“種瓜得瓜，種豆得豆”

賴學李

【摘要】本文從一類主從聯動最小值問題出發，探究從動點的運動軌跡，由軌跡得到這類問題的最小值，從而生成“瓜豆原理”，通過對模型的分析和證明，給出兩種廣泛的運用——“直線型”和“曲線型”.

【關鍵詞】初中數學；最小值問題；瓜豆原理

1? 模型建立與證明

例1? 如圖1所示，M為直線BC上的一動點，A為一定點，取動線段AM的中點N，證明：N的運動軌跡為直線.

證明? 如圖2所示，當M運動到M′時，N運動到N′，

則NN′為MM′的中位線，

根據中位線的性質得NN′∥MM′，

由于M的運動軌跡即為直線BC，

則N的運動軌跡為NN′所在的直線，得證.

注意? （1）圖1中，M，N均為動點，N隨M的運動而運動，故把M叫主動點，N叫從動點.

（2）類似地推廣，當主動點的運動軌跡為圓時，從動點的運動軌跡也是圓；（3）利用“瓜豆”模型解決問題的基本步驟可歸納為：①尋找“瓜豆”三點——兩動一定（能準確區分主、從動點）；②驗證“兩個條件”；③構造“相似”或全等，確定從動點的運動軌跡；④定性計算.

模型總結? 平面中，如果兩動點到某一定點距離之比為定值，且兩動點分別與該定點的連線的夾角為定角，則主、從動點的軌跡相同，且軌跡圖形的大小之比為該定值，這個模型通常叫做“瓜豆原理”.

2? 模型的應用

2.1? 直線或線段型

例2? 如圖3所示，△ABC和△ADE均為直角三角形，其中∠C=∠E=90°，∠B=∠DAE=30°，點D在邊BC上運動，且AC=4，則點E的運動路徑長為.

解? 如圖4，以AC，AB為斜邊作Rt△ACE′，Rt△ABE″，

且使得：∠CAE′=∠BAE=30°，

連接E′E″，則E′E″即為點E的運動軌跡的長度.

因為Rt△ABE″中，∠BAE=30°=∠ABC，

而∠AE′C=90°=∠CAE″，

所以△CAE′∽△CE″A，

所以∠AE″E′=∠CAE′=30°

因為∠E′AE″=60°，

所以∠AE′E″=90°，

所以∠AE′C+AE′E″=180°，

所以C，E′，E″三點共線，

故AB=CE″=2AC=8，CE′=12AC=2，

所以E′E″=6，得解.

2.2? 圓或圓弧形

例3? （2018·江蘇南通）如圖5，正方形ABCD中，AB=25，O是BC中點，點E是正方形內一動點，OE=2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DF，連接AE，CF，則OF最小值為．

解? 如圖6，連接OD，將OD繞點D旋轉90°得O′D，連接O′F，再分別以O，O′為圓心，OE，O′F為半徑作圓，連接OO′.

由旋轉得：DE=DF，DO=DO′，∠ODE=∠O′DF=90°，

所以△DOE≌△DO′F（SAS），

所以OE=O′F，所以F的軌跡為以O′為圓心，O′F為半徑的圓，

所以當F運動到OO′上時，OF最小，

因為OD=O′D，∠ODO′=90°，

所以△ODO′為等腰直角三角形，

在Rt△OCD中，CD=25，OC=5，

所以OD=OC2+CD2=5，

所以OO′=2OD=52，

所以（OF）min=OO′-OF=52-2.

2.3? 函數綜合型

例4? （2020·江蘇宿遷）如圖7，Q是直線y=-12x+2上的一個動點，將Q繞點P（1，0）順時針旋轉90°，得點Q′，連接OQ′，則OQ′的最小值為.

解? 如圖8，設y=-12x+2與坐標軸分別交于點M，N，

則M（0，2），N（4，0），

當點Q運動到點N時，則Q′到點A，而P（1，0），

所以PN=PA=3，故A（1，-3）；

同理，當點Q運動到Q″時，即PQ″∥y軸時，Q′運動到點B，

則xQ″=xP=1，代入y=-12x+2，

得yQ″=32，

所以PQ″=32=PB，故B52，0；

則Q′的軌跡為AB，過點O作OG⊥AB，則OG為OQ′的最小值.

而由A（1，-3），B52，0，

所以AB：y=2x-5，則該直線與y軸的交點H（0，-5），

由等面積法，求得OG=5，得解.