能力，教師在開展一次函數教學活動的過程中，應積極借助含有一次函數圖形的題目，引導學生在觀察圖形的過程中整理其中的數量關系，進而解答問題［4］。教師出示圖6所示的圖象信息題，讓學生以“形”探“數”，通過圖形提取數學信息。

學生通過觀察函數圖象，得到以下信息。

生1：我認為l1代表巡邏船B，l2代表可疑船只A。因為巡邏船B是從黃巖島海岸出發，因此其初始距離y1為0，函數圖象應當經過直角坐標系原點。

生2：從發現可疑船只A開始計時，l1經過直角坐標系原點，l2經過直角坐標系5海里這個點，所以兩船最初相距5海里。

生3：通過l1、l2的斜率可以知道，巡邏船B的速度比可疑船只A的速度快。

（二）圖象抽象為函數解析式，實現模型應用

數式與圖象均為信息的載體，如何實現信息的有效提取與轉化，是數形結合教學實踐中需要解決的核心問題［5］。教師先讓學生結合函數圖象提取相應信息，得出數量關系，而后進行問題拓展，引導學生利用已知信息解決實際問題，將圖象抽象為函數解析式，實現模型應用。

師：那么在函數圖象呈現出怎樣的狀態時，巡邏船B能夠追上可疑船只A，同學們能否通過已知條件將這一時間點求出？

生：當直角坐標系中l1、l2相交時，說明兩船在同一時間行駛至相同點，此時兩船相遇。

師：那么應該如何計算呢？

生：根據題目中給出的自變量與因變量關系，分別為A、B兩船的行駛路徑建立函數關系式y1和y2。根據函數圖象信息，可設y1=k1x+5，y2=k2x，選擇坐標系相應直線的坐標數據代入，可求得k1、k2的值，得出y1、y2的函數解析式，而后將y1=y2作為等量關系條件，從而轉化為關于x的方程，進而求出x的值，即為兩船相遇的時間。

學生能夠理解兩個函數圖象在直角坐標系中相交的實際含義，才能夠根據已知條件總結出y1=y2的等量關系，并據此求得兩船相遇的時間。數形結合中的逆向思維呈現為具象化的以“形”探“數”，培養學生抽象數學與直觀想象能力，并促成其有效轉化。

綜上，數與形實質上是數學問題應用與解決的兩個不同維度，兩者的結合使抽象與具象兩條思維路徑實現有效對接，能夠通過數式與圖形之間的信息轉化，更加便捷、高效地解決數學問題。在教學過程中，教師通過數式的抽象形變，引導學生總結繪制出函數圖象，以此明確一次函數的數量關系、解析式和圖象性質；而后以“數”定“形”，引導學生深刻感知坐標模型，明確函數圖象中每個元素的實際含義；最后以“形”探“數”，引導學生從圖形中提取信息，將其轉化為抽象函數解析式，以逆向思維完成整體數形結合邏輯閉環，進一步提升學生的數學思維能力。

參考文獻

［1］何銘.突顯數形結合思想架構章節拓展專題：以“一次函數與平行四邊形”為例［J］.數理化解題研究，2022（26）：44-46.

［2］高三兵.初中數學教學中數形結合思想的應用價值分析［J］.新課程，2021（39）：94.

［3］錢紅娟.數形結合：給思維展翅的機會：以“一次函數”的教學為例［J］.基礎教育論壇，2021（10）：88-89.

［4］羅強華.巧用幾何方法解一次函數應用題［J］.中學數學教學，2021（1）：62-64.

［5］徐艷.數形結合思想在一次函數教學中的融合［J］.數理化解題研究，2020（35）：30-31.

（責編 韋榕峰）

作者簡介：覃仕山，1976年生，廣西大化人，本科，高級教師，研究方向為初中數學教學。