高中數學教學中數學建模素養培養的思考

章勝利

［摘? 要］ 數學建模的地位至關重要，若數學模型無法順利建立，則數學運算、直觀想象以及數據分析等核心素養要素就難以深入、順利地發展. 樹立建模意識是建模思維培養的起始點. 在教師與學生的視野下，數學建模意識分別是顯性和隱性的. 無論是建構數學概念或規律，還是建立一個解題模型，關鍵是在發現與提出問題之后，能夠借助相關的邏輯推理形成數學知識建構或問題解決的思路. 如果這一思路能夠成功解決當前的問題且具有遷移性，那么數學模型就基本成型. 當學生有顯著的數學模型應用意識時，就是數學建模素養得以發展之時.

［關鍵詞］ 高中數學；數學建模；建模意識；建模案例

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱“新課標”）對高中數學學科核心素養的要素有明確的界定，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析等. 在這些要素中，數學建模的地位至關重要，若數學模型無法順利建立，則數學運算、直觀想象以及數據分析等核心素養要素就難以深入、順利地發展. 因此，可以認為數學建模起著承上啟下且概括的作用. 面對這一實際情形，在高中數學教學中培養學生數學建模素養，就顯得非常重要.

所謂數學建模，說得通俗一點就是建立數學模型. 新課標明確指出：“數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養.”通過這段數學建模素養的闡述可以發現，數學建模明顯涉及數學抽象等素養，同時涉及數學語言的把握與數學方法的運用，如果學生能夠在這個過程中表現出較高的數學素養，就可以認為他們具備基本的數學建模素養. 同時，數學建模素養的培養必然經歷一個過程，這個過程與傳統的數學知識教學相關，但又存在著較大的區別. 尤其在應試形態下，教師所關注的往往是學生對數學知識的掌握以及學生的決定能力的培養，此過程會不由自主地壓縮知識的教學過程，而在客觀上會對學生數學建模素養的培養產生影響. 這意味著面對數學建模素養的培養，需要在原來重視知識教學的基礎上，進一步重視數學知識發生與發展的過程，并將數學建模滲透其中.

通過上述分析可以概括出的結論就是：隨著新課程新教材的實施，作為數學六大核心素養之一的數學建模正成為當下高中數學教學中的一道新的靚麗風景線. 如何設計數學建模問題、如何開展數學建模課堂教學、如何引導學生完成數學建模全過程、如何評價數學建模的成果等問題，都是值得教師積極探討的新問題［1］. 當然必須說明的是，強調對數學建模的重視，并不是忽視其他數學學科核心素養要素. 本文重點闡述數學建模，并非對其他要素沒有涉獵，更多的是以數學建模為重點闡述對象，同時涉及其他組成要素，如此就形成了一個整體，有助于學生對數學建模有更加深入的認識. 下面以“函數的概念及其表示”的教學為例，略談一些淺見.

樹立數學建模的意識

樹立建模意識是建模思維培養的起始點［2］. 當把數學建模作為教學重心時，如果沒有樹立起數學建模的意識，那么后續的所有工作都將無從談起. 筆者在教學中高度重視數學建模意識的養成，而這一努力可以從教師與學生的角度分別進行.

站在教師的角度看數學建模意識，其應當是顯性的. 也就是說，教師自身必須樹立起顯著的數學建模培養的意識，在面對任何一個知識教學時，尤其在面對重要數學概念和規律教學時，都要思考其中有沒有數學建模培養的契機. 這里涉及對數學模型認識的問題，廣義的數學模型不僅包括實物模型，還包括數學概念與規律等. 數學課程專家認為，當學生完全掌握了數學概念與規律后，則該概念與規律就可以在學生后續學習與運用中作為模型而發揮作用. 比如說函數，傳統意義上只認為其是數學中的一個重要概念，而在數學建模的視角下，函數本身也可以作為一個模型而存在. 當談及函數的時候，學生大腦中所反映出來的對應關系、不同類型的函數，都是一個相對獨立的整體，這個整體就可以視為模型.

這一理解下的數學模型普遍存在，意味著日常的教學中有著豐富的數學建模教學機會. 數學教師在關注學生解題能力養成的同時，如果能夠從數學模型的角度去認識數學知識的建構與運用，就可以讓顯性的數學建模意識被樹立起來，而這讓學生體驗數學建模的過程有了更大的可能性.

站在學生的角度看數學建模意識，其應當是隱性的. 學生不需要知道自己所經歷的過程就是數學建模的過程，重點是養成數學建模思維. 這與日常教學中某一場合下提及模型并不矛盾，對部分學生而言，初步接觸模型的概念并借助模型的概念來培養自己建構數學知識的能力，培養自己利用模型解決數學問題的能力，也是可行的. 只不過對大多數學生而言，過于顯現的模型概念，容易讓學習行為概念化，不利于學生通過隱性的過程構建模型. 因此，在實際教學中，筆者更傾向于用隱性的方式，讓學生去經歷數學建模的過程，感悟數學模型的作用，并且形成借助數學模型去學習知識、運用知識的直覺. 這種直覺就是數學建模的意識，這一意識的養成，可以讓學生更加認同數學模型的價值——當然，由于對數學模型的認知是隱性的，因此對這種價值的認同也是隱性的，只要數學建模的思維能夠養成即可.

探究數學建模的路徑

其實，數學建模不僅是數學知識建構與運用的需要，還是學生學習的需要. 有研究表明，高中數學教學要注重學生數學思維的培養，特別是建模思維，能夠在很大程度上減輕學生的心理負擔，快速找到問題的突破口［3］. 所以，從教學實效的角度來看，明晰一條數學建模的路徑至關重要. 新課標明確指出，數學建模主要表現為：發現和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題. 通過這樣的闡述可以發現，無論是建構數學概念或規律，還是建立解題模型，關鍵是在發現與提出問題之后，學生能夠借助相關的邏輯推理形成數學知識建構或問題解決的思路（這就是模型的雛形）. 如果這一思路能夠成功解決當前的問題且具有遷移性（能接受檢驗），那么數學模型就基本成型了. 新課標還指出，數學建模過程主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題. 顯然，這是一個完整的、系統的數學建模過程. 在實際教學中，這里提及的所有環節未必全部經歷，緊扣具體的問題，發現問題、提出問題、分析問題，建立模型并驗證等，就是完成數學模型的建立.

在“函數的概念及其表示”這一知識內容中，函數概念的建立與數學建模高度相關，借助函數概念的建立過程，來讓學生體驗數學建模的過程，可以鋪設出一條數學建模的路徑. 具體來說，該知識內容的教學設計主要包括以下幾個環節.

環節1 發現、分析問題.

借助行程問題（勻速運動中的路程S與時間t的關系）或同類問題，讓學生通過分析法與綜合法，認識到兩個變量之間存在著唯一對應的關系，于是就可以得出S與t之間存在著函數關系. 用學生已經有了的知識來判斷這一函數關系，從理解的角度來看，并不存在太大的困難；但是如果從高中數學的角度進一步明晰這一函數關系，會發現其中還有一些要素沒有凸顯出來. 在這種情況下，教師可以借助一個新的問題來打破學生的認知平衡，例如：如果某列車以350千米/時的速度勻速運行半個小時，那么這輛列車在一個小時內行駛的路程是350千米. 這樣的說法正確與否？

在不少學生的認知中，容易將這輛列車的運行當作勻速直線運動，因此會判斷上述說法是正確的. 如果此時教師告訴學生這一說法不正確，學生就會立即處于認知失衡的狀態，他們也想弄清楚“錯在哪里”，而這實際上就是為了尋求新的認知平衡. 很顯然，列車在半個小時內做勻速直線運動，并不意味著在一個小時內做的也是勻速直線運動. 但這種認識還只是一種用文字描述的感性認識，后續的任務就是將其轉化為用數學語言描述的理性認識.

環節2 模型猜想與解決.

環節3 模型建立.

上面這樣的一段理解，是與函數本質高度接近的理解，要讓這樣的理解被學生接受，教師還應當通過更多的變式，來讓學生發現描述函數所用的數學語言具體是怎樣的. 最終建立起來的函數模型，實際上就是函數的定義. 根據教材的界定，一個完整的函數應當包括解析式、定義域、值域三個核心概念，此外還涉及對應關系. 當學生能夠完整、流利地闡述函數的定義，同時又能夠在大腦中出現相關的案例的時候，就可以認為函數模型被成功建立起來了.

在隨后的遷移運用中，教師可以通過更多的正例與反例，來檢驗學生的判斷能力——實際上就是模型運用的能力. 這一點與日常教學相符，這里不再贅述.

反思數學建模的過程

通過上面的例子可以發現，要讓學生通過自己的努力去建立數學模型，關鍵在于學生大腦中的經驗要豐富，對現實世界的感知要全面，有了這些作為基礎，學生首先就能夠完成用數學眼光觀察現實世界（實際上也就是數學抽象）. 觀察現實世界的目的是描述現實世界，而這就要借助數學模型. 從學生對數學學習對象最初的感知，到最終數學模型的建立，這樣一個數學建模的過程，伴隨著數學知識的學習. 教師借助數學建模意識引領學生在顯性建構數學知識的過程中，隱性體驗數學建模，并且在具體問題的解決中體會數學模型的價值，這對發展學生的數學建模素養有著非常重要的促進作用.

進一步反思數學建模的過程，還可以發現作為核心素養培養的重點，積累的重要性必須引起高度重視. 也就是說，一兩次的數學建模體驗，并不能讓學生真正發展數學建模素養. 只有教師堅持數學建模教學的思路，讓學生在一次次的積累中，夯實數學建模的能力. 當學生有顯著的數學模型應用意識的時候，才是數學建模素養得以發展的時候. 因此，在日常教學中，數學建模不能只是課堂教學的點綴，而應當成為日常教學的常態，這樣數學建模素養的發展才會有一個堅實的基礎.

參考文獻：

［1］ 顧予恒， 何波祿. 高中數學建模方法的選擇——以“身高與體重”為例［J］. 數學通報，2021，60（08）：52-55.

［2］ 羅學平. 高中數學建模思維培養路徑思考［J］. 中國教育學刊，2022（06）：107.

［3］ 孫樹仁. 探析高中數學建模思維的培養與價值［J］. 天津教育，2019（20）：150-151.