新課改背景下線性代數課程的數學文化現狀研究

摘" 要" 以線性代數中的所有例子為研究載體，尋數學文化體現?；诤瑪祵W文化例子的數量、歸屬的數學子領域、數學文化子類別分布開展研究，得到數據結論：含數學文化例子數量較低、歸屬數學子領域及文化子類別均衡性偏差。建議對數學文化在線性代數課程的展現可嘗試“保面縮深”，從數學淵源、數學史料、數學文化小品方面融文化于無聲促數學文化滲透，扭轉大學生對數學課程印象，體現數學文化的妙處。

關鍵詞" 數學文化；線性代數；高等數學

中圖分類號：G642.0" " 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2024）09-00-04

0" 引言

基礎教育階段數學課程改革自2001年到2022年，共發布6部數學課程標準，包括義務教育和高中教育階段，早期《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》和《普通高中數學課程標準（實驗）》提出：數學作為文化的組成部分、構成要素，其內容、思想、方法及語言等是人類文明的必要組成[1]?！皵祵W素質是公民必備的一種基本素質”[2] ?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準（2017年版）》（下文稱《課標2017》）和《義務教育數學課程標準（2022年版）》進一步明確“數學承載思想和文化，是人類文明重要組成部分”“關注數學文化，繼承和弘揚中華優秀傳統文化”[3]，在數學與世界的普遍聯系中，“注重數學文化的滲透”[4]等。

故數學文化在中小學的體現持續時間較長，那它在高等數學課程中的情況如何？能否與高中銜接？是值得探討的問題。

對于數學文化，高等數學是否應承載基礎教育后續的工作，現實的大學數學有關情況如何，是需要關注的問題。摸清現狀來探討可行的方式方法使其得到延續發展。

1" 問題提出

數學教育過程中包含諸多數學核心概念、核心素養、關鍵能力、意識思想方法等，其中數學文化是一直的要求，且不斷發展。由數學課程標準的發展啟示我們高校數學課程需要銜接基礎教育的發展，也需以高等數學知識為載體滲透數學文化，增強對大學生隱性的數學影響和吸引力。

在上述背景下，提高對大學數學課程中數學文化的認同和認識，首先需明晰數學文化內涵；摸清數學文化在高等數學課程中的現狀；有針對性地發揮數學文化的作用。

為此，提出希望解決的問題：大學數學課程例題中有數學文化因素的題目數量、占比、子領域分布和子文化領域分布現狀；有何因應之策等。

2" 研究設計

2.1" 數據來源

通常大學數學課程包括：微積分、線性代數和概率論與數理統計，本研究選取其中的線性代數課程，數據來源是：吳贛昌主編，屬于經濟管理類的《線性代數》第五版，中國人民大學出版社出版，本教材影響較大，代表性較高，有專業傾向性。

研究選取課本中所有的明確按序號排列的例題和引例（包含帶星號內容中的例題），一些在正文中未排序號的例子未納入統計，總例題數量158道。

2.2" 研究內容

2.2.1" 含數學文化例題數量分布

為確定數學文化例子題目數量，首先要確定數學文化因素的標準，在學界并無確定的說法涵蓋數學文化。

從宏觀數學文化二分法：數學中獲得的物質與精神財富的總和，到中觀王建磐認為數學文化是數學知識的產生發展、數學史上的事件人物、知識背后的精神（哲學、思想、方法）、數學宏觀與內部聯系、數學與外部聯系及影響等[5]，再到微觀《課標2017》中的“說明”——“數學文化指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展；還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動 ”[4]。

本文對例題需要具體分類，在此選定《課標2017》的“說明”，將確定數學文化要素的標準定為數學在人類生活、科學技術、社會發展和人文活動中的融入、影響與作用。

2.2.2" 含數學文化例題歸屬數學子領域分布

本研究選定的科目為線性代數，是微積分后續課程，主要內容與代數密切聯系，故在進行子領域分類時減少類目，分為代數與微積分、圖形與幾何、統計與概率三方面，數學文化例題歸屬于一個或多個數學子領域，如表1所示。

按數學子領域劃分舉例如下。

【例1】[6]在某城鎮，據往年統計，每年有15%的已婚女性離婚，20%的單身女性結婚。該鎮現有7 000位已婚女性和3 000位單身女性。設女性總人數不變，則1年后有多少已婚女性和單身女性？2年后呢？

本題是根據統計數據，利用矩陣表示數據，用矩陣運算的工具得到結論，將其歸類于代數與微積分和統計與概率兩個領域中。

【例2】[6]，證明H是向量空間R3的子空間。

H是向量空間R3與R2有相同表現的子集，盡管在嚴格意義上說H不同于R2，這里可想象成水平面，將其歸屬于圖形與幾何和代數與微積分領域中。

2.2.3" 含數學文化例題子類別分布

本目中由2.2.1界定了關于數學文化的標準，這里進行數學文化子類別的劃分，結合汪曉勤歸納的數學史教育價值之劃分類別——“知識源流、學科聯系、社會角色、審美娛樂和多元文化”[7]5個角度，再考慮線性代數課程偏向代數的特點，將數學文化子類別劃分定為：數學淵源、社會生活、跨學科關聯和審美娛樂4個。

按此劃分，將《線性代數》教材中的例子按4類進行具體統計劃分，細化分類內涵，具體分類框架如表2所示。實際歸化分類中可能出現重疊現象，在此將其適度理想化，根據分類歸屬性的強弱，對每一道題目的歸類做唯一性確定。按以上數學文化子類別的劃分，舉例子如下。

【例3】[6]設，用施密特正交化法，將向量組正交規范化。

本題利用施密特正交化法有具體程序可以解決，從該角度看完全是代數問題，但聯系向量它有明確幾何意義表現，將其歸類到數學淵源類別中。

【例4】[6]某城市有15萬人具有本科以上學歷，其中1.5萬人是教師，據調查，平均每年有10%的人從教師轉為其他職業，有1%的人從其他轉為教師職業，預測10年后這15萬人中還有多少人在從事教師職業。

本題利用矩陣表示數據，通過矩陣運算和矩陣對角化使問題得以解決，問題情境屬于社會生活領域，將其歸類于社會生活中。

【例5】[6]設某企業用一種原料生產兩種產品的產量分別為x，y單位，原料消耗量為A（Xα+Yβ）單位（A＞0，α＞1，β＞1）。若原料及兩種產品的價格分別為r，P1，P2（萬元/單位），只考慮原料成本的情況下，求使企業利潤最大的產量。

本例通過表達出利潤函數f（x，y），利用偏導數求出駐點，寫出f（x，y）在（x0，y0）處的海塞矩陣進行判定，是二次型的應用來解決經濟問題，屬于跨學科關聯類目。

【例6】[6]甲、乙、丙、丁、戊五人各從圖書館借一本小說，讀完后互相交換。這五本書的厚度以及他們五人的閱讀速度差不多。因此，五人總是同時交換，經四次交換后他們五人讀完了這五本書，現已知：1）甲最后讀的書是乙讀的第二本；2）丙最后讀的書是乙讀的第四本；3）丙讀的第二本書甲在一開始就讀了；4）丁最后讀的書是丙讀的第三本；5）乙讀的第四本書是戊讀的第三本；6）丁讀的第三本書是丙一開始讀的那本。根據以上情況說出丁讀的第二本書是誰最先讀的。

本例題很有趣，但關系多，頭緒多，彎彎繞容易被帶暈，剪不斷理還亂，若用矩陣的行與列分別代表“第幾次讀書、誰讀的書”來表示，各方面關系就明確起來，起到越剪越清晰的感覺，使問題更易得到解決，體現數學智慧、數學工具智慧，將其歸屬于審美娛樂類目。

3" 研究結論

3.1" 含數學文化例題數量分布

在本課程正文中例子總數158道，其中有18道包含數學文化因素，如表3所示。

在所有帶標號的158道題目中，含數學文化占11.39%，剛過十分之一，占比較小，說明在數學文化上需增強。同時體現本課程的特點：抽象性、結構化。

3.2" 含數學文化例題知識子領域分布

在所有帶標號的例題中代數與微積分子領域18題、圖形與幾何子領域5題、統計與概率子領域5題，如圖1所示。

從中可見代數與微積分子領域是最多的，占比11.39%，這與線性代數是微積分課程的后繼課程有關，代數與微積分內容相對寬泛。圖形與幾何和統計與概率子領域占比同為3.16%。因為整個文化類的例題數量占比有限，所以各個子領域總的例題中占比偏低。但在文化類例題中看，代數與微積分子領域達到了全覆蓋，這18道文化類例題都與代數微積分關聯，圖形與幾何和統計與概率子領域占比都是27.78%，說明這兩個子領域只是線性代數課程的一個補充，也體現了該課程更多代數的一面。

3.3" 含數學文化例題子類別分布

據2.2.3采用的數學文化子類別架構分出的4個項目：數學淵源、社會生活、跨學科關聯和審美娛樂，總共18道題含數學文化例子中數學淵源4題占比22.22%、社會生活5題占比27.78%、跨學科關聯8題占比44.44%、審美娛樂1題占比5.56%，如圖2所示。

在這4項分類中跨學科關聯占比四成多，最高；社會生活次之接近三成；數學淵源占到二成多；審美娛樂最少。體現出數學文化與外界聯系更多地集中于跨學科的應用和社會生活應用方面，占比達到七成多，其他相對較少。這也體現數學應用主要歸屬還是在生產科技進步和經濟社會發展方面，亦體現數學的廣闊應用和巨大的基石作用。

4" 啟示與建議

綜上，數學文化在該課程中例子比重不高。一是作為微積分的后繼課程線性代數抽象程度有所提升，學習難度加大，純粹數學結構體系內部的關系占據主要部分，明晰這些結構體系是本課程的主要任務；二是實際教學中教學時數常捉襟見肘，教師學生都緊張，教師講完內容繃得比較緊，學生跟上學習進度要咬牙，編者就有保留，無暇更多的擴展。

從這兩方面切入，其實數學文化在高校有先例。顧沛開設數學文化課程，李尚志開設數學大觀等，學生反響好而熱烈[8]。說明學生并不反感所有的數學，數學教師大有可為，得到大學生喜歡是有希望的。當然對所有大學生專門開設新的數學文化課程，可能有難度，課時難保證。如作為選修，效果如何似乎會打一個問號。

但從另一方向啟示學生可對數學內容嘗試“保面縮深”，即保持線性代數內容面的寬廣度不變，縮小知識縱深度，融入好的數學文化素材，發揮數學文化課程引人入勝的情懷。筆者認為可在基本概念、數學形式和章前章末上做文章，數學基本概念：自然引入，挖掘來龍呈現去脈；數學形式：保持結構本質完整，展現數學特征；章頭或章末數學文化小品迎來送往等，讓數學冰冷的美麗融化散發出迷人的魅力。在過程中增加數學文化因素的例子，明晰具有結構性、典型性的數學思想、方法，精選數學史材料點綴其中，助力數學概念的明晰，數學結構、數學關系、數學抽象的生動化呈現，該結構如圖3所示。

對滲透數學文化因素，從另外的角度看，筆者覺得作用更大，那就是可以改觀大學數學在大學生心目中的顏值，增強數學的親和力、吸引力、感染力，改變數學冰冷的外表，建立起數學美、數學妙、數學有用的普適心態，使學生有欲望愛深沉，不自覺地發出“哦，好玩、有趣”的感嘆，實乃數學教育追求之境界。另數學子領域和數學文化分類子領域的適度分配上，密切聯系數學內容，精心組織文化因素結合上述教材內容組織的考量，增加到合適的比例。

總之，數學教育工作者有責任和義務讓數學文化之河滋潤大學生心田，潤物細無聲，轉角一束光的心境或許正是數學文化的妙處勝境。

5" 參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[S]．北京：北京師范大學出版社，2001：2.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[S].北京：人民教育出版社，2003：2，104．

[3]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：1-3，7，11，94，95．

[4]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S]．北京：人民教育出版社，2018：2，10．

[5]王建磐.數學為體 文化為魂：李大潛主編的《數學文化小叢書》第一、二輯讀后[J].數學教育學報，2015，24（2）：1-3．

[6]吳贛昌.線性代數[M].北京：中國人民大學出版社，2017：6，126，165，189，217，38．

[7]汪曉勤.基于數學史的數學文化內涵課例分析[J].上海課程教學研究，2019（2）：38．

[8]趙艷會.基于高師生數學應用意識培養的數學文化課程建設[J].中國教育技術裝備，2014（7）：57-58．

*項目來源：河南財政金融學院2022年度校級教改項目“高等數學改革視域下數學應用意識和數學文化相關性的發展研究”（項目編號：XJJG2022-73）成果。

作者簡介：趙艷會，講師；董李娜，博士，教授。