“閱讀與思考——三角學與天文學”在高中數學課堂中的應用研究

覃麗瑩

摘 要：文章重點探究新課程背景下，“閱讀與思考——三角學與天文學”在高中數學課堂中的應用。通過利用現有材料分析“三角學與天文學”的背景、意義以及情境設計，研究其在課堂中的應用價值。

關鍵詞：高中數學；三角學與天文學；三角函數

中圖分類號：G633.6?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1673-8918（2024）03-0075-04

一、 背景及意義

三角學最早以球面三角、平面三角等內容出現于實際測量所需的天文觀測結果推算的方法中。后因人類對探索宇宙的欲望以及“量天學問”對人類的吸引，亦因其對天文推演的高效率推算，德國數學家、天文學家雷格蒙塔努斯將三角學相關內容進行完整獨立的研究與闡述，完成5卷本著作《論各種三角形》的著作，早期系統的三角學由此而出。后來由于現有三角學的局限性限制了天文學的多方面研究，雷提庫斯將平面三角學從球面三角學中獨立而出，改進角的三角函數關系，制定更為精確的三角函數表，極大地推動了天文學研究與三角學的發展。

在時代發展、歷史演變中，早期三角學成為天文學的一部分，后來研究范圍逐漸擴大，變成以三角函數為主要對象的學科。三角學在高等數學、天文學、物理學、測量學以及航海等方面都有廣泛的應用。

二、 材料分析——以人教A版數學教材為例［2019］

“閱讀與思考——三角學與天文學”出現于人教A版高中數學必修一第186頁，作為三角函數概念的拓展延伸部分。三角函數是函數章節的重要內容，在學習任意角和弧度制等內容的基礎上進一步深入研究學習三角函數的知識，能為后續對三角函數的圖像與性質的學習奠定基礎，起到承上啟下的作用，同時，三角函數也是高考命題的重點和熱點，在高中數學中占有重要地位。

“閱讀與思考——三角學與天文學”介紹了數學中三角學的產生和發展的歷史，有助于學生了解三角學與天文學的關系和相互促進的發展過程，結合由抽象到具體的思維方式，體會世界萬物相互制約、相互促進的規律，樹立唯物主義觀；了解歷代數學家的發展觀點，體會數學家在天文學方面做出的巨大貢獻；結合前人對三角學的研究，和進一步發展三角函數等其他知識過程中做出的貢獻，以及三角學如何從天文學中分離出來，然后在新領域繼續發光發熱的過程，讓學生進一步體會事物發展的客觀規律。

三、 課堂應用

（一）應用方式

學起于思，思源于疑。采用問題導向、引導發現的啟發法和講授法相結合，以及自主探究、合作交流的探究式學習方法。

遵循學生為主體、教師為主導、發展為主線的現代教學理念。在教學過程中層層設疑，讓學生帶著疑惑去學，提高學生的專注力，激發學習熱情，培養學習興趣，引發學生的思考和探究。使用視頻、圖片等教學資料，將學生帶入數學發展史的氛圍中，圍繞著“三角學與天文學”讓學生去體會、去感受、去討論、去運用，使教學中的內容、學生、教師較好地融為—體，師生共同在教學中獲得新知。

（二）應用預設

《義務教育數學課程標準（2022年版）》強調數學課程要著力培養學生的數學核心素養，主要包括以下“三會”：會用數學的眼光觀察現實世界；會用數學的思維思考現實世界；會用數學的語言表達現實世界。

隨著知識經濟時代的來臨，現代教育理念著重于以人為本，強調培養人自主學習、自立自強、獨立思考解決問題的能力。

將“閱讀與思考——三角學與天文學”作為獨立一節課程內容，放在第五章“三角函數”教學第一節作為開篇，引入三角知識，營造三角函數學習氛圍，初步搭建三角函數學習梯度。

將數學史——三角學與天文學的發展史作為課堂的主要探究活動，共分為以下四個部分：

1. 借星引路——天文學的發展

2. 觀星測量——三角學的起源

3. 思辨與發現——三角學的發展

4. 自成一派——三角學的應用

將班級學生分為6～8個小組，課前布置學生小組內分工合作收集對應環節相關材料。1～2組收集借星引路——天文學的發展；3～4組收集觀星測量——三角學的起源；5～6組收集思辨與發現——三角學的發展；7～8組收集自成一派——三角學的應用，要求每個小組的學生整理各自小組內收集的資料，寫出400字左右的總結，課上分享收獲。

本環節的主要目的在于分工合作，分工合作能充分發揮每個人的專項技能，彌補個人的不足，發揮整體效能，提高工作效率。組內成員共同合作收集材料所需分工、方法能促使學生思考、發現他人亮點，鍛煉生活能力，落實現代教育溝通理念，營造良好的氣氛，培養學生的成就感和自信心。古人云：近朱者赤，近墨者黑。好的團隊氛圍可以使每個成員都盡自己最大的努力去完成好工作，能收到事半功倍的效果。

在第一環節借星引路——天文學的發展中，學生可通過收集資料與分享，認識到公元前4000年左右，古代天文學是人類最早的天文學形式，且天文學的發展最早與神話相關，認為天體的運動是神的意志，具有神秘色彩。后來天文學的發展與天體運動相關。古代天文學家通過觀察天體的運動，推測它們的周期和規律，形成了一套基本的天文學理論，可以記錄時間、四季變化、節氣轉換，便于組織農耕，提高生活質量。在古埃及，人們還研究了星座和天象的變化，發現了日食和月食等現象。古希臘天文學家帕拉繆克斯通過觀察星體的運動，建立了一個天體運動的簡單模型，被稱為帕拉繆克斯模型。同時學生還會發現在天文學的發展研究過程中占比最大的是數據的運算，而且涉及龐大的數據推演。宇宙中星體之間距離甚遠，無法用人力測量，只能借助其他方式間接推導得到大概的數據，為追求數據的精確性，三角學隨之發展，成為天文運算的重要工具之一。借助三角學，可以通過采用角度測量、三角測量和三角函數的方法，測量行星之間的距離，確定其位置，并確定星星運動的反向速度，還可以計算一個天體的角度大小以及距離等。這些計算可以幫助天文學家研究脈沖星和黑洞等天體，促進天文學的發展。

同學們由此可認知到是實際生活的需求促進了天文學的發展，天文學的發展又促進了三角學的產生，學習與生活密不可分。通過自我思考發現天文學與數學之間的知識融合，激活自身對三角函數的探索興趣，促使學生思考能否使用同樣的方式去了解、掌握更多的知識，發現更多的樂趣，能否適用于解決實際生活中的其他問題，使學生更加關注真實豐富的日常生活，培養學生的創造性思維和探索精神，增強動手能力，從而促進學生全面發展。另外，有助于學生發揮主觀能動性，進行知識點的整合，構建知識框架，提升文化認知，了解天文學文化，發展核心素養。

第二環節觀星測量一——三角學的起源與第三環節思辨與發現——三角學的發展中可以讓學生學習到三角學是指基于三角形的邊角關系研究，達到間接解決復雜情況下測量問題的一門學科，初步意識到三角學在數學上可用于解決長度、高度等測量問題。如大禹曾利用三角學的知識對山川地勢進行測量記載；《周髀算經》中則記載了直角三角形各邊之比的重要性；徐光啟等合編了中國第一部三角學著作——《大測》；清朝初年則有兩部較好的三角學入門書籍，是由當時的數學家梅文鼎所編寫的《平三角舉要》和《弧三角舉要》，總共兩本，各五卷；同年，羅雅谷著《測量全義》引入了三角函數的概念，為天文歷法的制定提供了推算方法，即利用三角函數公式定理解三角形的具體方法。因此，在中國數學發展史上，三角函數知識與天文學知識密切相關。

對以上兩個環節，在實際課堂教學中，要根據學生的認知發展規律，滲透數學史文化知識，切實落實以學生為主體的素質教育理念，有利于學生接受有關三角學知識與天文學知識的新內容，培養學生的探究精神和動手能力，調動學生的積極性。對三角學發展史的資料收集既是學生動手操作收集材料的過程，也是認識三角學數學史的過程，有助于培養學生形成數學思維，了解三角學發展的歷程，讓學生能夠以客觀、辯證的眼光看待數學問題，利用文化知識構建數學場景，使三角函數不再成為神秘的知識，從而產生親近感，對之后三角函數的運用與掌握產生自信。該過程有助于學生理解數學問題的來源，更有助于培養學生的邏輯推理、數學建模等學科核心素養。

在當今素質教育的主流趨勢下，將“閱讀與思考——三角學與天文學”融合在課堂教學中，關注培育學生數學核心素養，凸顯“閱讀與思考——三角學與天文學”的輔助引領作用，能幫助學生感悟數學的魅力，體現數學文化與應用價值，促進學生的數學思維能力的提升。利用學生的主體作用在課堂環節滲透“閱讀與思考——三角學與天文學”內容，能直接影響學生思維的開拓以及思維品質的提升。

第四環節自成一派——三角學的應用中設計以下探究性問題：用已有的三角函數知識能否測量宇宙中某顆恒星到地球的距離？如何測量？請小組內思考并進行討論。此環節引導學生解決問題時補充以下知識：

1. 視差即從地球上觀測某一顆恒星時，由地球軌道上位置的變化而產生方向上的差異。

2. 周年角位移又叫周年視差即恒星從右邊“移動”到了左邊，所產生的偏移量。

3. 太陽與地球的絕對距離被稱作“天文單位”，記為1AU。

1AU=1.49597870×1011米，近似1.496億千米

5. “角秒”即一度的三千六百分之一。觀察者與一顆視差角為1角秒的恒星的距離被稱作“1秒差距”，相當于地球與太陽距離的206265倍，也就是206265AU。

6. 定義；秒差距是視差角度的倒數，它是天體距離的單位。

緊接著提出具體問題：一顆恒星的周年視差是0.08″，它到地球的距離是多少光年？預留足夠的時間給學生進行思考，請學生進行解答，最后展示解答過程。

解：∵p=0.08″，

∴α=0.04″，

∵1秒差距=3.26光年，

∴BC=25×3.26=81.5光年。

該環節引領學生手腦并用，運用數學抽象基本思想，對現實問題進行思考，構建數學模型，利用邏輯推理能力對數據進行分析推導，以達到解決問題的效果。

圍繞以學生為主體這一理念，順應學生發展需求和認知特點，切實落實立德樹人根本任務，促進學生全面發展。教學方式的改革要徹底打破傳統的以教師為中心、學生被動接受知識的灌輸式教學方式，將學習的主動權交給學生，實行以學生為中心的翻轉式課堂教學方式。以探究三角學與天文學為導向，將多學科知識融于同一節課堂教學當中，實際問題解決中，強化啟發式、討論式教學，引導學生利用跨學科綜合知識進行探究式學習。

（三）問題預設及處理方法

問題廣泛，事倍功半，三角學與天文學涉及范圍廣泛，需明確本節課主要內容，合理安排課堂時間與內容。

首先，教師本身備課時要預設好足夠的時間，做好輕重點區分，避免“頭重腳輕”，關鍵環節、重點內容時間不夠的問題出現。將天文學的發展與三角學的起源以及三角學的發展總共三個分享環節，每個小組分享時間為5分鐘，預留5分鐘的交流補充時間，總共花費20分鐘。對三角學的應用預設15分鐘的探究研討時間，看好具體課堂安排。

其次，課前作業布置部分，若沒有給學生明確的提示，學生極有可能花費大量時間收集與本節課無關的資料，容易使學生產生挫敗感，違背設計初心。因此，作業布置要有明確的針對性，提醒學生查找方向，強調重點：對天文學的發展資料，注意收集與日常生活的實際需求以及測量推算相關的材料，尤其是設計平面三角學、球面三角學的內容，其余內容可簡略查找；對三角學的起源，注意收集是什么情況下的什么實際需求促進三角學的出現，其標志是什么；對三角學的發展，明確時間、事件。

再次，任務分工不明確。布置小組任務時，只告知要收集三角學與天文學材料，而未提醒需要做好總結并且在課堂上需要有一位小組代表在5分鐘內分享組內成果，如此將導致課堂分享環節學生相互推脫，耗費時間，無法達到預期效果。因此布置任務需要明確分工的同時，強調明確任務，給學生預留充足時間做好各項準備。可在布置作業時列舉實際分工方案以及注意事項。

最后，教師評價模糊。給學生的評價籠統官方，讓學生不知好在什么地方，不評價學生的努力與收獲，而評價聰明智商。比如：這個學生分享的內容太好了——好在什么地方學生不知道。又比如，一節課教師口頭頻頻出現“棒、棒，你真棒”。一味單調長時間地賞識學生，會讓學生產生“贊美疲勞”，喪失了新鮮感，感覺努力無用，就起不到應有的激勵作用。因此，教師在課堂執行過程中也要認真傾聽學生分享內容，做出具體明確的評價，使學生感受到自身回答的價值和老師的重視。

四、 結論

無論是2004年的人教版還是2019年的人教A版中“閱讀與思考——三角學與天文學”均安排在三角函數的概念之后，作為拓展延伸部分的材料提供學生學習。在常規教學中，不會將“三角學與天文學”作為正課內容引用，忽略了三角學數學史內容的灌輸學習，使學生缺乏此方面的認知，只知道三角函數的突然出現，以及計算復雜，不利于提高學生對學習三角函數的興趣與信心。

若將“閱讀與思考——三角學與天文學”這個模塊的內容作為三角函數第一章節第一課時的內容，順應素質教育要求的同時可拓寬學生視野，使學生意識到三角函數并非天降，而是我們實際生活的需求促使了它的產生并發展，三角函數的存在簡化了我們的大數據計算。

對“閱讀與思考——三角學與天文學”的學習，使學生了解三角學歷史的同時，了解到三角函數知識點的形成過程，有利于培養學生的探究意識，深化知識源于生活的認知。

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