在活動中培養學生的數學探究能力

敖羚峰

［摘? 要］ 在數學教學活動中，教師不僅要向學生傳授數學知識，更重要的是在知識傳授的過程中，培養學生的科學探究能力，這項能力將有益于學生的終身學習. 新一輪的課程改革也體現了這一點，在傳統教學課程的基礎上推出了一類新型教學課程——數學探究活動. 文章以“探究楊輝三角的性質”一課為例，探討實施數學探究活動的策略.

［關鍵詞］ 數學探究；高中數學；楊輝三角

研究背景

隨著新課改的推進，新課標在傳統教學課程的基礎上推出了一類新型教學課程——數學探究活動，并配備了相應的課時. 它們分布于教材的各個板塊，既獨立于各個章節，與各個章節是平行的關系，又是對相關章節內容的應用與拓展. 新教材發生了很大的變化，由原先的5萬字變成了現在的15萬字，新增內容有較大篇幅用于建設數學探究活動. 由此可見，數學探究活動板塊有重要的地位. 從數學教育的發展來看，這也是一種趨勢，此類課程區別于傳統的數學課，重在培養學生的活動與探究能力，有助于開闊學生的視野，培養學生的核心素養，陶冶學生的數學情懷，充分體現了數學教育的“育人價值”.

數學探究活動應該如何實施呢？筆者以上過的一節優質課“探究楊輝三角的性質”為例（本節課內容位于人教A版必修第一冊〈2019版〉教材），談談實施策略.

實施策略

1. 創設情境，讓學生想探究［1］

愛因斯坦說過，“興趣是最好的老師”. 只有創設良好的且與生活息息相關的教學情境，學生才會萌發強烈的探究欲望，一節探究課才能順利開展.

在“引入”階段中，教師首先通過大量圖片展示了現實生活中的不同類型的彈珠游戲機，學生此時被熟悉的游戲所吸引；接著邀請學生在現場一起玩了一個游戲——高爾頓板游戲，并觀察現象. 如圖1所示，學生重復玩游戲，在游戲中觀察現象，并得到一個結論：最終小球的分布為中間多、兩邊少.

教師在游戲中提問道：為什么會出現這種現象？能否從數學的角度予以解釋？在教師不斷的引導下，學生經過討論與分析，通過數學建模的方式，將該問題抽象為了數學模型——路徑模型. 如圖2所示，可以用組合數公式計算小球從頂點位置落到任意位置的路徑數. 同一層上，哪個位置的路徑數越大，到達該位置的可能性也就越高. 通過計算，得到如圖3所示的楊輝三角和三角形組合數表.

在這個過程中，通過游戲的方式，激發學生開展探究的興趣與動力. 在教師的引導下，學生通過數學建模，將現實問題轉化為數學模型，并得到楊輝三角. 一方面，培養學生的數學建模素養以及數學探究能力；另一方面，通過探究得到楊輝三角，真切感受數學源于生活且服務于生活. 在這一階段，通過聯系生活實際，利用現場游戲，讓學生想探究.

2. 提供示范，讓學生能探究

由于學生還不具備較強的獨立探究意識與能力，因此在學生開展獨立探究活動之前，教師應該立足探究對象，設計容易思考與上手的問題，并為學生搭建好“腳手架”，讓學生在教師的引導下，逐步開展探究活動. 學生在一步步的引導中，將逐步掌握數學探究方法，逐步理解可以從哪些角度展開探究，如何進行探究. 在這個過程中，既充分體現了教師的主導地位以及學生的主體地位，也為后續學生開展自主探究活動提供了示范作用.

楊輝三角的應用廣泛，那么它究竟具備什么性質呢？又如何探究它的性質呢？教師介紹道：接下來，我們將一起運用數學探究“三部曲”（觀察探究，發現規律—歸納猜想，交流展示—論證推理，生成性質）來探尋楊輝三角的奧秘.

首先，觀察探究，發現規律. 教師提問道：請觀察（圖3）左邊的數表，有什么發現？學生回答道：整體是對稱的. 例如，第3行第一個數字與最后一個數字均為1，第二個數字與倒數第二個數字均為3. 但這還只是停留于數字層面.

其次，歸納猜想，交流展示. 教師又提問道：能否從中獲得一般規律？

通過師生合作、共同探究的方式，完整呈現了數學探究“三部曲”. 在探究中，學生逐步掌握了數學探究方法. 這一環節給學生提供了一個數學探究藍本，起到了示范作用. 學生參照藍本，有法可循，能夠獨立開展后續的數學探究活動.

3. 小組合作，讓學生會探究

良好的探究藍本與教師引導，僅僅停留于理論層面，很難讓學生真正掌握數學探究方法. 只有讓學生通過小組合作，仿照示例，獨立開展探究活動，才有助于學生真正學會探究. 因此，教師還需要給學生留下足夠的合作探究時間，讓學生合作完成相關的探究活動.

（1）觀察探究，發現規律.

布置課堂研討任務：以小組為單位，仿照探究范例，從橫向、縱向、斜列、整體、局部等多角度探究楊輝三角的數字規律，用組合數予以表示，并嘗試證明探究結果.

因為學生對數學探究還不夠熟練，所以不能讓學生盲目開展數學探究活動. 在提供探究示范藍本的前提下，還需要布置明確的探究任務，給出明確的探究提示與探究方向，由此保證學生能夠依照提示和方向順利開展探究活動. 此外，還需要留出充足的時間供學生進行思考與討論，真正將數學探究落到實處.

（2）歸納猜想，交流展示.

在一番探究與討論之后，學生仿照范例，交流各自的探究結果. 具體方式為：先講數字上的規律，再將其轉化為組合數進行表示. 學生從橫行與斜列兩個維度分別得到了以下猜想.

在這個環節中，學生充分發揮想象力，通過觀察，逐步總結數字規律，再利用組合數予以表示，最后進行交流. 在這個探究過程中，學生采用“不完全歸納”的探究方式，從特殊情形出發逐步總結一般規律，培養了數學探究能力.

（3）論證推理，生成性質.

接下來，引導學生類比示例，從組合數的定義和意義兩個角度對猜想進行論證，從而將其升級為性質.

論證猜想3：學生通過對比等式左右兩側發現，左側的10的次方代表每一個數字的位數，每一個數字恰為相應的組合數；右側的11n可以寫為11n=（10+1）n，由二項式定理將該式展開，恰好為等式的左側. 于是猜想3得證.

在這個環節中，學生從組合數的定義和意義兩個角度對所得的猜想進行了推理論證，充分體現了數學探究的完整性與嚴謹性. 這一環節與前兩個環節結合起來，構成了課堂數學探究的完整步驟，更進一步培養了學生的數學探究能力.

在這個過程中，學生通過小組合作，在教師的指導下，自主展開了數學探究活動，并依次經歷了數學探究“三部曲”，生成了性質. 在探究的各個環節的實踐中，學生逐步學會了數學探究方法.

5. 設置懸念，讓學生愛探究

除了上述性質外，楊輝三角還有很多美好的性質. 例如，將楊輝三角中的奇數部分涂黑，可以得到分形數學中的謝爾賓斯基三角形，使用它還可以進行平面拓展與空間拓展，法國的埃菲爾鐵塔與大量的電子元件中就使用了這個模型. 此外，很多藝術家也使用分形原理進行藝術創作，獲得了大量的藝術作品. 通過大量圖片的展示，讓學生感受到數學的魅力，進一步激發學生的探究欲望.

通過分形數學的展示和手算開方的探究，讓學生欣賞數學之美，產生更強的探究欲望. 給學生布置課后探究任務，留下懸念，讓學生在進一步的數學探究活動中獲得成就感，體會數學探究的價值，從而愛上數學探究.

結語

在實際教學中，教師在教給學生課本知識的同時，還應充分挖掘素材，適當地組織數學探究活動，提升學生的數學探究能力. 在這個過程中，需要教師做到：創設情境，激發學生的探究欲望；給學生提供探究藍本，讓學生有法可循；給學生提供足夠的探究時間與探究指導，幫助學生順利開展探究活動；最好還要設置一定的懸念，讓學生在課后能夠繼續探究下去. 數學探究能力的培養，對學生而言，將是終身受益的.

參考文獻：

［１］ 陳慧. 在探究活動中培養學生的數學探究能力［Ｊ］. 教育觀察，２０１８，７（１８）：９８－９９.

［２］ 張明歡，周欣，張啟明. “楊輝三角”的教學設計與實施［Ｊ］. 初中數學教與學，２０２０（２０）：２１－２３.