借助整體思想，促進初中數學解題教學

崔娟 王彪彪

【摘要】在初中數學教學中，解題訓練環節不容忽視，是鍛煉學生解題能力的重要途徑，關系到學以致用能力的發展，不過有的題目比較特殊，僅依靠常規方法很難求解，教師可指導他們借助整體思想，使其形成簡便的解題思路，促進解題教學質量的提高.筆者據此展開探討，并列舉部分解題案例.

【關鍵詞】整體思想；初中數學；解題教學

整體思想，就是從問題整體角度出發，分析與改造問題的整體結構，找到問題的整體結構特征，將題目中的一些式子或者圖形視為一個整體，把握好彼此之間的聯系，繼而展開有意識、有目的的整體處理.

1? 借助整體代入法解決數學題目

整體代入即在解題中，學生結合題目條件和結論先選擇一個代數式作為整體，再對所求式子展開化簡或變形，最后將代數式整體代入到原式中，從而達到順暢解題的目的.在初中數學解題訓練中，整體代入法通常用來處理代數式化簡或者求值類試題，當碰見此類數學試題時，教師可引導學生借助整體代入法對先整合題目中的式子，再代入與求值，逐步提高他們的解決數學試題水平［1］.

例1? 假如a=4+3，b=4－3，請求aa－ab－ba+b的值.

分析? 解決本道題目時，如果直接將a、b的值代入到原式中求解，計算起算相當繁瑣，但是能夠將a、b兩個式字進行適當改進，再整體代入到原式中求解，產生化繁為簡的效果.

詳解? 因為a=4+3，b=4－3，

所以a+b=8，a－b=23，

則原式aa－ab－ba+b

=（a）2a（a－b）－ba+b

=aa－b－ba+b

=a（a+b）－b（a－b）（a－b）（a+b）

=a+ba－b=823=433，

所以aa－ab－ba+b的值是433.

2? 借助整體設元法解決數學題目

助整體設元法來處理部分題目，結合算式特點展開整體設元，通過新的量將題干中的原式或者原式的一部分來替代，巧妙進行等量代換，實現減少運用量的效果，讓他們學會簡化運算過程.

例2? 已知a1，a2，a3……a2009都為正數，

設M=（a1+a2+a3+…+a2008）×（a2+a3+a4…+a2009），

N=（a1+a2+a3+…+a2009）×（a2+a3+a4…+a2008），

請問M和N誰大？

分析? 在這一題目中，很難直接對M和N的大小關系進行比較，但是通過閱讀題目內容以后發現M和N式子的每個括號中均含有一樣的項，可借助整體思想解題，采用整體設元的方法來求解.

詳解? 設a1+a2+a3…+a2008=x，a2+a3+a4…+a2008=y，

所以a－y=a1>0，

M－N=x（y+a2009）－（x+a2009）y

=xy+xa2009－xy－ya2009

=a2009（x－y）>0

所以M>N，即為M比N大.

3? 借助整體合并法解決數學題目

在初中數學解題教學中，代數類題可將一些代數式、方程式或者不等式展開合并，合并之后通常往往能夠進行湊整或者消元，這一整體思想即為常見的整體合并.初中數學教師可引導學生根據實際情況借助整體合并的方法解決部分含有代數式、方程式、不等式或者的題目，使其結合解題需要合理就那些整體處理，把問題變得更為簡潔，讓他們順暢的解題［2］.

例3? 已知a，b，c都為常數，x，y是任意實數，A=（a－b）x+（b－c）y+（c－a），B=（b－c）x+（c－a）y+（a－b），C=（c－a）x+（a－b）y+（b－c）C，證明：A，B，C既不能均為正數，也不能均為負數.

分析? 解決本題時，如果采用常規方法要用到分類討論思想，對a，b，c這三個常數的正負情境進行分類討論，但是x，y是任意實數，并非固定數，顯得難度更大，不翻譯繼而采用整體合并法進行解題，將A，B，C這三個式子進展開整體合并，就能夠輕松證明結論.

詳解? 根據題意A+B+C化簡后可得

ax－bx+by－cy+c－a+bx－cx+cy－ay+a－b+cx－ax+ay－by+b－c=0

隨后采用反證法，如果結論不成立，即為A，B，C同號，

假如均為正數，則A+B+C>0，假如均為負數，則A+B+C<0，

均與已知條件存在沖突，所以A，B，C既不能均為正數，也不能均為負數.

4? 借助整體配湊法解決數學題目

整體思想中“配湊”就是采用適當的“拼”或者“湊”的方法，把試題變得清晰明了，降低題目的解題難題，一般來說，“配”和“湊”是互為補充、相互依托和相輔相成的，通過配湊通常可達到事半功倍的解題效果.

例4? 已知a+2b+3c=12，a2+b2+c2=ab+bc+ac，請求a+b2+c2的值.

分析? 要想求出該式子值，就需把a，b，c的值給求出來，但是采用常規方法很難實現，通過對第二個等式的研究發現能夠利用整體配湊法，找出a，b，c的關系，再借助第一個等式就能夠求出a，b，c的值.

詳解? 因為a2+b2+c2=ab+bc+ac，

所以2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ac=0，

整理后得到（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2=0，

所以（a－b）=c，

將（a－b）=c代入到a+2b+3c=12，

可得a=b=c=2，

所以a+b2+c2=2+4+4=10，

即為a+b2+c2的值是10.

5? 借助整體補形法解決數學題目

對于初中數學幾何解題訓練來說，因為試題中通常會搭配圖形，解決此類試題的關鍵點就是將一些非特殊或不規則的圖形視作一個整體，再添加相應的輔助線補充成整體圖像，顯得特殊化或規則化，以此有效降低題目的解答難度，部分隱性條件也變得顯性化，有助于學生迅速確定切入點，促使他們能夠借助整體補形法完成題目解答［3］.

例5? 如圖1所示，在三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BM為中線，過頂點A作BM的垂線AD同BC相交于點D，同BM相交于點E，證明：∠AMB=∠DMC.

詳解? 將三角形ABC補成一個以BC為對角線的正方形ABGC，

延長AD同CG相交于點F，

因為在三角形ABC中∠BAC=90°，

所以∠ABM+∠AMB=90°.

因為AE⊥BM，所以∠EAM+∠AMB=90°，

所以∠ABM=∠EAM，

又因為AB=AC，

所以RtΔABM≌RtΔCAF，

所以FC=AM=MG.

因為點F與點M關于BC對稱，

所以∠DFC=∠DMC

又因為RtΔABM≌RtΔCAF

所以∠AMB=∠DFC，所以∠AMB=∠DMC.

6? 總結

在初中數學教學活動中，教師既要關注基本理論知識與常規運算技巧的講授，還需注重數學思想的滲透，為學生在解題中更好的應用數學思想做鋪墊，使其根據具體題目內容充分借助整體思想的優勢展開解題，讓他們找到簡潔的解題方法，不斷提升個人數學解題水平.

參考文獻：

［1］魏爽.整體思想在初中數學解題中的妙用［J］.數理天地（初中版），2022（17）：87-88.

［2］沈小軍.整體思想在初中數學解題中的妙用［J］.語數外學習（初中版），2020（12）：19-20.

［3］姜華文.淺談整體思想在初中數學解題中的應用［J］.數學教學通訊，2020（11）：63-64.