合理構(gòu)建坐標(biāo)系，方程間轉(zhuǎn)化應(yīng)用

【摘要】本文結(jié)合實(shí)例，以參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程之間的互化為基礎(chǔ)，探尋并研究高考坐標(biāo)系與參數(shù)方程部分的考查形式與方向，總結(jié)類型，形成框架，構(gòu)建體系，引領(lǐng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)與高考復(fù)習(xí)備考．

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；參數(shù)方程；坐標(biāo)系

作為高考選考題之一，“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”模塊的考查方式以解答題為主，往往通過兩小題來設(shè)置，解答此類問題的關(guān)鍵是能夠初步理解直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系等相關(guān)概念以及坐標(biāo)系的構(gòu)建，還有對應(yīng)點(diǎn)的位置的表示，理解并掌握參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的相關(guān)意義，以及不同方程之間的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，并能用來解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題等．

1" 不同方程間的轉(zhuǎn)化問題

坐標(biāo)系與參數(shù)方程中，基本知識與應(yīng)用都離不開極坐標(biāo)系、參數(shù)坐標(biāo)系、平面直角坐標(biāo)系這三個(gè)基本坐標(biāo)系，對應(yīng)極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程這三個(gè)基本方程，以及兩兩之間的聯(lián)系與等價(jià)轉(zhuǎn)化．

例1" （2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷·22）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=2+t6y=t（t為參數(shù)），曲線C2的參數(shù)方程為x=－2+s6y=－s（s為參數(shù)）．

（1）寫出C1的普通方程；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C3的極坐標(biāo)方程為2cosθ－sinθ=0，求C3與C1交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及C3與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)．

分析" （1）根據(jù)曲線C1的參數(shù)方程，消去參數(shù)t，結(jié)合關(guān)系式的變形與化簡，通過整理求得對應(yīng)的普通方程；（2）根據(jù)條件，將曲線C2所對應(yīng)的參數(shù)方程、曲線C3所對應(yīng)的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的普通方程，通過聯(lián)立方程組求解對應(yīng)的解，進(jìn)而確定相關(guān)曲線交點(diǎn)的直角坐標(biāo)．

解" （1）由C1：x=2+t6y=t（t為參數(shù)），

消去t得x=2+y26，

所以C1的普通方程為y2=6x－2（y≥0）；

（2）由C2：x=－2+s6y=－s（s為參數(shù)），消去s得C2的普通方程為

y2=－6x－2（y≤0），

由C3：2cosθ－sinθ=0，

可得2ρcosθ－ρsinθ=0，

則2x－y=0，

由y2=6x－2，2x－y=0，

解得x=12，y=1，或x=1，y=2，

所以C3與C1交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為12，1和（1，2）；

由y2=－6x－2，2x－y=0，，

解得x=－12，y=－1，或x=－1，y=－2，

所以C3與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為

－12，－1和－1，－2．

點(diǎn)評 "此類問題以直線、圓或圓錐曲線為問題背景，借助不同的坐標(biāo)系背景并加以融合，體會(huì)在極坐標(biāo)系、參數(shù)坐標(biāo)系、平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)、曲線等的位置、聯(lián)系與區(qū)別，解答此類問題的關(guān)鍵是理解與掌握極坐標(biāo)方程、參數(shù)坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程的互化與應(yīng)用，主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等．

2" 參數(shù)方程及應(yīng)用問題

參數(shù)方程有著相應(yīng)的基本概念與對應(yīng)的幾何意義，特別是點(diǎn)、直線、圓以及圓錐曲線，借助參數(shù)的幾何意義，進(jìn)一步加以簡單的綜合與應(yīng)用．

例2" （創(chuàng)新題）在極坐標(biāo)系中，圓C：ρ=4cosθ．以極坐標(biāo)系中的極點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，過點(diǎn)M（－1，－33）的直線l的傾斜角為α．

（1）試求直線l的參數(shù)方程，以及圓C的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且A為線段MB的中點(diǎn)，求α的大小．

分析" （1）根據(jù)題設(shè)條件，由過定點(diǎn)的直線所對應(yīng)的傾斜角直接確定對應(yīng)直線的參數(shù)方程；結(jié)合圓的極坐標(biāo)方程的等價(jià)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，通過轉(zhuǎn)化公式來確定圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）通過對應(yīng)點(diǎn)的參數(shù)的設(shè)置，將直線l的參數(shù)方程代入相應(yīng)圓C的方程中去，消參得到相應(yīng)的二次方程，結(jié)合參數(shù)的幾何意義來綜合與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)問題的解決．

解" （1）依題可得直線l的參數(shù)方程為

x=－1+tcosαy=－33+tsinα（t為參數(shù)，0≤αlt;π）.

由圓C：ρ=4cosθ，

可得ρ2=4ρcosθ，

利用公式ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，

所以x2+y2=4x，

即（x－2）2+y2=4，

可得圓C的直角坐標(biāo)方程為（x－2）2+y2=4；

（2）設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，

將直線l的參數(shù)方程中相關(guān)的坐標(biāo)參數(shù)代入圓C的直角坐標(biāo)方程中，

并化簡整理可得t2－6t（3sinα+cosα）+32=0，

判別式Δ=363sinα+cosα2－4×32gt;0①，

所以tA+tB=6（3sinα+cosα）=12sin（α+π6），

tAtB=32，

又A為MB的中點(diǎn)，

所以tB=2tA，

代入tA+tB=12sinα+π6

有tA=4sinα+π6，

可得tAtB=2tA2=32sin2α+π6=32，

即sin2α+π6=1，

因?yàn)?≤αlt;π，

所以π6≤α+π6lt;7π6，

從而α+π6=π2，

解得α=π3，

又α=π3滿足①式，所以所求α=π3．

點(diǎn)評" 涉及參數(shù)的幾何意義的構(gòu)建與應(yīng)用，往往是考查中的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn)．抓住直線、圓錐曲線中參數(shù)方程所對應(yīng)的參數(shù)的幾何意義，可以使相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題得以快速解決．

結(jié)語

“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”模塊的考查，主要考查的是極坐標(biāo)方程坐標(biāo)、參數(shù)以及直角坐標(biāo)方程這三類方程之間的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，合理融入函數(shù)與方程、不等式、三角函數(shù)以及解析幾何等相關(guān)知識．試題難度中等，重在邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算等方面核心素養(yǎng)的考查，以及對應(yīng)數(shù)學(xué)思想方法與技巧的應(yīng)用等．