深度探究學習：提升數學思維的必然途徑

金愛民

［摘? 要］ 數學學習是提升學生思維品質的關鍵課程，通過數學課程的學習，學生能夠初步具備運用數學眼光觀察、分析和解決問題的能力。在數學課堂中教師不僅要傳授數學知識，還要讓學生在活動中體驗學習過程，積累活動經驗，實現知識遷移，讓學習真正發生。

［關鍵詞］ 深度探究；思維品質；活動體驗；遷移運用

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出小學數學學習的重要方式是教師在課堂上積極引導學生在活動中深度探究、合作交流、動手實踐，提升思維靈活性，通過教與學的轉變，使學生能夠主動掌握知識，提升思維品質。教師在教學中要以挑戰性的任務為載體，引導學生圍繞學習任務進行積極的思考與體驗，從而體會知識發展過程，讓學習真正發生，這對其長期發展具有重要意義。學生在深度探究中通過運算推理、猜測想象、數據分析等過程，能掌握數學核心知識，體會數學本質，提高學習效率和掌握數學思想方法。筆者以教學實踐為例，談一談如何引導學生進行深度探究、深度學習，從而讓學習真正發生。

一、挖掘教材內涵，創設教學情境

小學生思維活躍，具有較強的求知欲，側重感性認識，具象思維較強，理性思維相對較弱。因此激發學生的學習興趣需要教師創設形象的教學情境，讓學生在有趣的活動中探究和體驗。情境活動的創設要依據課標和教學內容，遵循學生的認知規律特點進行針對性的創設。因此，教師要善于挖掘教材的內涵，充分研究教材，把握教學的起點。

案例1? 認識“倍”的概念

情境創設：游戲“找朋友”。由1名學生首先找到好朋友組成一個小組，然后2人一組站在一起。這時班上其他同學還未組隊，馬上就有學生提出，我要和某某一組，剩下的學生著急要求分組。最后所有學生完成兩兩分組，變成了2的倍數。當然學生還可以分成其他的份數……學生在活動中自然地理解了“倍”的概念。學生在玩中學、做中玩，探究的興趣被激發出來，讓學習真正發生。

數學知識的學習是相互聯系、螺旋上升的，數學教材的編排有內在的知識體系和邏輯建構，教師只有不斷挖掘教材內涵，引導學生層層深入地進行學習探究，才能落實教學目標。比如，在小學數學中要學習平面圖形面積的計算，一般是先學習平行四邊形、三角形的面積計算，然后學習梯形面積的計算。因此學生在學習梯形面積的計算時，已經具備一定的平面圖形面積的計算方法。教材中的例題列舉了一種推導梯形面積公式的方法，即通過將梯形組合成學生已學習過的平行四邊形進行計算，這種方法學生比較容易理解，但是在教學中如果止步于此，是遠遠不夠的。

數學公式的推導一般是由易到難，采用將復雜問題進行轉化的方法，從而實現化繁為簡。在推導梯形面積計算公式時，既然學生已經有了計算其他平面圖形面積的經驗，那么教師就可以采用轉化的方法實現問題的解決，讓學生在推理過程中通過數學活動進一步積累歸納、對比等數學思想。教師還要進行學習任務的優化設計，嘗試引導學生通過多種方法解決這一問題，將這一學習任務變成一個開放性的任務，讓學生能夠充分地討論、探究和思考。學生在合作學習中充分發揮能動性，能提升思維的創新性，實現數學能力的提升。

二、設計學習任務，引導合作探究

學習任務的優化設計是學生參與體驗活動的前提，只有讓學生在體驗中親身感受知識的產生過程，才能喚醒學生對知識的探究興趣。比如，在教學面積的單位時，教師可以充分利用周圍的條件進行活動設計。筆者利用學生熟悉的環境設計了一個實踐任務：學校打算將教室進行重新裝修和粉刷，假設每桶涂料能夠粉刷60平方米的面積，請問一共需要購買多少桶涂料才能完成學校所有教室的粉刷？這樣的實踐任務需要學生進行分組合作設計出最合理的方案。學生充分發揮能動性，分組合作，采用了巧妙的丈量方法，比如利用地面面積和天花板面積進行等式轉換，利用長的竹竿測量墻的長度和寬度等。學生在分工合作、相互配合下，很快測量出有效的數據。

因此，只要教師的任務設計合理，給予學生探究的時間和空間，學生學習的動力就會被充分激發出來，在合作探究中激發出新的智慧。

案例2? 梯形面積的計算

1. 溫故知新，激活已有經驗

師：計算平面圖形的面積是數學中的一項重要知識，你們會計算哪些圖形呢？

生1：我會計算平行四邊形的面積和三角形的面積。

師：很好，這些圖形的面積公式都是推導出來的，你們還記得是如何推導出來的嗎？采用了哪些推導方法呢？

生2：我們使用了轉化法。

師：是的，數學學習中有許多常用的思想方法，轉化法就是其中之一。那么今天我們將要推導梯形的面積公式，你們能不能從轉化法中得到一些啟發呢？

2. 觀察分析，嘗試解決方案

師：同學們，仔細觀察黑板上的梯形，想一想我們怎樣利用學過的計算圖形面積的方法來計算梯形的面積呢？

生3：雖然梯形與我們已經學過的平行四邊形和三角形不同，但是我們可以這樣進行分割（如圖1），就能得出梯形的面積。

生4：我們還可以進行如圖2的分割方法，通過分別計算三角形和平行四邊形的面積，從而得到梯形的面積。

生5：剛才都是將梯形進行分割，我可以進行增補，在原來的梯形旁邊加上1個一樣大的倒著放的梯形，這樣就拼成了1個平行四邊形。通過計算平行四邊形的面積，再平均分成2份，其中1份的面積就是原來梯形的面積（如圖3）。

師：大家的回答真是太精彩了！剛才我們通過很多方法都能計算出梯形的面積，但是這樣計算太麻煩了，不可能每次都這樣計算。梯形面積能不能像三角形和平行四邊形一樣可以直接計算呢？

3. 獨立思考，合作交流探究

（1）在思考中嘗試探究

任務要求：每個小組用紙裁剪出1個梯形，通過將梯形進行分割、剪裁、拼接的方法計算出梯形的面積，然后通過計算結果推導出面積公式，最后各小組在討論交流的基礎上匯報討論的過程和成果。

（2）在合作中交流辨析

第一小組：如圖4，我們組將2個完全一樣的梯形拼接成1個平行四邊形，通過觀察我們可以發現，平行四邊形與梯形同高，平行四邊形的底為梯形上下底的和。我們已經知道如何計算平行四邊形的面積，由此就可以推導出梯形的面積公式。

第二小組：我們還有另外一種分割的方法，如圖5所示，將梯形分割成2個三角形。通過觀察可以發現三角形的兩條底邊就是梯形的上底和下底，那么三角形的面積是底邊乘高除以2，利用梯形的上底、下底和高就可以推導出梯形的面積公式。

第三小組：如圖6，我們用的是剪拼的方法，即將梯形兩條腰的中點連接，沿著這條連接線剪開后將原來的梯形分割成了2個梯形，并將剪下來的2個梯形拼在一起，就變成了1個平行四邊形。接下來和第一組推導的方式相同，運用平行四邊形的面積公式推導出梯形的面積公式。

第四小組：我們還有另外一種剪拼方法，如圖7，沿著梯形兩條腰的中點作垂線，并將其剪開，經過旋轉可以形成1個新的長方形。觀察圖片可知已知長方形的長和寬與梯形底和高之間的關系，由此根據三角形的面積公式，可以推導出梯形的面積公式，和上面幾組同學的結果是一樣的。

師：同學們的方法都很好，那么大家有沒有想過這些方法有什么共同點呢？

生6：這些推導方法都是借助我們已知的三角形或者平行四邊形的面積公式進行推導的，是一種數學轉化思想，而且都是通過拼接或者組合的方式進行轉化的。

這時學生學習的熱情被點燃了，注意力都集中在課堂上。在相互交流中學生的學習熱情高漲，教室里充滿了濃厚的學習氛圍。學生的思維相互碰撞，產生了新的火花，每個人都在分享中收獲了知識，掌握了學習方法。

在這一案例中，學生能夠推導出梯形面積公式的主要原因有：一是通過學習平行四邊形和三角形面積的計算方法，已經具備了圖形面積計算和推導計算公式的基礎；二是在教學活動的設計中，教師為學生創設了交流學習的時間和空間，使學生能夠在深度探究中激活思維，運用知識解決問題。面對學生的多種解決方法，教師能夠及時關注課堂生成，進行引導追問，使學生將習得的知識和方法進一步鞏固和升華，形成自己的認識，由此發展自身的思維能力。

三、反思教學過程，讓學習真正發生

1. 激發參與熱情，在活動體驗中學習

深度探究的主體是學生，探究的載體是學習活動。教學活動的設計要尊重學生的主體地位，激發學生的參與熱情，使學生在活動過程中獲得知識和情感的體驗，從而內心產生感悟。要使學習真正發生，學生需要由被動學習轉向主動學習，因此教師要落實學生的主體地位，創設學生體驗活動的情境，使學生在活動中感受和探究知識發生、發展的過程。在進行梯形面積推導公式教學時，教師要通過開放性的設問和實踐操作活動，引導學生積極思考，探究多種解法。在這一探究活動中，教師充分激發了學生學習的自主性，讓學生靈活運用知識解決復雜的問題，并自然地滲透了數學轉化的思想。學生在活動中體會到面對學習中的障礙和問題時應該怎樣尋求解決的方法，在探究過程中體驗消除困惑、解決問題以及收獲成果的喜悅。

2. 引導深度思考，體會知識遷移與應用

知識的遷移與應用是提高學習的一種重要的能力。知識遷移是對頭腦中已有的經驗的擴充與提升，知識應用是將頭腦中已有的知識進行具體應用的能力。這一過程是學生學習真正發生的體現，在應用中反映知識的遷移。學生在研究梯形面積公式的推導時，已經具備了三角形面積推導的經驗，因此將已有的知識經驗進行遷移和應用就能推導出新的知識。平面圖形的面積計算具有內在的相關性，自主推導計算公式的活動發展了學生思維的深刻性。學生通過拼接、剪裁等方式，主動遷移和應用知識，激發了學習的主動性、積極性、自覺性，逐漸理解數學之美。

3. 合作探究學習，在交流辨析中生成智慧

深度探究的關鍵環節是交流與辨析，在交流思辨中可以生成新的智慧。學生在活動體驗中進行對話溝通，并且通過思考辨析，能夠實現深度交流，從而生成智慧的火花。在學習交流的過程中，教師要創設平等和諧的課堂氛圍，實現師生之間、生生之間的互動，讓學生在輕松的氛圍中能夠自由發表自己的看法，從而在思想認識上產生共鳴；對于探究中產生的不同意見，教師要引導學生在充分討論后逐漸形成共識，鞏固學生的認識，從而不斷提升學生分析、解決問題的能力，增強學生之間的合作精神。在上述推導梯形面積公式的案例中，經過兩次小組交流，能激發學生學習的動力，促進學生更加深入地學習。

在學生深度探究學習的過程中，教師要不斷優化學習任務，讓學生在應對挑戰任務時不斷豐富體驗、收獲知識。在教學中教師要充分發揮引導作用，做好教學任務的設計，激發學生的探究興趣，并將數學課堂學習與實際生活相聯系，不斷增強學生學習的信心。探究學習可以增強學生知識遷移和運用的能力，提升辨析思維的品質，讓學習真正發生。