高中數學教學中數學建模思想的應用策略研究

楊冬英

摘 要：數學是一門有著顯著應用屬性與工具屬性的學科，學生在課堂上學習到的所有理論、公式和定理都可以被應用到實際問題的解決過程中，從這一視角出發也可以說數學本身就是一門為解決實際問題而生的學科。而數學建模思想指的就是依據實際問題來建立數學模型，并結合數學模型來解決實際問題的一種數學解題思想，高中數學中數學建模思想的應用就有助于在培養學生數學學習興趣的同時，實現對學生數學解題能力的提高。而本文主要圍繞高中數學教學中數學建模思想的應用展開，先是介紹了高中數學教學中涉及的數學模型類型，再結合課程需要與學生需求，探究在高中數學教學中，要如何借建模思想來完成對學生各項數學能力的培養。

關鍵詞： 高中數學教學；數學建模思想；應用策略

新課標的提出與新課改的推進將數學課程的教學重點定位在了核心素養上，而高中數學的核心素養可以從六個方面來看，分別是數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學分析和數學運算，數學建模就包含在其中。結合新課標中對數學建模的解釋，數學建模不僅是將數學當作工具來解決實際問題的基本手段，也是推動數學應用的重要形式，無論是對課程的發展還是學生的成長而言，都能夠起到不容忽視的作用。就高中階段數學課程的教學內容和教學追求來看，建模思想在課堂教學活動中的應用能夠更進一步地推動課程的優化和學生的成長，為學生能夠成長為一個高素質應用型人才奠定基礎。而對于高中數學教師而言，如何將數學建模思想融入課堂，利用數學建模思想來更好地設計與開展教學工作才是需要重點思考的問題，教師需要基于數學建模來探究發揮數學實踐價值的策略和路徑。

一、數學建模思想概述

當人們需要從定量的角度來分析和研究一個實際的數學問題時，利用數學符號和語言來建立一個能夠解釋某些客觀現象、預測未來發展規律或控制某一現象發展的虛擬模型就是一件十分必要的事，而數學建模思想實際上就是在這一邏輯下，通過假設來刻畫各個變量和常量之間的數學關系，并建立相對應的數學結構用于求解的一種數學思維模式。簡單來說，數學建模思想就是一種用數學語言來描述實際現象的過程，雖然數學模型本身在特定的意義上就是實際事物的一種抽象表現形式，但相對于以文字形式呈現和說明的理論、公式、定理和規律而言，數學模型也算得上是實際事物的一種數學簡化，能夠代替實際物體來推動數學實驗。在現代社會中，數學建模思想實際上也是社會發展所需高質量、高層次科技人才必須具備的一種思維品質與重要能力，在多個發展領域都能夠起到關鍵且重要的作用。而教師在將數學建模思想應用于課堂，或者說在課堂上培養學生的數學建模思想時，還需要秉持以學生為中心、以問題為主線、以培養能力為目標的基本原則，促使學生在課堂上主動地去分析問題、思考問題和解決問題，完成對學生數學思維的

建構。

二、高中數學教學中的數學模型類型

（一）函數模型

函數是數學中發生在集合之間的一種對立關系，其概念中主要有變量和常量這兩個重要的數學元素，這之中的變量又有兩種類型，一種是與它量有關聯的自變量，另一種是會隨著自變量而變化的因變量。在高中階段的數學課程中，函數是學生需要重點學習的知識內容之一，且高中數學中的函數相較于初中數學中的函數來說要更難和更深，學生在學習和理解函數相關知識的過程中需要借助數學模型來降低學習和理解的難度。而通常情況下，數學領域中的函數模型分為五種，即一次函數模型、二次函數模型、指數函數模型、對數函數模型和冪函數模型，分別由一個含有自變量的表達式和一個用二維方式呈現的圖像組成。

（二）空間模型

高中階段數學課程中的空間模型主要應用于立體幾何問題的解決，在立體幾何相關的研究中，學生需要研究與探究的主要是三維空間中物體的形狀、大小和位置關系，空間幾何體的結構特征及其中點、線、面的關系等都是學生學習的重點和難點，學生只有具備一定的空間想象能力、幾何直觀能力和推理論證能力才可能靈活地應對立體幾何相關的問題。而在學習立體幾何相關數學知識的過程中，教師就需要通過建構空間模型的方式來鍛煉和培養學生的空間幾何能力與幾何直觀能力，讓學生能夠在看到研究立體幾何相關問題時自動在腦海中建立起一個三維空間中的立體模型，更好地分析與推斷空間中點、線、面的聯系。

（三）概率模型

概率反映的是隨機事件出現的可能性大小，即在多次重復實驗中某種偶然事件出現的次數，因此對某種偶然事件發生概率的判斷就依托于長期反復的觀察和大量重復的實驗。結合隨機因素對研究對象的影響來看，高中階段數學課程中的概率模型就可以被分為兩類，一類是可以忽略隨機因素或隨機因素通常以平均值形式出現的確定性模型，一種是重點考慮隨機因素影響的隨機性模型[1]。由于統計和概率本身就具有一定的隨機性和可變性，因此教師在教學統計與概率相關的數學知識時，就需要通過建立概率模型的方式來幫助學生深入理解和掌握事件的聯系，避免在分析概率相關知識的過程中因對隨機因素的處理不當而出現錯誤。

（四）不等式模型

不等式是高中數學中常用于表示兩組數據大小關系的式子，通常用大于、小于或不等于符號來表示，而不管是哪種符號，兩邊解析式的公共定義域都被稱作是不等式的定義域，同時不等式既可以用于表達命題，也可以用于表示問題。高中階段常見的不等式模型就包含化分式不等式為整式不等式、化絕對值不等式為不含絕對值的不等式、化含二次根式的無理不等式為有理不等式組這三種類型，而無論是其中哪種不等式模型的建構都能夠將復雜的不等式問題變得簡單化，不僅更方便學生結合最值法、分離參數法、數形結合法、分段討論法、單調性法等多種方法來解不等式，也更能夠為最終結果的準確性提供保障。

三、高中數學教學中數學建模思想的應用策略

數學是一門講求嚴謹性與邏輯性的學科。高中數學課堂上對學生數學建模思想的培養主要培養的就是學生理解和應用數學語言的能力，而數學語言就是數學思維的載體，是支撐學生在數學視域下動手實踐、自主探索和合作交流的重要依仗。結合高中學生的知識基礎和思維認知發展來看，在針對高中生的課堂教學活動中，教師需要更多地關注學生主觀能動性的發揮，就是要更多地利用學生在數學領域中的主動探索和主動實踐，推動學生數學思維的形成與發展，借數學建模思想來引導學生思索和拆解問題、轉化和整合知識，基于對生活問題的抽象化處理，幫助學生建構自己的數學思維體系和數學知識體系，讓學生可以形成靈活運用所學知識來解決實際問題的意識與能力，從根本上達成提高高中數學課堂教學效率和效果的目的。

（一）借數學建模思想引導學生思索問題，鍛煉學生思維能力

高中是基礎教育向高等教育過渡的階段，學生本身就已經基本完成了基礎知識的積累，也具備了獨立解析、探究、思考和解決問題的能力，思維能力的突破和成長是教師在課堂教學中需要重點追求的東西。對此，高中數學教師在設計與開展教學活動的過程中，就需要有意識地通過啟發式的教學方法來引導學生思索問題，數學建模和數學建模思想在課堂中的應用就是達成啟發、鍛煉學生思維目的的有效路徑之一，因而教師就需要引導學生結合感興趣的問題來展開數學的建模實踐[2]。

以人教A版高一數學必修第二冊第六章《平面向量及其應用》中“正弦定理和余弦定理”相關知識的教學為例，教師在實際教學的過程中就可以先為學生創設一個情境，假設學生只能通過一種測量工具在一定位置測得兩個角度的方式來測量一座山峰頂的距離，要求學生結合能夠測量出來的已知數據和正弦、余弦定理，通過建立正弦、余弦模型的方式來計算峰頂的高度。在這一過程中，學生需要先為已知的兩個角度及其對應的邊長各定義一個數學符號，然后再將封頂的高度定義為另一個數學符號，最后結合正弦定理和余弦定理來建立兩個相對性的方程式作為數學模型，并在對比正弦模型和余弦模型的過程中思考解決這一問題的有效方式。此外，教師還可以借助模擬建模軟件來模擬這一問題的求解過程，幫助學生更好地理解正弦定理與余弦定理、正弦模型與余弦模型的應用方式，實現對學生思維能力的鍛煉和提升。

（二）借數學建模思想引導學生轉化知識，鍛煉學生遷移能力

在將數學建模思想應用于高中數學課堂，或在高中數學課堂中培養學生數學建模能力的過程中，教師需要先從教材的角度出發展開對數學建模思想的深度挖掘，再以數學概念和定理為載體落實對數學建模思想的全面滲透，最后從課堂實踐的角度出發完成對學生數學建模能力的培養與鍛煉，借數學建模思想引導學生實現對課堂所學知識的鞏固與轉化，從根本上提升學生遷移所學知識解決數學問題的能力[3]。而在這一過程中，學生就可以利用數學模型這一工具來開展各種各樣的實踐訓練，最終通過課堂實踐來實現建模能力的形成與發展。

以人教A版高一數學必修第一冊第二章《一元二次函數、方程和不等式》中“不等關系與不等式”相關知識的教學為例，教師就可以結合生活中商品促銷2小于1加1的實際問題來為學生設置建模問題，要求學生先通過建立不等式模型的方式來將現實問題轉化為數學模型，再采用圖像法、試探法或代數法等不同的方法來進行求解。在這一過程中，教師尤其需要注重學生創新思維和動手能力的發展，鼓勵學生通過實際的計算和推動來親手完成數學建模的步驟，以實現對學生數學建模意識的培養和數學建模能力的提升。

（三）借數學建模思想引導學生拆解問題，鍛煉學生探究能力

從本質上看，數學建模思想在高中數學課堂教學中的作用主要體現在對數學問題的解決上，而結合高中生的數學基礎和數學學習能力來看，教師在將數學建模思想引入課堂的過程中，除了要注重突出學生的主體地位，還需要注重引導學生通過建模的方式，循序漸進地完成對現實問題的拆解。同時在此過程中幫助學生建立起關于抽象數學模型的深入認知，即通過引入多媒體技術，提升模型思想的直觀性，為學生探究能力的提高，奠定更為堅實的基礎[4]。

以人教A版高一數學必修第一冊第三章《函數的概念與性質》中“函數的應用”相關知識的教學為例，教師在課堂上就可以結合PPT或微課等多媒體文件來展示相關的基礎知識，并在此基礎上引導學生展開對具體函數問題的拆解與分析。從題干中的數據和應用環境入手，拆解題干中的關鍵信息，并結合提取出的關鍵信息來分析和探究要建立哪種類型的函數模型，借此來幫助學生消除題目中冗余數據的影響，繪制出能夠準確反映題目關鍵信息的圖像曲線，最終實現學生對數學函數模型及相關數學概念理解的深化，也落實對學生數學探究能力的提升。

（四）借數學建模思想引導學生整合知識，鍛煉學生應用能力

只有穩固好基礎知識這一根基，學生才有可能利用建模思維提高數學學習質量。反之，學生在結合數學建模思考和解決問題的過程中，也能實現對基礎知識的整合與鞏固，為應用數學知識解決實際問題奠定堅實基礎。因此，高中數學教師應當抓住基礎知識和數學建模之間的關聯，通過建模來推動學生的知識遷移和舉一反三，一方面以基礎知識為突破口，幫助學生查漏補缺，另一方面以現實生活為突破口，幫助學生實現提升突破[5]。

例如，在教授“幾何”這一部分內容時，教師可以引導學生通過建立幾何模型的方式來串聯幾何知識，并借此來為學生對幾何基本概念和基礎應用的理解提供支持與保障，讓學生能形成將幾何知識應用到解決現實問題的意識和能力。甚至還可以讓學生組建項目組，在課后自選一個生活實例，設計問題，而后設計出解決這一實際問題的模型。這樣一個過程，將持續增強學生的實踐探究力，他們將主動思考，在建模中鍛煉應用能力，推進他們的全面發展。

結束語

綜上所述，數學建模是高中數學教學中不可缺少的一部分內容，數學建模思想也是優秀數學人才成長過程中必須具備或形成的一種意識與能力，高中數學教師在課堂上對數學建模思想的應用符合新時代高素質人才培養的需要，能夠為推動學生的成長和社會的發展提供助力。而就課堂上具體的教學實踐而言，教師需要以學生的實際情況和實際需要為依據，立足需求來滿足追求，有意識地引導學生將數學與生活聯系起來，基于對現實數學問題的探索、思考和解決來建立相對應的模型，以實現對復雜的數學問題的簡化，為學生思考問題能力和解決問題能力的提升提供更大的助力。而在這一過程中，教師尤其需要注重突顯學生在學習過程中的主體地位，充分發揮學生的主觀能動性，提高高中數學的教學效率，為學生完整數學思維的建構奠定堅實基礎。

參考文獻

[1]潘清海.數學建模思想在高中數學教學中的應用研究[J].高考，2023（25）：24-26.

[2]孫素貞.高中數學教學中數學建模思想的應用[J].數理天地（高中版），2023（21）：73-75.

[3]張雙平.淺談數學建模思想在高中數學教學中的應用[J].數學學習與研究，2022（32）：149-151.

[4]林紅紅.探究模型思想在高中數學課堂教學中的優化教學策略[J].試題與研究，2022（13）：53-55.

[5]羅云飛.高中數學教學中建模思想的應用探究[J].教育界，2021（8）：63-64.