基于核心素養培養背景下的三角函數的教學研究

摘 要：三角函數是最復雜的基本初等函數，通過學習和研究三角函數的基本內容和概念性質可以為解決周期性變化規律的問題打下基礎。在教學中，教師要主導學習的目標和方向，積極引導學生理解概念，深刻體會周期性在函數性質中的滲透，熟練掌握三角變換以及三角函數的性質，加強數學核心素養的培養。

關鍵詞：三角函數；核心素養；三角變換；圖像性質；數形結合；周期性

中圖分類號：G633.6"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1673-8918（2024）04-0085-04

三角函數是基本初等函數，它是描述周期現象的重要數學模型，在教學和其他領域中都具有重要的作用。從高中三角函數的教學內容來看，滲透了邏輯推理、直觀想象、數學計算等核心素養，學習三角函數對發展學生的全面素養具有非常重要的意義。

學習目標和素養能力的培養，特別強調以下幾點：第一，把角放在坐標系中研究，使對角的研究有一個統一的載體，通過對各種角的表示法的訓練，提高學生分析、解決問題的能力。教學應始終貫穿著旋轉、對稱變換及數形結合的思想方法，要重視數學思想方法的滲透。第二，三角函數的圖像與性質教學應該從以下幾個方面入手：①教周期函數的一般研究思路和方法。三角函數是刻畫周期現象的函數模型，應教會學生研究周期現象的一般方法：在一個周期內研究性質，該函數在其他周期內重復基本周期區間的性質；以周期性為抓手，真正理解三角函數的單調性、對稱軸、對稱中心的性質。②教“真難點”，通過三角函數的圖像變換，理解掌握正弦型、余弦型、正切型的函數的圖像性質。通過圖像變換的學習，培養從特殊到一般，從具體到抽象的思維方法，從而達到從感性認識到理性認識的飛躍。③教數形結合，應重視單位圓的教學，單位圓不僅僅說明了三角函數定義和繪制圖像，還可以借助單位圓的直觀特點，來很好地幫助學生理解正弦函數、余弦函數的周期、最值、誘導公式、單調性、奇偶性等性質，又能更好地反映問題本質。

下文對三角函數知識追本溯源，引導學生領悟技巧和方法。首先，終邊角、區間角的表示，知識都是起源β=α+k·360°，k∈Z這個公式的知識形成（表示形式不唯一）。熟練掌握把任意角化為α+k·360°，k∈Z且0°≤αlt;360°的形式。通過角的合并，記住以下規律：①終邊在一條射線上時，其角的集合為：｛α｜α=θ+k·360°，k∈Z｝；②終邊在一條直線上時，其角的集合為：｛α｜α=θ+k·180°，k∈Z｝；③終邊在兩條相互垂直的直線上時，其角的集合為：｛α｜α=θ+k·90°，k∈Z｝。上述公式中的θ表示終邊落在該直線（射線）上的任意角。記住這些終邊角的位置，并學會用旋轉的方法來表示終邊角和區間角。比如k·180°+135°，k∈Z就可以看作是k·180°，k∈Z終邊角（x軸）沿逆時針旋轉135°得到的。

三角函數定義，搞清楚自變量是角的弧度數；三角函數值只和角的終邊位置（從原點出發的一條射線）唯一相關，當角的終邊所在象限有多種情況時，必須分象限來討論。如圖，在坐標系中引入了單位圓，我們就可以用正弦線、余弦線、正切線來表示一個角的正弦值、余弦值、正切值。

余弦線、正弦線和正切線。這里體現了數形結合思想，以“形”顯“數”，方向和坐標軸正方向同向為正，方向和坐標軸負方向同向為負。三角函數線的引入，讓三角函數值變得直觀起來，有了三角函數線，我們就可以動態地觀察三角函數值的變化和變化規律，利用三角函數線來解三角方程和三角不等式非常便利。

解：畫出三角函數線如圖。

公式的常用變式如下：

1. tanα±tanβ=tan（α±β）（1tanαtanβ）；sin2α

分析：由于β=（α+β）-α（用給值角來表示求值角），根據已知利用兩角差的正切函數公式即可計算求解。

（2）（1+tan19°）·（1+tan26°）=nbsp;"" 。

分析：先把所求展開，再根據兩角和的正切的變形即可求解。

解：因為（1+tan19°）·（1+tan26°）

=1+tan19°+tan26°+tan19°tan26°

=1+tan（19°+26°）（1-tan19°tan26°）+tan19°tan26°

=1+1-tan19°tan26°+tan19°tan26°

=2；

故答案為：2。

A，ω，φ，三個特征參量，每種圖像變換前后的解析式只改變一個特征參量，相位變換前后的解析式只改變φ，周期變換的前后解析式只改變ω，振幅變換的前后解析式只改變A，通常的變換順序為：相位（平移）變換→周期變換→振幅變換。

1. 求解三角函數的值域（最值）常見四種類型：

（1）形如y=asinx+bcosx+c的三角函數化為y=Asin（ωx+φ）+c的形式，再求值域（最值）；

（2）形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數，可先設sinx=t，化為關于t的二次函數求值域（最值）；

（3）形如y=asinxcosx+b（sinx±cosx）+c的三角函數，可先設t=sinx±cosx，化為關于t的二次函數求值域（最值）；

（4）形如y=asin2x+bcos2x+csinxcosx+d的三角函數，“降冪化一”化為y=Asin（ωx+φ）+c的形式，再求值域（最值）。

5. 由圖像寫函數的表達式的問題。

y=Asin（ωx+φ）+h類型，一般先求h，再求A，再由T求ω，最后求φ。

（2）A=M-h；

（3）再由T求ω；

（4）最后用求φ方法求φ。

解析：因左右平移變換是對自變量x本身“左加右減”。故應先把兩函數化為下列形式：

α，即：

為了更好地落實核心素養的培養目標，教師要積極地引導學生進行深度學習；所謂深度學習，就是指在教師引領下，學生圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與，體驗成功、獲得發展的學習過程。深度學習已經成為新時代高中數學教學得以更好發展的必然途徑，也是學生學習能力提升和核心素養培養的堅實保障。教師在三角函數這一部分的教學中，圍繞教學重點難點，可以組織探究式教學活動，引導學生在活動中實現自主探究與思考，由表及里，從而有一個深入、充分、多元和豐富的學習體驗，達到鍛煉自身數學思維的目的，讓核心素養的培養得到有效落實。

參考文獻：

［1］林麗娟.深度學習與核心素養的融合——高中數學活動課教學的新思路分析［J］.高考，2023（28）：9-11.