一道初中函數解析式問題的多維解析

黃世海

【摘要】在初中數學中，學生對于函數還只有基本的理解，常見的函數有一次函數、二次函數等.一般來說，函數類題目重在對二次函數定義及其應用的考查.此外，還需要學生掌握常見的函數處理技巧，并能夠內化其中的數學思想方法.本文從多個角度探究一道函數解析式問題的解法，以供參考.

【關鍵詞】初中數學；函數；解析式

題目? 已知二次函數圖象的頂點為（2，4），且它的圖象與x軸交于點（1，0），求這個二次函數的解析式.

問題分析? 此題給出了二次函數的頂點，這不僅意味著確定了函數的對稱軸，還得到了函數的最值（可能是最大值也有可能是最小值），在求解時可從此條件出發，再結合它的圖象與x軸交于點（1，0）這一條件解出所設解析式中的未知數，即可得到該二次函數解析式.

角度1? 設它的解析式為y=ax2+bx+c，則由已知可得a+b+c=0，再由頂點坐標公式可得含a，b，c的另兩個方程，從而建立方程組，求得a，b，c的具體值.

解析? 設這個二次函數的解析式為y=ax2+bx+c，

因為該二次函數圖象的頂點為（2，4），

所以可得－b2a=24ac－b24a=4，

即b=－4a4ac－b2－16a=0，

又因為它的圖象過點（1，0），

則代入得a+b+c=0.

結合b=－4a可得c=3a，

將b=－4a，c=3a代入4ac－b2－16a=0，

整理得a（a+4）=0，

因為a≠0，

所以a=－4，將其代入b=－4a，c=3a，

可得b=16，c=－12，

于是這個函數的解析式為

y=－4x2+16x－12.

此方法利用的是二次函數解析式的基本形式，在運算上可能較為復雜，先是由基本形式的已知的結論代入頂點坐標，解得未知數的值，再利用圖象過頂點的方式轉而得到另一等式，即可得到解析式.

角度2? 設所求的二次函數解析式為y=ax2+bx+c，則由它的圖象經過點（2，4）和（1，0）以及其對稱軸為直線x=2，可建立a，b，c的一次方程，從而求出a，b，c的值.

解析? 設這個二次函數的解析式為y=ax2+bx+c，

因為直線x=2是這個函數圖象的對稱軸，

所以－b2a=2，即b=－4a，

由這個函數的圖象過點（2，4）和（1，0），

可得4a+2b+c=4，a+b+c=0，

解得a=－4，b=16，c=－12，

于是所求的二次函數解析式為y=－4x2+16x－12.

角度2? 同樣利用的是二次函數解析式的基本形式，與角度1不同的是，其利用了對稱軸和與x軸交于點（1，0）解出了另一交點，三點即可確定二次函數的解析式.

角度3? 已知二次函數圖象的頂點坐標為（m，n），可設其解析式為y=a（x－m）2+n，此時只需要由另一個已知條件確定a的值即可.

解析? 由已知可設這個二次函數的解析式為y=a（x－2）2+4，它的圖象經過點（1，0），

所以a（1－2）2+4=0，

從而得到a=－4，

所以所求的二次函數解析式為y=－4（x－2）2+4，

即y=－4x2+16x－12.

角度3利用了已知二次函數圖象的頂點坐標，可以設二次函數的頂點式的結論，結合題目中的另一條件直接解得二次函數解析式，此角度最為簡單，但是需要學生記住已知結論.

角度4? 如圖1所示，由二次函數圖象的對稱軸和與x軸的一個交點（x1，0）可確定圖象與x軸的另一個交點（x2，0），從而可以設函數的解析式為y=a（x－x1）（x－x2），再由頂點坐標即可求出a的值.

解析? 由已知可得函數圖象的對稱軸是直線x=2，因為圖象與x軸的一個交點為（1，0），由對稱性可知，它與x軸的另一個交點為（3，0），

從而設這個函數的解析式為y=a（x－1）（x－3）.

因為函數圖象過點（2，4），所以代入求得a=－4.

于是所求的二次函數解析式為y=－4（x－1）（x－3），

即y=－4x2+16x－12.

此方法利用的是二次函數的兩個與x軸的交點所能夠設的解析式的結論，同樣需要學生理解并熟練運用.

結語

上述4種角度雖在方法和解題順序上有所差異，但本質上都是相同的，都是遵循著先設解析式，再利用題目條件解出解析式的具體值.在實際的解題過程中，根據問題的具體條件，選擇合適的解析式，可以提升解題的速度，同時在平時做題的過程中，要善于總結歸納各種條件所能夠設的解析式的形式.

參考文獻：

［1］魏敬源.淺談初中數學二次函數解析式的解題方法和技巧［J］.數學之友，2022，36（05）：95-97.

［2］鄭子飚.初中數學解題方法和技巧研究——以二次函數解析式為例［J］.新課程導學，2023（14）：56-59.

［3］陶千春.求解反比例函數解析式的方法例析［J］.數理天地（初中版），2022（12）：4-5.