追求數學本質的概念課教學策略探究

【摘 要】 數學課程標準要求課程內容要進行結構化整合，意味著數學的教學不僅要教知識，更要教結構.數學概念是思維的起點，在概念課教學中應當讓學生通過理解概念是什么、為什么、做什么、怎么做，對概念有全面的認識，挖掘內容背后的數學本質，從而構建結構化的知識體系，發展核心素養.

【關鍵詞】 結構化；概念課；數學本質；教學策略

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準（2022年版）》）強調課程內容在組織上要進行結構化整合［1］，意味著數學教學不僅要關注知識本身，更要注重知識結構.然而在實際教學中，學生雖了解知識間的關系，卻沒有領會其本質聯系，不足以形成結構化的知識體系.這就使得數學的學習從思維走向記憶，失去了數學的靈魂.

由此可見，教學只關注局部，不關注整體，或者只獲得粗淺關系，不分析內在邏輯，都不能實現結構化教學.因此，在數學教學時要挖掘知識發生、發展過程中蘊含的數學本質，揭示其內在邏輯，從而形成深層次的知識關聯網絡，實現知識的結構化.

1 關于數學本質的理解

對數學本質的理解，研究者們從不同的角度發表了看法.《課程標準（2022年版）》中定義數學是研究數量關系和空間形式的科學，是對現實世界的抽象、分析和表達［1］，指出了數學的研究對象和路徑.徐德同［2］認為數學本質是在“知識形成”和“問題解決”過程中產生的數學思想和精神.石志群［3］總結數學本質就是數學內容及其本身所固有的屬性，是能夠區別于其它學科內容的基本特質.綜上所述，所謂數學本質，就是對內容的進一步抽象，反映了其內在邏輯的數學原理、思想方法和研究路徑.

基于上述分析，可以將數學內容到核心素養之間的發展路徑劃分為四個階段，如圖1所示.

第一個階段為學習數學內容，這個階段的學生知道研究對象及其之間的關系，但未領悟其內在邏輯，通過被動訓練或接受來學習，遷移應用、創造能力較弱.

第二個階段為抽象數學本質.這個階段的學生能夠分析具體內容，感悟其中的數學原理、思想方法和研究路徑，理解數學本質，為建構結構化的知識體系做好準備.

第三個階段為組織知識體系.學生通過對數學本質的理解，已將知識重構為結構化的內容和研究路徑，發展了自主發現、探究、應用、創造的能力.

第四的階段為發展核心素養.將已構建的知識體系在抽象、分析、表達現實世界過程中實例化應用和數學化表達，強化知識結構，達成“三會”目標.

根據以上分析，數學本質為數學內容到發展核心素養之間搭建了橋梁，要讓學生構建結構化的知識體系，發展核心素養，教師就應該讓學生透過內容表面，看到數學本質.

2 概念課教學中挖掘數學本質

數學上要研究一類對象就要先研究其概念.數學概念作為思維的起點，在教學中滲透數學本質，是形成結構化知識的重要一環.下面就談一談如何在概念教學中，通過分析研究對象及其聯系，挖掘數學本質，建立結構化知識體系.

在企業管理或數據分析領域，從業者經常會用5W1H分析法（即What，Why，When，Where，Who，How），對問題進行剖析，從而理清其中邏輯，尋求解決途徑.在概念教學中，教師也可以類比這樣的策略，通過分析概念是什么（What）、為什么（Why）、做什么（Where）、怎么做（How），從而剖析概念的來龍去脈，在全面認識概念的過程中，理解其中的數學本質，如圖2所示.

為了更好闡明以上策略，本文以浙教版“一元二次方程”教學為例，基于如圖3所示的本質分析，探討追求數學本質的概念課教學策略和實施過程.

3 追求數學本質的概念課教學策略

3.1 在理解概念內涵中獲得數學本質

讓學生理解概念的內涵是概念學習的第一步.概念的內涵反應了一類對象的本質屬性，是學生數學抽象能力的體現.章飛［4］將概念內涵的教學呈現方式劃分為8種，建議不同類型的概念應選擇適切的教學方式呈現內涵.重要的概念應該采用概念形成或建構的方式，通過探究活動強化學生對概念形成過程的理解.

例如一元二次方程概念的教學中，可以創設符合學生認知的情境，形成一元一次方程和一元二次方程的實例，然后引導學生進行分類，通過類比一元一次方程，得出一元二次方程實例的特征，進而歸納形成概念.在這個概念生成的過程中，學生不僅理解了概念的內涵，而且體會了分類、類比、歸納的數學思想，經歷了概念研究的一般路徑.具體教學策略設計如下：

策略一 分類與類比，概念生成.

問題1：請回答下列問題

（1）小聰有一筆記本，它的寬為x厘米，長為（x+5）厘米，周長為70厘米，則可列方程.

變式1：筆記本的面積怎么表示？若面積是300平方厘米，則可列方程.

（2）商店里，筆記本單價為m元，共賣出9m本，則銷售額為元.

變式2：若銷售額為900元，則可列方程.

設計意圖 通過情境列出代數式、一元一次方程及一元二次方程，一方面引導學生區分代數式與方程的不同，體會方程表達的是未知數與已知數之間的等量關系，另一方面為概念得出提供分類、類比的實例.

問題2：現在黑板上有4個式子，如果老師讓你進行分類，你會怎么分？

問題3：哪些式子我們研究過？一元一次方程具備哪些特征？

問題4：類比一元一次方程，另一類方程有什么特點？根據一元一次方程的的定義，如何給這類方程下定義？

辨析：判斷下列方程是否是一元二次方程.

（1）10x2=9;

（2）2x2+x=1x-5;

（3）2（x-1）=3x;

（4）x2-3x+2;

（5）x22+2=3x;

（6）7x2+2y=0;

（7）（x-2）2=2.

設計意圖 引導學生抓住數學符號的特征進行分類，滲透分類思想，從而進一步直觀地類比分析，得出一元二次方程的特征，歸納形成概念.整個過程學生體會到了分類、類比、歸納的數學思想和一般化的概念研究路徑.

3.2 在分析概念由來中獲得數學本質

數學知識是自然發展、不斷完善的，每一個新概念的出現都有其必然原因.只有分析清楚概念的來龍去脈，揭示其產生的必然性、合理性，才能讓學生對概念有一個縱向的認識，加深理解的同時體會其中的數學本質.

例如一元二次方程的出現，意味著問題中的數量關系不僅有一元一次方程的關系，還存在一元二次方程的關系，其概念產生的根本原因是問題中數量關系的變化，導致了方程的形式變化，部分方程變化后具有統一的特征，數學上將這種特殊的數量關系稱之為一元二次方程.所以一元二次方程就是描述數量關系的一種工具.教學中教師要從這個角度去解讀一元二次方程，讓學生理解一元二次方程的數學本質.

又如教材上直接給出了一元二次方程一般形式的概念，舉了幾個實例后，便直接開始讓學生將一元二次方程轉化為一般形式.但為什么要轉化為一般形式卻沒有說清楚，學生只能機械地進行一般形式的轉化，喪失了追求數學本質的探究精神.為此，在教一般形式這個概念時，可以設計以下教學過程：

策略二 追根溯源，理解意義.

問題5：如果將（x-2）2=2改寫成（x-2）2=x2，它是不是一元二次方程？請小組討論，將你的想法寫下來.

問題6：回顧辨析中，一元二次方程的表現形式很多，不夠統一，若想體現一元二次方程的本質特征.我們可以怎么轉化？

總結1：如果將二次項、一次項、常數項都規定放在等號左邊，使等號右邊為0，并合并同類項，那么形式就比較統一了.

問題7：因此，判斷方程是否為是一元二次方程時，先轉化成ax2+bx+c=0形式，如果是一元二次方程，等式中的a，b，c分別要滿足什么條件？b，c是否可以為0？

問題8：那么，你能判斷（x-2）2=x2是不是一元二次方程了嗎？

總結2：給出一般形式的概念，其反映了一元二次方程的本質特征.

設計意圖 通過判斷（x-2）2=x2屬不屬于一元二次方程這個問題入手，產生認知沖突，引發學生思考一元二次方程的一般化表達，從而得出一元二次方程的一般形式，讓學生對一般形式的意義有深刻的理解，也為后續因式分解法、公式法的學習作必須準備.探究一般形式的過程，學生經歷轉化思維，體會了特殊到一般的思想，感受符號化表達中蘊含的數學之美.

對于（x-2）2=x2屬不屬于一元二次方程這個問題，很多老師避而遠之，與學生閉口不談，而這樣恰恰背離了追求數學本質的初衷.從數學學科體系的視角下，探究可以發現一元二次方程的形式有很多，那么能不能用一種方法將他們統一表示出來？基于這個問題，發現可以將方程轉化成一般形式，這體現了數學符號語言用有限刻畫無限的思想，可以說這種思想是數學不斷發展的動力源泉.

3.3 在認識概念作用中獲得數學本質

雖然純數學的研究不依賴現實中的對象，但數學的起源和發展離不開現實中的實際應用問題，數學教育的目標也指向提高學生在現實情境中解決問題的能力.因此，概念的教學要深度挖掘概念的作用，思考概念的現實和理論意義，從中提煉出共性思維，理解其中蘊含的數學本質.

教學僅僅停留在理解一元二次方程概念的層面，沒有將一元二次方程的魅力完全展現出來，學生就很難體會到學習一元二次方程的意義所在.結合數學史，就可以解釋清楚一元二次方程的產生背景和作用.例如人們發現某些問題采用算術方法，利用逆向思維去解決比較困難，直到代數的出現，人們開始利用未知數，直觀的表示出問題中的等量關系，那么接下來只需要求出未知數的值就能解決問題，而這種解決問題的方法具有通用性.因此一元二次方程的作用就是為了能夠找到復雜問題的一般性解法，簡化求解過程.從這個角度認識一元二次方程，便能不斷體會一元二次方程中體現的正、逆向思維的轉化思想.

此外，當學生認識到一元二次方程的作用，自然而然就會想到求出方程未知數的值，通過類比一元一次方程的解的概念，獲得一元二次方程解的概念，那么不同概念之間聯系緊密，銜接自然，構成的知識網絡更加完善.此處教學策略可以設計如下：

策略三 深度比較，概念派生.

問題9：回顧節始“問題1”的筆記本問題，根據情境列出一元一次方程，可以解決什么問題？如何得到未知數的值？用算術方法可以解決嗎？哪種方法直觀？

問題10：根據情境列出一元二次方程，可以解決什么問題？用算術的方法可以解決嗎？

總結3：提出方程思想.

問題11：我們知道能使方程左右兩邊都相等的未知數的值就是方程的解（或根），那么對于式子9m2=900，有沒有能使方程成立的未知數的值？

問題12：判斷未知數的值x=-1，x=0，x=2是不是方程x2-2=x的根.

變式3：已知一元二次方程2x2+bx+c=0的兩個根分別為x1=1和x2=-3，求這個方程.

設計意圖 透過對幾個真實問題的比較分析，讓學生發現隨著問題情境的復雜化，相比于算術方法，列方程更直觀，解題過程更具一般化.透過類比一元一次方程的解（或根）得出一元二次方程的解（或根）的概念，自然銜接待定系數法求一元二次方程的教學過程.

3.4 在掌握概念運用中獲得數學本質

理解概念的內涵是學習的起點，而利用概念解決純數學或實際問題則是學習的落點.如圖4所示，在應用概念的過程中，學生會不斷回顧概念內涵、由來、作用中抽象的數學本質，并把解決的問題當作具體案例作為支撐，在“具體—抽象—具體”的過程中理解抽象的數學本質.

教材中對概念的應用一般通過例題加變式練習的形式出現.除了必要的鞏固，教學中還應該強調一元二次方程一般形式的轉化原理，實際上這個過程就是利用等式的性質進行移項的過程，與等式的性質建立聯系.進一步可以引導學生發現，一元二次方程雖然形式變化，但解是一樣的，感受其中變與不變的數學思想.一元二次方程一般形式應用過程的教學策略設計如下：

策略四 實踐應用，概念深化.

問題13：把下列一元二次方程轉化為一般形式，并指出它的二次項系數、一次項系數和常數項.

（1）9x2=5-4x;

（2）（2-x）（3x+4）=3.

總結4：在進行一般形式轉化的過程中，你運用哪些知識？對比一般形式和原形式，你有什么體會？（引導體會變中不變的數學思想）

變式4：填寫表1.

設計意圖 通過例題和練習，將一般形式的轉化過程具體化，通過“具體—抽象—具體”的過程不斷強化概念及其中蘊含數學本質的理解.提供較多的一元二次方程的初始形式，豐富學生將一元二次方程轉化為一般形式的經驗，體會變中不變的數學思想.

4 總結與反思

4.1 以概念學習為載體的本質挖掘

概念是數學思維的起點，在概念教學中教師要從數學學科的整體視角，全面分析與概念有關的知識及其內在邏輯，讓學生理解概念是什么、為什么、做什么、怎么做.從四個方面讓學生通過探究對概念形成全面認識，充分挖掘概念發生、發展過程中所蘊含的數學原理、思想方法和研究路徑，獲得數學本質，為進一步形成結構的知識體系搭建“骨架”.如一元二次方程的一般形式，在概念之上更是體現了符號語言用有限刻畫無限、一般化的數學思想，可以聯系到“用字母表示數”中的數學本質.通過“死”的內容，變成“活”的思維，讓概念教學不僅僅是教概念，而是教給學生數學的本質.

4.2 以一般路徑為導向的概念學習

李邦河院士曾表示數學玩的是概念，而不是技巧.由此可見，數學是一門以概念為基礎的學科，對數學概念的理解深度，較大程度上影響著對數學的理解.事實上，數學的概念很多，聯系也很緊密，但仍還有很多未知的概念等待人類去發現和創造.因此，概念的學習結果不應該僅僅是掌握概念本身，而是要學會概念的學習.概念的學習往往是可以通過舊概念來理解新概念的，如一元二次方程的概念學習可以類比一元一次方程，形成概念研究的一般路徑，即分類→類比→歸納→定義，這個一般化的研究路徑還可以應用到新概念的學習或發現中.

4.3 以數學本質為核心的知識結構

以大概念、核心概念為核心構建的知識框架或許比較宏觀，大多數學生僅認識到知識間的淺顯關系，卻不知其內在邏輯，未必能夠關注到知識之間的“細枝末節”，而這些“細枝末節”可能就是發展核心素養的關鍵.因此，可以嘗試以數學本質為核心，通過抽象研究對象之間的關系獲得數學原理、思想方法和研究路徑，搭建起知識體系的“骨架”，并以線帶面地在具體數學內容學習中強化和發展數學本質，形成結構化的知識體系.

4.4 以理解學生為根本的適切處理

雖然對概念進行四個方面的分析，能夠獲得全面的認識，挖掘得到數學本質，但從一元二次方程這節課中可以發現，每個概念的每個方面所蘊含的數學本質是不同的，從整體上看是相對龐雜的.讓學生在一節課中掌握這么龐雜的數學本質是不現實的.例如一元二次方程一般形式的概念，本節課中重點討論的是為什么和怎么做.而對于一元二次方程的作用則采用了類比一元一次方程，比較算術與方程的本質區別，從而便于學生接受.此外，部分概念的作用、運用等往往需要在后續課程中進行體現和理解，比如一元二次方程的應用，一元二次方程的解法等，與概念課是分離的.甚至有些概念的由來是教給學生也暫時不能理解的，有些概念的內涵是暫時難以解釋的.

基于此，要讓學生形成結構化知識體系，既要從四個方面分析內容中的數學本質，也要對教學內容進行適切處理，精心設計基于學生已有經驗的教學過程.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022：1.

［2］徐德同，黃金松.關于“理解數學把握本質”的幾點思考［J］.數學通報，2022，61（03）：37-40.

［3］石志群.數學教學如何突出數學本質［J］.數學通報，2019，58（06）：23-26.

［4］章飛，俞夢飛，顧繼玲.初中數學教科書中概念的呈現方式及一致性研究［J］.數學教育學報，2021，30（05）：21-27.

作者簡介 謝耀聰（1994—），男，浙江杭州人，中學一級教師，碩士;主要從事數學教育研究.