由一道中考壓軸題聯想到的“最值”求解策略

摘要：最值問題是近幾年來中考數學命題的熱點之一，其考查方式也是多種多樣，更是多元化的，問題展示過程靈活，綜合性強，是考查學生分析問題和解決問題能力的主要題型.本文中就連云港市中考填空壓軸試題的剖析，針對初中階段出現的幾種最值問題進行策略分析研究.

關鍵詞：初中數學；中考壓軸；最值；求解策略

“最值問題”是近年來中考數學的必考題型，也是壓軸題中的必選之題.遇到此類問題，學生往往無從下手，掌握此類常見問題的解題策略會更容易找到問題突破口，便于解題.本文中將從巧用“配方法”“判別式”“公理”“函數”“平移”“模型” “旋轉”“構造”“分割”等對一些特殊式子或線段（和或差）的最值問題進行剖析.

例如，2023年連云港市中考數學試題中的一道填空題：若W＝5x2-4xy+y2-2y+8x+3（x，y為實數），求W的最小值.

分析此問題，顯然常規解法不能完成解答，對于含有兩個未知數的代數式最值問題，需要對代數式進行變形，將各個單項式之間的聯系轉化為完全平方式，再利用配方法把原式整理為“平方+常數”的形式，這樣就可以確定此代數式的最值.故W=5x2－4xy+y2－2y+8x+3=（4x2－4xy+y2）－2y+x2+8x+3=（2x－y+1）2+（x+2）2－2.因為x，y均為實數，所以（2x-y+1）2≥0，（x+2）2≥0，故W≥-2，即W的最小值為-2.

當然，求解最值問題并不是只有簡單的代數式的轉化，還有更多的方法可以利用，下面就針對初中階段“最值問題”的解法進行系統歸納，便于大家學習利用.

1 巧用“判別式”求代數式的最值

對于上述類型的代數式，可以利用其特點將代數式合理分配形成“完全平方式”再轉化為“平方+常數”的形式求解，如上述解析過程.

研析：此類問題可以利用代數式與方程之間的內在聯系，轉化為方程，再利用判別式判斷其最值問題.

解法如下：由題意，得5x2+（8-4y）x+y2-2y+3-W＝0.因為x為實數，所以Δ=（8-4y）2-20（y2-2y+3-W）≥0，則5W≥（y+3）2-10≥-10，于是W≥-2.故W的最小值為-2.

2 巧用“公理”求線段最值

常見的最值問題往往體現在“兩點之間線段最短”“垂線段最短”“三角形三邊之間的關系”等方面，巧妙利用這些公理性質可破解最小值問題.

例1" 如圖1，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，E為BC上一點，連接DE，將△CDE沿DE折疊，點C落在C′處，連接AC′，若F，G分別是AC′，AB的中點，求FG的最小值.

研析：根據已知條件，如圖2所示作輔助線，由勾股定理和折疊的性質可求得BD＝13，CD＝C′D＝5.由三角形的三邊關系，得C′B＞BD-C′D.根據兩點之間線段最短，則當點C′在DB上時，C′B的最小值為BD-C′D＝8，由三角形的中位線定理求解.

3 巧用“函數”求坐標系中動點間距離的最值

例2" 如圖3，在平面直角坐標系中，二次函數y＝-x2+2x-c的圖象與x軸交于點A（-3，0）和點B（1，0），與y軸交于點C.二次函數圖象的對稱軸與直線AC：y＝x+3交于點D，若M是直線AC上方拋物線上的一個動點，求△MCD面積的最大值.

研析：如圖4，作MQ⊥AC于點Q，作ME⊥AB于點F，交AC于點E，先求出拋物線的對稱軸，進而求得點C，D坐標及CD的長，從而得出過點M的直線y＝x+m與拋物線相切時，△MCD的面積最大.根據x+m＝-x2-2x+3的Δ＝0求得m的值，進而求得點M的坐標，再求得CD上的高MQ的值，即可得出結果.

4 巧用“平移”求相離線段和的最值

在遇到幾何線段沒有相互連接時，求其和的最值往往在問題的基礎上利用平移作輔助線，讓相離的線段連接在一起，然后再利用相關公理或者性質求解.

例3" 如圖5，線段AC與BD相交于點E，連接AD，BC，若AC=3，BD=2，∠BEC=60°，求AD+BC的最小值.

研析：顯然，AD和BC沒有連接在一起，這就需要將這兩條線段經過變化使之相連，此時我們想到利用“平移”.如圖6，將AD沿著AC平移至CF處，求AD+BC的最小值即求BC+CF的最小值.再連接BF，DF，過點B作BG⊥DF，垂足為G，根據條件可得∠DBG=30°，DG= 12BD=1，BG=32BD，易得GF的長.最后利用“兩點之間線段最短”可判斷BC+CF的最小值.

5 巧用“模型”求線段和（差）的最值

求線段和（差）的最值的問題，常常用到“將軍飲馬”“隱圓”等模型，結合已知條件，將問題先轉化為某種“模型”再來解得相關問題，化難為易.

例4" 如圖7，正方形ABCD的邊長是6，E是AD邊上一動點，連接BE，過點A作AF⊥BE于點F，P是AD邊上另一動點，求PC+PF的最小值.

研析：如圖8，取點C關于直線DA的對稱點C′.以AB中點O為圓心，OA為半徑畫半圓.連接OC′交DA于點P，交半圓O于點F.

由以上作圖可知，AF⊥EB.PC+PF＝PC′+PF＝C′F，由兩點之間線段最短可知，此時PC+PF最小.由C′B′＝6，OB′＝9，得C′O＝62+92=313，則C′F＝313-3.

故PC+PF的最小值為313-3.

6 巧用“旋轉”求多條線段和的最值

此類問題實質上就是“費馬點”問題，它是到三角形ABC三個頂點的距離之和最小的點P，即求PA+PB+PC的最小值.遇到此類形式的問題，我們通常考慮將某三角形旋轉60°，將三條線段轉化到同一條直線上，再利用兩點之間的直線段最短進行判斷，從而突破最值問題.

例5" 如圖9，P是△ABC內的一點，連接PA，PB，PC，試求PA+PB+PC的最小值.

研析：如圖10，將△APC繞點A逆時針旋轉60°到△AP′C′，則可以構造出等邊三角形APP′，從而得到AP=PP′，CP=C′P′，于是將PA+PB+PC的值轉化為PP′+PB+P′C′的值，則線段BC′的長即為所求的最小值.

7 巧用“構造”求“PA+k·PB”型線段的最值

此種類型問題是“PA+PB”最值問題的拓展，涉及的相關內容是“阿氏圓”問題，通常以動點P的運動軌跡來分類，一般分為兩類，即點P在直線上運動和點P在圓上運動.

例6" 如圖11，⊙O的半徑為r，點A，B都在⊙O外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB，連接PA，PB，則當PA+k·PB的值最小時，點P的位置如何確定？

研析：如圖12，在線段OB上截取OC，使OC=k·r，則可證明△BPO∽△PCO，即k·PB=PC.故求PA+k·PB的最小值可以轉化為求PA+PC的最小值.因為A，C為定點，P為動點，所以當點P，A，C共線時，PA+PC的值最小.

綜上所述，只有熟練把握不同形式的最值問題，搞清楚其中的關系，采用相對應的突破策略，才能化難為易.把握解決問題的策略，不僅僅是數學新課程標準的要求，更是課程改革在數學學科的一種能力體現.不斷探索有效的解題方法與策略，開拓學生解題思維，有利于全面提升學生數學綜合素養.