結(jié)構(gòu)生長(zhǎng)：思維從“分化”走向“融合”

丁洪

［摘 要］對(duì)于同一個(gè)測(cè)量對(duì)象，周長(zhǎng)和面積“和諧共生”，同時(shí)存在，不可分割。但是，周長(zhǎng)具有“一維”的空間特質(zhì)，面積具有“二維”的空間特質(zhì)，兩者的結(jié)構(gòu)“合而不同”，本質(zhì)有別，不可忽視。因此，教學(xué)將兩者放在同一對(duì)象、同步研究和同時(shí)對(duì)比，有助于學(xué)生的思維從分化、回避、漠視漸進(jìn)為融合、正視、聚焦，更好地生長(zhǎng)出相關(guān)的概念、判斷和推理能力。

［關(guān)鍵詞］結(jié)構(gòu)對(duì)比；思維融合；空間觀念；數(shù)學(xué)化

［中圖分類(lèi)號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）08-0001-04

周長(zhǎng)和面積是測(cè)量專題教學(xué)的兩個(gè)重要內(nèi)容。事實(shí)上，物體表面的周長(zhǎng)和面積同時(shí)存在，如數(shù)學(xué)書(shū)封面一周邊線的長(zhǎng)就是它的周長(zhǎng)，數(shù)學(xué)書(shū)封面的大小就是它的面積；封閉平面圖形的周長(zhǎng)和面積兼而有之，如長(zhǎng)方形一周邊線的長(zhǎng)就是它的周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形內(nèi)部的大小就是它的面積。應(yīng)該說(shuō)，對(duì)于同一個(gè)測(cè)量對(duì)象而言，周長(zhǎng)和面積顯然“和諧共生”，不可分割，但是它們明顯“合而不同”。

考慮“怎么教”之前首先要考慮“教什么”。就周長(zhǎng)和面積而言，先教周長(zhǎng)，后教面積，是現(xiàn)行大部分教材編排的選擇。從知識(shí)本位角度看，這樣的編排遵循了知識(shí)的內(nèi)在邏輯，它較為理性地從“一維的線”逐步過(guò)渡到“二維的面”，專題教學(xué)似乎試圖通過(guò)時(shí)間差，努力實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的個(gè)別強(qiáng)化和穩(wěn)步推進(jìn)，線性處理的痕跡一覽無(wú)余。但是，從學(xué)生本位角度看，這樣的編排有人為割裂之嫌，一方面它忽視了知識(shí)的整體建構(gòu)，使得周長(zhǎng)的教學(xué)對(duì)面積“視而不見(jiàn)”，面積的教學(xué)也對(duì)周長(zhǎng)“避而不談”，學(xué)生獲得的只是單個(gè)的知識(shí)點(diǎn)，而非是對(duì)測(cè)量對(duì)象的結(jié)構(gòu)把握；另一方面它忽視了學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，因?yàn)樾W(xué)生空間觀念的建立存在特殊性，根據(jù)“混而不錯(cuò)”的現(xiàn)實(shí)路徑，學(xué)生完整經(jīng)歷的是體、面、線、面、體的體驗(yàn)過(guò)程，進(jìn)一步說(shuō)，學(xué)生對(duì)面積大小的感覺(jué)要比對(duì)周長(zhǎng)長(zhǎng)短的感覺(jué)更為強(qiáng)烈，如果單純學(xué)習(xí)周長(zhǎng)而壓抑對(duì)面積的認(rèn)知，或者是單純凸顯面積不去關(guān)聯(lián)周長(zhǎng)，教師的教會(huì)顯得不自由，學(xué)生的學(xué)會(huì)顯得不自在，空間觀念的滲透會(huì)顯得不自然。

想要走出現(xiàn)實(shí)困境需要實(shí)際行動(dòng)。教學(xué)先從學(xué)生熟悉的平面圖形入手，以“外描線段”引出周長(zhǎng)，以“內(nèi)刷表面”引出面積，然后緊扣周長(zhǎng)和面積的本質(zhì)內(nèi)涵，通過(guò)看、數(shù)、悟等不同層次的鏈?zhǔn)綄?duì)比，有序“生長(zhǎng)”出相關(guān)的概念、判斷和推理，最終在變與不變的思辨中，實(shí)現(xiàn)了智慧學(xué)習(xí)。

一、聯(lián)中比——生長(zhǎng)出概念

（一）猜一猜

師（出示積木）：仔細(xì)觀察，你看到了哪些熟悉的立體圖形？請(qǐng)說(shuō)出它的名字和特征。

（學(xué)生辨認(rèn)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱等立體圖形，并用手勢(shì)和語(yǔ)言描述各圖形的特征。）

師（出示圖1）：如果像這樣分別描出立體圖形的一個(gè)面，你猜它是什么平面圖形？

（學(xué)生在搶答中快速確認(rèn)描出的是長(zhǎng)方形、正方形、三角形和圓。）

（二）描一描

師：長(zhǎng)方形是由幾條線段圍成的？正方形和三角形呢？描一描，數(shù)一數(shù)。

生1：長(zhǎng)方形是由4條線段圍成的。

生2：正方形也是由4條線段圍成的。

生3：三角形是由3條線段圍成的。

師：像這樣，就能描出平面圖形的所有邊線（操作略）。

（三）刷一刷

師：這里有一把小刷子，咱們一起給長(zhǎng)方形內(nèi)部刷上顏色。

師（在長(zhǎng)方形內(nèi)部橫著刷一部分，指著留白的地方）：刷好了嗎？

生4：沒(méi)有。

師：為什么？

生5：還有空白，還要刷。

師：再刷一刷子，這樣就——

生6：刷好了。

師（出示正方形和三角形）：這兩個(gè)圖形的內(nèi)部可以怎樣刷色？

（學(xué)生回答略。）

（四）理一理

師（出示圖2）：長(zhǎng)方形所有邊線的長(zhǎng)度，就是它的周長(zhǎng)。長(zhǎng)方形整個(gè)表面的大小，就是它的面積。顯然，長(zhǎng)方形既有周長(zhǎng)，也有面積。那正方形和三角形呢？

生7：正方形既有周長(zhǎng)，也有面積。

生8：三角形既有周長(zhǎng)，也有面積。

師（出示其他平面圖形，圖略）：這些平面圖形也有周長(zhǎng)和面積嗎？

生9：都有。

師：看來(lái)，平面圖形既有自己的周長(zhǎng)，也有自己的面積。今天，我們就來(lái)認(rèn)識(shí)它們。（板書(shū)課題：認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)和面積）

【思考：概念的建立是理性認(rèn)識(shí)的初級(jí)階段。新概念往往表現(xiàn)出基礎(chǔ)性、生長(zhǎng)性和發(fā)展性的特征。首先，“描一描”調(diào)用了“長(zhǎng)方形和正方形的直觀認(rèn)知”和“線段認(rèn)知”，如果把“描”出的每一根線段看成是局部理解，它有具體長(zhǎng)度，那么“描出平面圖形的所有邊線”就為平面圖形周長(zhǎng)概念的建構(gòu)做了鋪墊。其次，“刷一刷”調(diào)用了“長(zhǎng)方形和正方形的直觀認(rèn)知”和“面的大小感知”，“刷好了嗎？”的追問(wèn)是激活學(xué)生對(duì)圖形大小的經(jīng)驗(yàn)，而后續(xù)更換刷色對(duì)象，則是遷移和強(qiáng)化認(rèn)知體驗(yàn)，使得要求“刷出平面圖形的整個(gè)表面”變得像呼吸一樣自然。最后，“編筐編簍重在收口”，一方面直觀地揭示了周長(zhǎng)和面積的數(shù)學(xué)本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了概念從“感性”到“理性”的必要切換；另一方面通過(guò)結(jié)構(gòu)化定性“長(zhǎng)方形既有周長(zhǎng)也有面積”，驅(qū)動(dòng)學(xué)生即時(shí)練習(xí)、遷移內(nèi)化和形成表象，經(jīng)歷了概念從“特殊”到“一般”的螺旋上升。】

二、看中比——生長(zhǎng)出判斷

（一）剝一剝

師（拿出一個(gè)長(zhǎng)方形塑料板，請(qǐng)學(xué)生用手指描一描周長(zhǎng)，用手掌刷一刷面積）：接下來(lái)，老師要變個(gè)魔術(shù)——把長(zhǎng)方形塑料板的一周邊線全部“剝”下來(lái)，請(qǐng)仔細(xì)觀察。

師：現(xiàn)在終于“剝”完了它的一周邊線。把它拉直了，其實(shí)就是——

生1：一根長(zhǎng)長(zhǎng)的線段。

師：它里面包含幾根小線段？

生2：4根。

師：這根線段的長(zhǎng)度就是這個(gè)長(zhǎng)方形的——

生3：周長(zhǎng)。

（二）辨一辨

師（出示圖3）：大家表現(xiàn)真好！給大家獎(jiǎng)勵(lì)一顆五角星。如果要將這顆五角星的周長(zhǎng)描下來(lái)，這樣描對(duì)嗎？

生4：不對(duì)，少描了一條線段。

師：要想表示五角星面積，怎么樣去刷色？

生5：把它刷滿，就像左邊五角星的樣子。

師：看來(lái)，周長(zhǎng)就是一周邊線的長(zhǎng)度，一條邊都不能缺（板書(shū)：一周邊線的長(zhǎng)）。面積就是圖形內(nèi)部的大小，一塊面都不能少（板書(shū)：圖形內(nèi)部的大小）。

（三）比一比

師（出示圖4）：這里有兩個(gè)長(zhǎng)方形，用一種顏色的水彩筆描出它的周長(zhǎng)，用另一種顏色的水彩筆涂出它的面積，請(qǐng)動(dòng)手試一試。

（在學(xué)生畫(huà)完后，教師組織學(xué)生重點(diǎn)交流“周長(zhǎng)在哪里”和“面積在哪里”。）

師：哪個(gè)圖形的面積比較大？哪個(gè)圖形的周長(zhǎng)比較長(zhǎng)？

師：借助所畫(huà)作品，與同桌說(shuō)清楚“周長(zhǎng)怎么比？面積怎么比？”。

生6：面積比的是圖形內(nèi)部的大小，我能直接看出來(lái)，左邊長(zhǎng)方形的面積比較大。周長(zhǎng)比的是一周邊線的長(zhǎng)，分別比上邊、下邊、左邊和右邊，一共比4次，我發(fā)現(xiàn)左邊長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)比較長(zhǎng)。

生7：對(duì)于周長(zhǎng)，我只要比2次。先豎著比，發(fā)現(xiàn)它們一樣長(zhǎng)，再橫著比，發(fā)現(xiàn)左邊的長(zhǎng)。這樣左邊長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)就長(zhǎng)一些。

師：無(wú)論是對(duì)應(yīng)地比4次，還是根據(jù)長(zhǎng)方形對(duì)邊相等的特點(diǎn)巧妙地比2次，比周長(zhǎng)都是在比什么？

生（齊）：一周邊線的長(zhǎng)。

【思考：判斷的運(yùn)用是理性認(rèn)識(shí)的第二階段。一般概念形成之后，必然跟進(jìn)相應(yīng)的判斷。具體來(lái)說(shuō)，是否“剝”下了長(zhǎng)方形的“一周邊線”是第一次判斷，期間的追問(wèn)和互動(dòng)，都指向周長(zhǎng)的本質(zhì)內(nèi)涵，即圖形一周邊線的長(zhǎng)，不是一根或幾根，而是所有邊線的總和才能稱之為周長(zhǎng)；五角星的周長(zhǎng)“描得對(duì)嗎？”是第二次判斷，學(xué)生通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)指認(rèn)、示范修正和描述解釋，使得周長(zhǎng)的概念逐漸完整，從而深入人心；第三次判斷發(fā)生在兩個(gè)長(zhǎng)方形之間的比較，對(duì)于“哪個(gè)圖形的面積比較大？”“哪個(gè)圖形的周長(zhǎng)比較長(zhǎng)？”都需要講清楚“比哪里？”“怎么比？”，無(wú)論是一一對(duì)應(yīng)比4次，還是簡(jiǎn)化之后比2次，其實(shí)都是基于概念的判斷行為，看似形式不同，其實(shí)本質(zhì)相通。】

三、數(shù)中比——生長(zhǎng)出推理

師：有一面白色的墻面，需要貼上正方形的瓷磚，先貼上第1塊，這一塊瓷磚有周長(zhǎng)和面積嗎？

生（齊）：有。

（師生互動(dòng)，第一排邊貼邊數(shù)。）

師（整體出示第二排到第四排，并介紹兩塊花瓷磚，在出示第五排之前追問(wèn)）：墻面貼滿了嗎？

師（出示圖5）：這兩塊花瓷磚，你還能一下子看出哪個(gè)周長(zhǎng)比較長(zhǎng)，哪個(gè)面積比較大嗎？

生1（用手比畫(huà)）：左邊的花瓷磚橫著長(zhǎng)，豎著短；右邊的花瓷磚橫著短，豎著長(zhǎng)，看不出來(lái)。

師：怎么辦？

師：把小正方形的邊長(zhǎng)看成1個(gè)長(zhǎng)度單位，數(shù)一數(shù)并標(biāo)出周長(zhǎng)有幾個(gè)小正方形邊長(zhǎng)這么長(zhǎng)；把小正方形的面積看成1個(gè)面積單位，數(shù)一數(shù)并標(biāo)出面積有幾個(gè)小正方形面積這么大。組內(nèi)交流“怎么數(shù)”和“怎么比”。

生2：左邊花瓷磚的周長(zhǎng)有12條小正方形邊長(zhǎng)這么長(zhǎng)，右邊花瓷磚的周長(zhǎng)也有12條小正方形邊長(zhǎng)這么長(zhǎng)，它們的周長(zhǎng)相等。

生3：左邊花瓷磚的面積有8個(gè)小正方形這么大，右邊花瓷磚的面積有9個(gè)小正方形這么大。右邊花瓷磚的面積大。

師（出示圖6）：我們是先確定數(shù)的單位，再數(shù)出單位的個(gè)數(shù)，然后順利比出結(jié)果。

【思考：推理的介入是理性認(rèn)識(shí)的第三階段。具體來(lái)說(shuō)，第一階段是看著不好比，其實(shí)質(zhì)是部分判斷之間雖然有聯(lián)系，但是對(duì)于整體“一周邊線”而言，并不能將這些單個(gè)的判斷有機(jī)整合，形成新的判斷，換句話說(shuō)，“推理”在這里難以進(jìn)行；第二階段是數(shù)著比，其實(shí)質(zhì)是借助小正方形瓷磚的邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位，分別數(shù)出“周長(zhǎng)有12條小邊長(zhǎng)這么長(zhǎng)”，借助小正方形的面積為1個(gè)面積單位，分別數(shù)出“面積有8個(gè)小正方形這么大”和“面積有9個(gè)小正方形這么大”。這樣，無(wú)論是周長(zhǎng)，還是面積，因?yàn)橛辛寺?lián)結(jié)的工具，即“相同單位”，所以可以產(chǎn)生新的判斷，最終順利推理出“它們的周長(zhǎng)相等”和“右邊花瓷磚的面積大一些”的結(jié)論。最后，借助動(dòng)態(tài)演示和過(guò)程梳理，使得推理的要點(diǎn)和路徑得以可視化、結(jié)構(gòu)化和一般化。】

四、悟中比——生長(zhǎng)出智慧

（一）初次變

師（出示圖7）：大正方形瓷磚由9塊小正方形組成。接下來(lái)，我要變魔術(shù)了，你說(shuō)變，它就變！

生（齊）：變！變！變！

師（出示圖8）：與原來(lái)大正方形瓷磚相比，你能一下子判斷下面瓷磚的面積和周長(zhǎng)哪個(gè)變了嗎？

生1：面積肯定變了，因?yàn)槎忌倭艘恍┬≌叫巍?/p>

師：有道理。那么，周長(zhǎng)到底變了沒(méi)有？請(qǐng)沿著現(xiàn)在瓷磚一周邊線數(shù)一數(shù)和比一比。

生2：左邊瓷磚的周長(zhǎng)有12條小正方形邊長(zhǎng)這么長(zhǎng)。與原來(lái)相比，周長(zhǎng)不變。

生3：中間瓷磚的周長(zhǎng)有12條小正方形邊長(zhǎng)這么長(zhǎng)。與原來(lái)相比，周長(zhǎng)也不變。

生4：右邊瓷磚的周長(zhǎng)有14條小正方形邊長(zhǎng)這么長(zhǎng)。與原來(lái)相比，周長(zhǎng)變了。

師：看來(lái)，瓷磚面積都發(fā)生變化，但是瓷磚一周邊線的長(zhǎng)度，有的不變，有的變了。

（二）再次變

師：老師又要變魔術(shù)了，先將大正方形瓷磚平均分成兩塊小長(zhǎng)方形，然后拼接；或者，將大正方形瓷磚平均分成兩塊小三角形，然后拼接。你說(shuō)變，它就變！

生（齊）：變！變！變！

師（出示圖9-1、圖9-2）：與原來(lái)大正方形瓷磚相比，你能一下子判斷現(xiàn)在瓷磚的面積和周長(zhǎng)哪個(gè)沒(méi)有變嗎？

生5：面積沒(méi)有變，因?yàn)闆](méi)有多一塊，也沒(méi)有少一塊。

師：描一描現(xiàn)在瓷磚的一周邊線，與大正方形瓷磚相比，哪一部分一樣長(zhǎng)，哪一部分變化了？

（學(xué)生先獨(dú)立思考，再組內(nèi)交流，最后匯報(bào)。）

生6：我來(lái)說(shuō)圖9-1的瓷磚。它橫著的4條邊線與正方形的4條邊線一樣長(zhǎng)，豎著的2條邊線是多出來(lái)的，所以周長(zhǎng)變了。

生7：我來(lái)說(shuō)圖9-2的圖形。它橫著的2條邊線與正方形橫著的2條邊線一樣長(zhǎng)，斜著的兩條邊線比正方形豎著的邊線要長(zhǎng)，所以周長(zhǎng)變了。

師：先確定一樣長(zhǎng)的部分，再確定變化的部分，最后合起來(lái)推理得到結(jié)論。為你們點(diǎn)贊！

（三）終極變

師（出示圖10）：老師將大正方形瓷磚分割后變成——

生（齊）：七巧板。

師：七巧板可以拼接成有趣的圖案，你看到了什么？

生（齊）：小魚(yú)、小鵝和小羊。

師：你猜，拼成的圖案和原來(lái)正方形相比，面積變了嗎？周長(zhǎng)呢？這個(gè)問(wèn)題留給同學(xué)們課后思考，并和小伙伴分享。

【思考：智慧的演繹是理性認(rèn)識(shí)的綜合階段。只有在認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)和稍復(fù)雜的境遇下，智慧才能找到迸發(fā)的土壤和契機(jī)。具體來(lái)說(shuō)，圖形第一次的變化較為“溫和”，解決面積的變化問(wèn)題時(shí)，有的學(xué)生根據(jù)“圖形內(nèi)部的大小在減少”，運(yùn)用概念直接判斷，有的學(xué)生借助“單位思想”逐步量化，間接地解決問(wèn)題；解決周長(zhǎng)的變化問(wèn)題，學(xué)生暫時(shí)選擇了“單位思想”，量化后再比較。這對(duì)于三年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)是可行的，畢竟智慧生長(zhǎng)離不開(kāi)方法的基礎(chǔ)遷移。圖形第二次的變化較為“劇烈”，原因不在面積（因?yàn)榭梢越柚庇^演示，運(yùn)用概念直接判斷），關(guān)鍵是周長(zhǎng)的變化問(wèn)題，在問(wèn)題“與大正方形瓷磚相比，哪一部分一樣長(zhǎng)，哪一部分變化了？”的引導(dǎo)下，學(xué)生將“一周邊線”解構(gòu)成兩個(gè)部分，先各個(gè)擊破，然后再有機(jī)重構(gòu)和推理。因?yàn)殡A段結(jié)構(gòu)認(rèn)知和理解水平的局限，有時(shí)智慧生長(zhǎng)仍然需要教師的適時(shí)點(diǎn)撥。圖形第三次的變化較為“深遠(yuǎn)”，與前面變化不同的是，七巧板的分割內(nèi)容和拼接情況更為復(fù)雜，這里不需要學(xué)生即時(shí)回答，而是留下“未完待續(xù)”的活動(dòng)，巧妙地將學(xué)習(xí)從課堂引向課外，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手操作、對(duì)比思考和感悟規(guī)律。顯然，這樣處理，智慧生長(zhǎng)的空間已經(jīng)從“有限精彩”走向了“無(wú)限可能”。】

【本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點(diǎn)課題“基于問(wèn)題鏈驅(qū)動(dòng)的小學(xué)生數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)的研究”階段性成果（課題批準(zhǔn)文號(hào)：C-b/2020/02/26）。】

（責(zé)編 金 鈴）