剖析數(shù)學問題，探索數(shù)學本質

摘 要：在初中數(shù)學學習中，學生有時候投入很多精力與時間，但是卻無法充分理解數(shù)學知識的本質，對于一些數(shù)學知識無法深入理解與靈活應用。究其原因，主要是學生沒有掌握有效的學習方法，應用能力較弱，不能深入探究知識的本質。因此，在教學中教師需要以實際問題為引導，讓學生理解數(shù)學知識的本質。以“容器中的水能倒完嗎”為例，探討了基于學生解決問題能力發(fā)展的教學策略。

關鍵詞：初中數(shù)學；解決問題能力；應用能力

作者簡介：陸慧雯（1996—），女，廣西壯族自治區(qū)南寧市第三中學。

學生是一個獨立、多變的個體，學習狀態(tài)隨時會發(fā)生變化，如果不對其進行有效引導，就很難促進其全面發(fā)展。雖然在新課改背景下初中數(shù)學教學模式得到了優(yōu)化，但是仍有部分學生計算能力、解決問題的能力較弱，在生活中無法靈活應用數(shù)學知識解決實際問題，這對學生數(shù)學綜合素養(yǎng)的發(fā)展是非常不利的。為此，教師在教學中必須將理論與實踐相結合，為學生提供多元化發(fā)展的平臺。

一、“容器中的水能倒完嗎”的基本概述

“容器中的水能倒完嗎”是人教版數(shù)學八年級上冊第十五章“閱讀與思考”的內(nèi)容，屬于綜合實踐活動。在本活動中學生需要思考材料中的問題，驗證容器中的水是否可以倒完，并以此為切入點學習如何將書本中的數(shù)學知識應用到生活中解決實際問題，如何利用計算來驗證結果。本課教學的重點是引導學生通過計算，說明實際問題的結果。結合教材知識，我們可設計這樣的教學總目標：分組探索容器中的水是否能倒完；掌握分式裂項公式。能完成第一個目標說明學生可以通過實際操作去感受實驗與數(shù)學推理之間的相同點與不同點；能完成第二個目標說明學生可以通過計算推理出分式裂項公式，并能在后續(xù)的訓練中靈活應用。

下面筆者將以“做中學”為核心，圍繞“容器中的水能倒完嗎”的實踐教學，提出一些培養(yǎng)學生解決問題能力的教學策略［1］。

二、基于學生解決問題能力發(fā)展的教學策略

（一）創(chuàng)設情境，指導學生“做數(shù)學”

學生在學習中，要將知識和技能內(nèi)化后才能靈活應用。而幫助學生內(nèi)化知識與技能是一項長期的、綜合性的教學任務，需要教師活化教學內(nèi)容。在傳統(tǒng)的教學模式中，教師側重于理論知識的講解，很少給學生提供親身經(jīng)歷數(shù)學知識形成過程的機會。這樣，即使教師的講解很精彩，學生由于沒能獲得親身體驗，也很難實現(xiàn)預期目標。就像如果我們只是聽人描述蘋果的味道，自己沒有親自品嘗，就只能在想象層面認識蘋果的味道。因此，在開展“容器中的水能倒完嗎”的活動教學時，教師可采用“做—做中感悟與體驗—主動獲取數(shù)學知識”的教學模式，讓學生通過實際操作和自主驗證得到答案。在“做”這一環(huán)節(jié)，教師可以讓學生自主探索“容器中的水能倒完嗎”活動的數(shù)學本質，從而激發(fā)學生的學習興趣，讓其更好地掌握分式裂項公式的知識，進行深度學習［2］。

在開展“容器中的水能倒完嗎”探究活動教學時，教師可將教學分為六個部分，即溫故、引新、探究、變式、嘗試與提升。在本課教學中，教師需要引導學生回顧舊知，讓其分別用數(shù)學語言和自然語言表述分式運算的基本性質。為了讓學生能更好地應用分式運算的知識解決問題，教師可通過創(chuàng)設真實的生活情境，加深學生對知識的感悟。筆者在教學本課時，學生剛上完體育課。為此，筆者便結合學生的實際情況，創(chuàng)設了“喝水活動”情境，讓學生拿出自己的水杯，分階段喝水。學生第一次需要喝掉水杯中二分之一的水，第二次要喝掉水杯中剩下的水的二分之一，第三次再喝掉剩下部分的二分之一，以此類推。結合這一情境，筆者提出了如下問題：按這樣的方法喝水，多少次能把杯子中的水喝完？

在學生喝水時，筆者認真觀察了學生喝水的過程，并鼓勵學生記錄自己喝水的次數(shù)，發(fā)表看法。隨著喝水次數(shù)的增多，水杯中的水越來越少，到后面很難再進行相應的操作，此時學生提出了兩種看法：（1）喝得完，只是不知道要喝多少次；（2）喝不完，杯中的水總會剩下一點。這自然引發(fā)了學生對實驗局限性的思考，激發(fā)了學生探尋相關問題的數(shù)學本質的興趣。學生通過實驗操作，初步獲得了感性認識，之后還要用理性思考來證明：喝n次水后，杯中的水剩下的量是原水量的，而≠0，所以水永遠也喝不完。創(chuàng)設本次實踐活動情境的主要目的是引導學生回顧之前學過的數(shù)學知識，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生分析數(shù)學問題的能力，讓學生學會建立數(shù)學模型，并為后面開展“倒水活動”教學奠定基礎。

（二）設計問題，引導學生“想數(shù)學”

適當?shù)膯栴}可以在一定程度上激發(fā)學生思考與探究的欲望。在教學中，教師不僅要創(chuàng)新教學方式，還要設計具有挑戰(zhàn)性、啟迪性、層次性的問題，以問題來引導學生探索數(shù)學知識的本質。“容器中的水能倒完嗎”作為數(shù)學實踐教學活動，凸顯的是問題解決的過程，能助力學生求異思維和創(chuàng)新能力的發(fā)展。在本課教學中，學生會經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題”的過程，感受到動手操作、討論學習、歸納總結等教學環(huán)節(jié)的價值［3］。高質量的問題，可以形成高質量的問題鏈，進而促進學生高質量學習?？梢哉f問題的設計在一定程度上決定著課程的教學效果和學生的學習質量。

“容器中的水能倒完嗎”實踐活動給出了如下的問題。

一個容器裝有1 L水，按照如下要求把水倒出：

第一次倒出 L水，第二次倒出的水量是 L的，第三次倒出的水量是 L的，第四次倒出的水量是 L的，以此類推，第n次倒出的水量是 L的。這種倒水的方法，這1 L水經(jīng)過多少次可以倒完？

為了讓學生更好地解決問題，筆者提出了如下問題，以引導學生探究問題形成的過程：回顧剛剛解決的喝水問題，我們除了可從杯中剩余水量的角度思考問題，還能從哪個角度思考問題？

筆者給出了提示：喝完水代表水的剩余量為0，倒出量為1。根據(jù)提示，學生明白可以通過計算倒出量不等于1來論證上述問題。這樣的教學能激發(fā)學生探索數(shù)學問題本質的興趣。

學生活動：進行驗算，嘗試運用不同的解決方法解決問題，并與同桌分享自己的思路。

教師結合問題幫助學生明確思考的方向，并給出學習提示，能幫助學生有效解決數(shù)學問題，讓學生大膽猜想、積極驗證、互相討論，從而提升學生的學習效果。此問題的一個解決思路如下：第一次倒出，剩余1-=；第二次倒出×=，

剩余×（1-）=；第三次倒出×=

，剩余×（1-）=。由此可得，到第n次總共倒出，剩余，進而可得出結論：倒出的水量不可能為1，剩余的水量也不可能為0。換句話說，水是倒不完的。

（三）實踐操作，幫助學生“用數(shù)學”

數(shù)學是一門理論與實踐相結合的課程，被廣泛應用于生活的各個領域，所以在學習中學生不僅要學習理論知識，更要對知識進行實踐探究?！叭萜髦械乃艿雇陠帷笔浅踔袛?shù)學中的一個綜合實踐活動，需要學生通過計算探究分式裂項公式。教學實踐顯示，部分學生由于計算能力和解決問題的能力較弱，在學習時很難找到突破口［4］。在“容器中的水能倒完嗎”一課教學中，為了讓學生掌握相應知識，學會運用知識解決實際問題，筆者設計了如下實踐操作活動。

1.演示教學。為了給學生實踐操作營造良好的環(huán)境，讓學生獲得更好的學習體驗，教師利用信息技術手段輔助教學，演示相應的實踐過程。

2.親自體驗。在學生看完演示視頻后，教師將學生劃分成若干個學習小組，給每個小組發(fā)放兩個帶有刻度的水杯，其中一個裝滿水，另一個為空杯，并讓小組成員按照規(guī)則倒水，以此讓其親自實踐多少次可以將水倒完。隨著倒水次數(shù)不斷增加，水越來越少，操作的難度越來越大，到最后很難再測量倒出的水量。此時學生就會產(chǎn)生兩種想法：水倒得完和水倒不完。

3.討論驗證。學生操作完成后，教師組織學生針對以上兩種觀點進行小組討論，引導學生根據(jù)本課知識進行驗證。

學生根據(jù)驗證結果可得出結論：不管倒多少次水，n值有多大，倒出的水的總量的值總比1小，剩余水量不為0。根據(jù)這個結論不難得出，容器中的1L水是永遠倒不完的。之后教師可引導學生總結相關知識，讓學生學會靈活應用知識解決實際問題。

（四）制造機會，鼓勵學生“講數(shù)學”

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，數(shù)學教學活動應該具有啟發(fā)性，教師要通過多種方式激發(fā)學生的學習興趣，在真實的情境中引導學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題。因此，在進行數(shù)學教學時，教師一方面要重視引導與觀察，讓學生在“做中學”，另一方面要注重鼓勵學生“講數(shù)學”。要想讓學生更好地應用數(shù)學知識解決實際問題，教師就要掌握數(shù)學語言，學會用數(shù)學語言進行表達，以提高學生的學習效果［5］。在“容器中的水能倒完嗎”的教學中，教師不僅要設計操作和思考環(huán)節(jié)，還要設置成果展示與分享環(huán)節(jié)，以此為學生提供“講數(shù)學”的機會。在進行成果展示時，學生可以用數(shù)學語言描述小組學習的過程與結果，也可與小組成員或者教師交流評價成果，從而鍛煉自身的語言能力，加深對數(shù)學知識的理解。為了讓學生“講數(shù)學”的過程更加順利，在交流研討中教師要積極為學生制造機會，給學生預留充足的自主學習與反思時間，抓住教育時機，讓學生自主表達。

例如，在該活動教學的實踐操作環(huán)節(jié)完成后，筆者讓每個小組選一個代表，講一講自己的收獲與理解，并給學生預留10分鐘進行探討、演練。在交流時，有學生提出：“從理論上分析，倒水操作可以有無限次，但是在實踐中，這一操作開展幾次后就難以再繼續(xù)，這樣的實驗有一定的局限性，該如何考量呢？”對此，筆者從微觀的角度給學生做了解釋。學生真正實踐后就會體會到數(shù)學是一門非常嚴謹?shù)膶W科，在探究數(shù)學知識時，必須大膽假設、小心求證、積極進取，認真探索數(shù)學知識的本質。

三、總結

數(shù)學是一門理論與實踐相結合的學科，教師不僅要傳授學生基礎知識，還要讓學生學會在生活中靈活應用數(shù)學知識解決實際問題。本文以“容器中的水能倒完嗎”這一綜合實踐活動課為例，探討了基于學生問題解決能力發(fā)展的教學策略。教師要通過引導學生動手操作、討論等，讓學生推導、概括并驗證分式裂項公式，使學生掌握由特殊到一般的數(shù)學研究方法。在教學實踐中，教師需要為學生創(chuàng)設實踐學習的平臺，幫助學生學習數(shù)學知識，讓學生獲得更好的發(fā)展。

［參考文獻］

［1］高八民.淺議指向初中數(shù)學問題解決能力的教學設計：從一節(jié)數(shù)學課的磨課說起［J］.西藏教育，2022（5）：24-26.

［2］佳澍.讓學生“想說，會說，樂說”：初中數(shù)學課堂教學中培養(yǎng)學生語言表達能力的探索［J］.數(shù)學教學，2022（3）：17-20.

［3］鐘菊紅.在“問題解決”過程中提升學生的學習能力：以“圖形旋轉的復習”教學為例［J］.中學數(shù)學教學參考，2022（8）：76-78.

［4］余芳.初中數(shù)學教學中解決問題能力培養(yǎng)策略探究［J］.智慧少年，2023（15）：176-178.

［5］楊慧.淺談初中數(shù)學教學中問題解決能力的培養(yǎng)策略［J］.中國科技經(jīng)濟新聞數(shù)據(jù)庫（教育）， 2023（4）：89-92.