高中數學自主學習研究

【摘要】“開放性”問題是高考中一種靈活性很高的問題，這類問題通常對題目中的某一條件進行創新設計，要求學生能夠快速抓住問題的關鍵點，面對不同的補充條件運用基礎的數學知識和技巧進行解答，考查學生對于數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗這“四基”的掌握情況.本文以三角函數與解三角形的“開放性”問題為例，列舉兩道例題進行分析解答，以期幫助學生對解答“開放性”問題的方法與技巧有更深的了解，在解題時能夠靈活應用，舉一反三.

【關鍵詞】高中數學；三角函數；解三角形

以三角函數及解三角形為背景的開放性問題是一種創新性很高的題型，題目條件多變，解答方法靈活，對解題的技巧性要求較高.要求學生擁有獨立思考的能力和自主學習研究的方法，能夠從不同視角對問題進行切入分析，抓住問題的關鍵點，然后綜合運用已學的基礎知識和思想方法，選擇最合適的補充條件進行解答.在這一過程中，學生需要根據自己所擅長的解題方法，對給出的多個補充條件進行快速推理判斷，給不同層次、水平的學生提供了更加充分發揮數學能力的空間以及獨立思考的機會，很好地提升了學生思維的靈活性與開放性.

例1" 已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中a=2，且△ABC的面積也為2.請在以下兩個條件中任選一個，作為補充條件求出b的值.

（1）acosB=bsinA；

（2）b2+2ac=a2+c2.

分析" 對于這類任選條件的開放性問題，要充分理解題設條件和備注的要求，從給出的幾個待選條件中任意選擇其中的一個條件，將試題補充完整，然后結合題干已知的條件來分析與解答即可.作為例題講解，我們這里對兩個條件的解題思路都作分析.若選條件（1），則利用正弦定理進行化簡，求得tanB后，再得到B，然后利用三角形的面積公式求得c，再利用余弦定理求得b；若選條件（2），則利用余弦定理化簡，求得cosB后，再求得B，然后同理利用三角形的面積公式求得c，再利用余弦定理求得b.

解" 若選擇（1），由正弦定理得sinAcosB=sinBsinA，

易得tanB=1，B=π4.

又因為S△ABC=12acsinB=2，

sinB=22，a=2，

所以c=22，

由余弦定理得b2=a2+c2－2accosB=4，

所以b=2（負值舍去）.

若選擇（2），由余弦定理得

cosB=a2+c2－b22ac=22，

則B=π4，

同理（1）可求得b=2.

點評" 這道題無論選擇哪一個補充條件，關鍵就是求出B的值，然后根據三角形的面積公式求得c，再利用余弦定理求得b的值.所以不論選擇哪個條件，從哪個角度進行切入分析，都是要為求出B值這一目的而服務.因此在思考的過程中，就需要根據題干中已知條件的特點，對2個待選的補充條件進行快速分析推理，選擇最方便快捷求出B值的條件即可.這一過程要求我們對三角函數與解三角形的知識有非常深入的研究和理解，對這一類開放性問題的變化形式也要多記多看，做到心中有題.

例2" 在△ABC中，已知角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中a=26，b+c=6，請在以下兩個條件中任選一個，作為補充條件求出△ABC的面積.

（1）asinB=bcosA+π6；

（2）（a+b）（sinA－sinB）=（c－b）sinC.

分析" 解答三角函數與解三角形開放性問題的過程中，正弦定理或余弦定理的選擇是其中的關鍵.利用正弦定理可解決這兩類三角形問題：一是已知兩角和一角的對邊，求其他邊或角；二是已知兩邊和其中一邊的對角，求其他邊或角.而利用余弦定理則可以解決以下兩類三角形問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊或角；二是已知三邊求角，注意這兩種情形下的三角形是唯一確定的，其解也是唯一的.作為例題講解，我們這里對兩個條件的解題思路都作分析.若選條件（1），則利用正弦定理化簡，求得cosA后得到A的值，然后根據題目中給出的a，b，c之間的等量關系，求得bc的值，再利用三角形的面積公式求出△ABC的面積；若選條件（2），同樣是利用正弦定理化簡，求得tanA后得到A的值，然后根據a，b，c之間的等量關系，求得bc的值，再利用三角形的面積公式求出△ABC的面積.

解" 若選（1），由正弦定理得：

sinAsinB=sinBcosA+π6，

而sinB≠0，

所以sinA=cosA+π6，

化簡得tanA=33，

而A∈0，π，

所以A=π6，

又因為a2=b2+c2－2bccosπ6，

a=26，b+c=6，

所以bc=b+c2－a22+3=24－123，

所以S△ABC=12bcsinA==6－33，

若選擇（2）=2＼*GB3＼*MERGEFORMAT，由正弦定理得（a+b）（a－b）=（c－b）c，

即b2+c2－a2=bc，

則cosA=12，

而A的取值范圍為0，π，

所以A=π3，

又因為a2=b2+c2－bc=b+c2－3bc，

a=26，b+c=6，

所以bc=4.

所以S△ABC=12bcsinA=12×4×32=3.

點評" 在例1中，無論選擇條件 （1）還是條件 （2），最后解得的b值是相同的，因為解答的最后步驟都是利用三角形的面積這一個公共已知條件來求出答案，因此當B的值相同時，最后解得的b值必然是相同的.而在例2中，選擇不同的補充條件時，最終求得的三角形的面積是不同的，這也是我們在解答這類問題時需要注意的點，有時不能通過同時求出兩個補充條件的答案來檢驗自己的作答是否正確.

結語

在創新的學習環境中，學生需要具備一定的自主研究學習能力，這樣他們才能夠基于已學的知識基礎，以創新的方式來理解知識點，構建知識框架，解決疑難問題，最終實現對知識的創造性理解和認知.這樣既可以在遇到已見過的問題時輕松作答，也可以在面對新題型的時候舉一反三.

參考文獻：

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