一類中考題的解法探究

趙悅 楊澤恒

【摘要】二次函數是初中數學的重要內容.拋物線與四邊形等幾何圖形結合，常出現已知兩個定點及拋物線上或與拋物線相關的直線上的動點，求與這三點構成特殊四邊形的第四個點這類題目.這類題目是培養學生直觀想象和邏輯推理等數學核心素養，提高綜合解決問題能力的好載體，中考也常聚焦這類問題.但這類問題有一定的開放性，圖形的不確定導致邏輯推理素養弱的學生無從下手，或遺漏結果.這就要求教師在教學過程中應幫助學生先從特殊到一般，從不同省市中考題中抓住這類試題的共同特性，找到解題思路及一般方法；再從一般到特殊，根據具體題干信息及考查內容，分別作答.

【關鍵詞】初中數學；二次函數；解題教學

1? 二次函數與平行四邊形結合

已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象過點（－1，0），且對任意實數x都有4x－12≤ax2+bx+c≤2x2－8x+6.

在第（1）問求出二次函數的解析式：y=x2－2x－3及點A，C坐標分別為（3，0）和（0，－3）的基礎上我們重點關注第（2）問的解題思路.

第（2）問：若二次函數圖象與x軸正半軸交點為A，與y軸交點為C.點M是二次函數圖象上的動點.在x軸上是否存在點N，使得以A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？

解題思路? M點的動及點N的不確定性，使問題顯得似乎不確定.點A是確定的已知點，較為自然的方法是從已知確定點A出發，按A與其他3個平行四邊形的頂點的關系依次分類，有3種情況，即AM為對角點、AC為對角點、AN為對角點.以上分類使不確定的情況變成每一種確定的情況，從而能分別對確定的圖形求點N.

方法一? 教師在教學過程中應幫助學生明確點A是已知點.引導學生根據已知點與其余點的關系，即按點A與其他3個平行四邊形的頂點的關系依次分類，在正確分類基礎上抓住平行四邊形的對角線的交點為對角線的中點特征求解.

解? 設點M坐標為（m，m2－2m－3），點N坐標為（n，0）.

如圖1，當AM為對角點（非相鄰點）時，

由平行四邊形的對角線的交點為對角線的中點和中點坐標公式得：

xA+xM=xc+xNyA+yM=yC+yN，

即3+m=0+n0+m2－2m－3=－3+0.

解得m1=0（舍），m2=2.

所以n=5，即N1（5，0）.

如圖2，當AC為對角點時，

xA+xC=xM+xNyA+yC=yM+yN，

即3+0=m+n0－3=m2－2m－3+0.

解得m1=0（舍），m2=2.

所以n=1，即N2（1，0）.

如圖3，當AN為對角點時，

xA+xN=xC+xMyA+yN=yC+yM，

即3+n=0+m0+0=－3+m2－2m－3.

解得m1=1+7，m2=1－7.

所以n=7－2或－2-7.

所以N3（7-2，0），N4（-2-7，0）.

綜上所述，N點坐標為N1（5，0） 、N2（1，0）、N3（7-2，0）、N4（-2-7，0）.

方法二? 教師引導學生以所求點N與定點A為平行四邊形相鄰點或非相鄰點（對角點）分類，并抓住平行四邊形對邊平行且相等這一特征求解.并將兩種解題方法對比分析，體會兩種方法中共同蘊含的分類思想及不同的知識點.

變式動點的條件，相應考慮矩形、菱形等特殊平行四邊形也是中考中常出現的考題.

2? 二次函數拋物線與矩形結合

在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2x+c（a≠0）與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，連接BC，OA=1，對稱軸x=2，點D為此拋物線的頂點.

在求出拋物線解析式及點B，C坐標的基礎上重點關注第（4）問.

第（4）問：點P在拋物線對稱軸上，平面內是否存在點Q，使以點B，C，P，Q為頂點的四邊形為矩形？請直接寫出點Q的坐標.

解題思路 ?第（4）問中的動點變為在對稱軸上的P點，同樣點P的動及點Q的不確定性，使問題具有開放性，需要通過分類將整個問題的不確定性，變為每一類的確定性.由已知確定的頂點C與其他3個頂點B，P，Q的關系進行分類，或者利用定點C與動點Q為對角點或者相鄰點的位置關系，進行分類.

方法一? 分類后抓住矩形對角線中點的特征求解.

方法二? 抓住矩形對邊平行和鄰邊垂直的特征.引導學生從不同的角度分析.

為鞏固分類思想和解題方法，兩題都可將求x軸上的點變為求y軸上的點，進一步還可變為求其他特殊直線上的點.

3? 二次函數拋物線與菱形結合

拋物線y=12x2+2x－6與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，連接AC，BC.

在解決第（1）問的基礎上重點關注第（2）問.

第（2）問：點P是直線AC下方拋物線上的一個動點，過點P作BC的平行線l，交線段AC于點D.試探：在直線l上是否存在點E，使得以點D，C，B，E為頂點的四邊形為菱形？

解題思路? 通過點P得到的點D隨著P動而動，因而也需要通過已知確定的頂點B與其他點的關系進行分類，再抓住菱形臨邊相等的特征求解.

由已知條件，點B只能分別與點D、點E為對角點.據此再分別求解即可.