“三招”妙解斜三角形內角大小問題

姜秀萍

【摘要】三角形是初中平面幾何問題中最為基本的一個圖形，除了特殊的等腰三角形、直角三角形，斜三角形也是一類常考的三角形.三角形問題一般聚焦于研究三角形的角和邊的大小，綜合性較強，涉及平面幾何知識和銳角三角函數定義等.本文以一道斜三角形內角大小問題作為典型例題，探討以下幾種解法，以供參考.

【關鍵詞】初中數學；斜三角形；三角函數

對于斜三角形問題，因為其并不特殊，所以可以嘗試構造直角三角形或者等腰三角形這一類特殊的三角形來解決.同時還要能夠理解并運用一些基本的銳角三角函數值來進行計算.一般來說，合理構造垂線，在多個直角三角形內研究，最后歸納總結，即可得到問題的答案.

題目? 如圖1所示，P為△ABC的邊BC上的一點，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB.

圖1

解法1? 三角形外部延長構造

解析? 如圖2所示，作點C關于直線AP的對稱點D，連接PD，AD，連接BD并延長至點E，

則DP=CP=2BP，∠DPB=180°－∠APC－∠APD=60°，點A到PD，BC的距離相等.

所以△DPB是斜邊為2，直角邊為1的直角三角形，

所以∠DBP=90°.

因為∠ABP=45°=12∠DBP，

所以BA平分∠CBD，則點A到BC，BE的距離相等.

所以點A到PD，BE的距離相等，則DA平分∠PDE，

∠ADP=12×（180°－30°）=75°，

則∠ACB=∠ADP=75°.

在三角形外部構造可以讓圖形更加清晰，便于解決，而延長構造時一般是選擇某一條線段的長度為基準，在構造完成之后，要達到可以得到全等或者相似三角形的效果或者是可以得到一個直角三角形，然后在其中求解.

解法2? 三角形內部構造垂線

解析? 如圖3所示，過點C作AP的垂線CD，垂足為點D，連接BD.

在△PCD中，∠APC=60°，

所以∠DCP=30°，PC=2PD.

因為PC=2PB，

所以BP=PD，

則△BPD是等腰三角形，

∠BDP=∠DBP=30°.

因為∠ABP=45°，

所以∠ABD=15°.

因為∠BAP=∠APC－∠ABC=60°－45°=15°，

所以∠ABD=∠BAD=15°，

則BD=AD.

因為∠DBP=45°－15°=30°，∠DCP=30°，

所以BD=DC，所以△BDC是等腰三角形.

因為BD=AD，

所以AD=DC.

因為∠CDA=90°，

所以∠ACD=45°，

所以∠ACB=∠DCP+∠ACD=75°.

在內部構造垂線，可以將條件聚焦.作垂線得到三角形的高，就可以考慮從面積方面或者是用勾股定理來解決.此方法的本質是“化斜為直”將原本難以求解的斜三角形轉化為多個直角三角形求解.然后將內角的大小通過各三角形角度之間的關系求解出來即可.但是在題目較為復雜時，圖形可能不如外部構造清晰.

解法3? 利用銳角三角函數

解析? 如圖4所示，過點A作AH⊥BC于點H，

則∠AHP=90°.

因為∠APH=60°，

所以AH=PH·tan∠APH=3PH.

在Rt△ABH中，∠ABH=45°，

所以BH=AH=3PH，

BP=BH－PH=（3－1）PH，

PC=2BP=（23－2）PH.

在Rt△AHC中，

tan∠ACH=AHHC=3PH（23－3）PH=2+3，

所以∠ACB=75°.

初中數學中對于銳角三角函數的要求不高，只需要學生掌握基本的定義，能夠知道一些特殊角的三角函數值即可.在構造出直角三角形之后，通過將角或者邊的大小利用三角函數和題目已知條件表示出來，即可求解.

結語

以上三種方法從不同的角度解決了這道斜三角形求解內角大小的問題.總的來說，解答此類問題的關鍵就是構造出合適的直角三角形.斜三角形問題綜合性較強，考查頻率較高，這就要求學生不僅需要理解并鞏固所學知識，還要有合理構造輔助線的能力.學生要在平時練習時，實際的例題時，不斷總結經驗，提高解答三角形類問題的水平.

參考文獻：

［1］蔣敏.“化斜為直”巧解斜三角形［J］.初中生世界，2023（Z3）：84-85.

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