習題教學功能之促進思維提升和素養發展（上）

［摘 要］促進學生思維品質的提升和核心素養的發展是數學教學的最終目標。要實現這樣的目標，就要關注數學教學的全過程，即例題教學和習題教學都要重視，并在日常教學中落實。實踐證明，習題教學相對于例題教學而言，在時間、內容和形式三個方面對落實上述目標更具優勢。由此，小學數學習題教學就承載起了新的功能。

［關鍵詞］習題教學；思維品質；核心素養

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）15-0004-06

隨著課程改革的不斷深入，教學目標也隨之不斷調整和豐富。因此，小學數學教學除了要有效落實“雙基”，自然還有更高的追求，這就賦予了習題教學新的功能。

一、促進學生思維品質的提升

（一）數學是思維的體操

“數學是思維的體操”，這句話表明數學與思維的緊密聯系。因此，當我們談及數學，特別是談及數學教學的意義或價值時，常常以數學對學生思維的發展作為一個重要的追求或目標。如“為思維發展而教”“數學教學重在發展思維”等提法，經常出現在一些數學教學的研究成果或研討活動之中。

那么，數學和思維之間到底有著怎樣的聯系呢？這似乎尚未清晰，因為我們常常只是說數學可以發展思維，而不細說到底是怎么發展的。因此，厘清這個問題，顯然有助于我們更好地把握數學和思維之間的關系，更好地實現用數學來促進學生思維發展這個目標。

對此，我們不妨先來欣賞下面這幅“思維是什么”的漫畫（見圖1）。

[邏輯學姐姐][心理學哥哥][教育學奶奶][管理學老師][科學叔叔][思維是什么][哲學爺爺][我到底是誰的小孩？][思維]

圖1 “思維是什么”漫畫（來源于網絡）

漫畫中的小女孩代表“思維”，她產生了一個疑問：“我到底是誰的小孩？”

從漫畫中我們可以看到，哲學是思維的“爺爺”，教育學是思維的“奶奶”，邏輯學是思維的“姐姐”，心理學是思維的“哥哥”，科學是思維的“叔叔”，管理學是思維的“老師”。確實，“思維涉及多個學科，因而呈現出心理學、哲學等多學科，多角度的研究態勢”。

不過奇怪的是，從這幅漫畫中我們是找不到數學的，思維和數學似乎沒有任何聯系。那么，漫畫中的說法有道理嗎？《思維發展心理學》一書的“緒論”部分談到了“思維是由多種學科來研究的”，并一一作了解讀。書中介紹這些研究思維的學科分別是哲學、邏輯學、心理學、語言學、神經學、控制論和信息學。在研究思維的學科中依舊找不到數學。由此大概可以明白一個現實：數學是不研究思維的。數學不研究思維，那為什么要說“數學是思維的體操”呢？這是因為數學不研究思維本身，但是數學是可以鍛煉思維的。下面這段話可以為此提供佐證。

數學是思維的科學。這句話，大概不會有什么反對的意見。誰都知道，數學能夠啟迪、培養、發展人的思維。雖然也有其他學科或其他方式可以培養人的思維，但在深度、廣度、系統性等方面，是無法與數學相比的。

——單墫

由此可以進一步得出一個結論：數學是鍛煉人思維最好的載體。我想，這便是“數學是思維的體操”的本質內涵吧！

（二）數學可以提升思維品質

“數學是思維的體操”這句話雖然道出了“數學是鍛煉人思維最好的載體”，但總體來說，這樣的描述還是比較抽象的，即數學到底鍛煉的是人怎樣的思維，或是思維的哪個方面，沒有具體交代。討論這個問題，就要對思維再進一步細化。就目前來說，對這個問題有一些不同的看法，如有抽象地說“鍛煉思維能力”，也有細化一些說成“鍛煉邏輯思維”。其中，看法比較集中的有兩種：一是說培養學生的高階思維；二是說提升學生的思維品質。

基于對思維的理解，在高階思維與思維品質之間做出選擇，我認為數學對人的思維的鍛煉，主要體現在提升人的思維品質上。對此，有以下三個理由。

1.思維品質的概念相對較為明確

當下，在數學教學中培養學生高階思維的呼聲非常高，“高階思維亦被認為是21世紀必備的素養與技能，是認知科學與學習科學領域的研究重點，也是目前教學過程的核心價值取向”。高階思維的提法雖由來已久，但真正進入我們視線的時間其實并不長。據相關研究數據統計，有關高階思維的研究在2014年后開始增多。另有研究指出，國內對高階思維的研究還存在著認識不清、認識片面等問題，他們或是片面地從布盧姆（Bloom）的教育目標分類理論來解釋高階思維，或是借鑒國外思維研究的成果，羅列出諸如批判性思維、問題解決、創造性思維等不同種類的高階思維。由此可見，對高階思維的概念界定尚沒有較為統一、令大家信服的結論。

相比于高階思維在概念上的不確定性，思維品質的概念就較為統一。一般認為，思維品質是個體在思維發生和發展過程中表現出來的差異性特征。這就是說，思維品質是針對不同的人的思維特點而被區分出來的。比如，面對同一道數學題，有的學生想了很久才想到思路，有的學生很快就想到了思路；有的學生按部就班地解答，有的學生思考有沒有簡便的解法；有的學生解答完就算了事，有的學生解答完后驗算自己對不對，甚至有的學生解答后思考還有沒有別的思路。這些不同的解題表現，反映了學生不一樣的思維品質。

2.思維品質的組成因素相對較為明確

關于思維品質的組成因素，雖有一些不同的觀點，但總體上是比較明確的。在數學的教與學中，一般認為思維品質主要包括思維的深刻性、靈活性、敏捷性、獨創性、批判性等，它們之間是相互聯系、密不可分的。比如，深刻性是一切思維品質的基礎，批判性是在深刻性基礎上發展起來的品質。只有深刻的認識、周密的思考，才能全面而準確地做出判斷。

思維的深刻性集中表現在善于深入地思考問題，抓住事物的規律和本質，預見事物的發展進程。思維的深刻性又叫作抽象邏輯性。所以，抽象思維、邏輯思維都是思維深刻性的體現。

思維的靈活性是指思維活動的智力靈活程度，包括思維起點靈活、思維過程靈活、思維的結果往往是多種合理而靈活的結論等方面。發散性思維是思維靈活性的體現。

思維的獨創性是指獨立思考，創造出有社會（或個人）價值的具有新穎性成分的智力品質，是人類思維的高級形態。創造性思維是思維獨創性的體現。

思維的批判性是指思維活動中善于嚴格地估計思維材料和精細地檢查思維過程的智力品質，是思維過程中自我意識作用的結果。批判性思維是思維批判性的體現。

思維的敏捷性是指思維過程的速度或迅速程度。值得一提的是，思維的深刻性、靈活性、獨創性、批判性都有一個思維過程，而思維的敏捷性本身沒有思維過程。它的作用是幫助我們在處理問題和解決問題的過程中，能夠適應迫切的情況來積極地思維，進行周密的考慮，正確地判斷和迅速地得出結論。

3.思維品質更能面向全體學生

雖然高階思維的概念尚不明確，但其思維活動的指向是較為明確的——高階。因此，一般認為高階思維是一種較為復雜的思維形式。它是發生在較高認知水平層次上的一種心智活動或認知能力。比如，根據布魯姆的認知目標分類，一般將記憶、理解、應用稱為低階思維，將分析、評價、創造稱為高階思維。基于這樣的理解，關于思維品質和高階思維有幾個問題需要進一步明確。

第一，高階思維是不斷進階發展形成的。雖然記憶、理解、應用被稱為低階思維，但顯然這樣的低階思維是不可或缺的。比如，記憶處于布魯姆認知目標分類的最底層，這恰恰說明記憶是一切認知的開始。沒有記憶，后續的一切思維就很難得以發生。正如中國數學雙基教學的理論特征所指出的那樣——記憶通向理解，即有了記憶才能發生后續的理解，沒有低階思維就沒有高階思維。由此可知，數學教學中，學生從低階思維發展到高階思維，在人數上會呈現一定的“金字塔”形，即越往高階思維發展相對應的人數就會越少。若以得到較多人認可的布魯姆認知目標分類來對低階思維和高階思維進行區分，就可以用下圖“金字塔”（見圖2）的來表示上述理解。

高階思維的價值就在于它不是所有人都能擁有的，此為其珍貴之處，否則也就不可謂“高階”了。

第二，思維品質的培養無須進階。品質反映的是一個人的特征，是一種心性。比如，一個人品質的好壞與其身份、職業、智力無關，與其思想、德行等有關，思維品質亦是如此。《思維發展心理學》一書中談到，為了鍛煉學生思維的靈活性，實驗者采取的方法是讓學生對給出的數學信息進行提問，比誰提的問題多；為了訓練學生思維的敏捷性，實驗者采取的方法是對計算提出時間要求，比誰計算的速度快。就是說，鍛煉學生思維的靈活性和敏捷性等思維品質，采用具有挑戰性的方式自然是好的，但也可以采用并不是很難的問題、并不復雜的任務進行，這也是可以較好地面向全體學生的。數學教學要面向全體學生，這是基本要求，思維鍛煉亦是如此。

第三，高階思維是鍛煉思維的方式。基于前文的論述可以明確一點，高階思維傾向于認知能力，思維品質傾向于個性特點。這一點在布魯姆的認知目標分類中體現得尤為明顯。比如記憶，可以理解為思維，也可以理解為學的方式，還可以理解為教的方式。從知識的教學來講，記憶更傾向于教與學的方式。同理，理解、應用、分析、評價、創造都可以理解為教與學的方式。比如，教學一道數學習題，可以是教師講解，學生跟著學，也可以是教師讓學生自己理解，還可以是教師在學生學的過程中給予指導與評價等。由此不難發現，低階思維、高階思維都是鍛煉學生思維的方式，只是鍛煉的強度不同而已。顯然，運用高階思維進行教學對鍛煉學生的思維更有效果。

所以，數學是鍛煉人的思維最好的載體。這里的思維更適于指向人的思維品質，即數學是鍛煉思維，進而提升人的思維品質的最好載體。因此，本文所講的鍛煉思維，是指提升思維品質。

（三）引發思考才能鍛煉思維

思維是“人的認識過程、智力或認知的核心成分”，但也是伴隨人的日常行為而自然發生的。比如，一個人在閱讀文字的時候，實際上他的思維活動已經發生了；小學生在進行口算的時候，自然會伴隨著思維活動。但是，像閱讀文字、進行口算而發生的思維活動，還稱不上思維鍛煉。

那么，怎樣的思維活動才能稱得上是思維鍛煉呢？回答這個問題之前，我們不妨先以鍛煉身體來打個比喻。走路是鍛煉身體的一種方式，但是正常情況下，人每天都會走路，那是不是說人每天都在鍛煉身體呢？當然不是。走路鍛煉身體，需要與人每天自然的走路有所不同，如走的速度要刻意快一些，或走的時間要刻意長一些。這亦如上文中提到的，用計算來鍛煉人的思維敏捷性，是以“比誰計算的速度快”來進行的，而不是僅僅要求計算。

可見，所謂鍛煉，需要有一定的刻意行為。鍛煉思維也是如此，需要與一般自然發生的思維有所不同，要有刻意為之的行為。

【案例】

習題教學記：2020年11月3日? 周二

出示試題：

9.一個三位數與2相乘的積是316，那么這個三位數與22相乘的積是（? ? ? ? ? ）。

在出示這道試題后，我與學生一起再次理解試題的意思，并板書如下兩個算式。

□□□×2=316? ? ? ?□□□×22=？

師：還記得當時這道題你們是怎么想的嗎？

很快，很多學生舉手了。我任意請一位學生說出自己的想法。學生的方法在我預料之中，板書如下。

316÷2=158? ? ? ? ? ? ?158×22=3476

師：除了這樣的方法，還有不一樣的想法嗎？

從現場情況來看，上述方法果真是所有學生的第一想法。面對“還有不一樣的想法嗎？”的問題，沒有立刻舉手的學生。當然，出現這樣的情況也不能怪學生，因為這是一道單元檢測的試題。稍等了一會兒，開始有學生舉手了，我請一位學生回答。

生1：我是這樣想的，因為這個三位數是不變的，2到22乘了11，所以積也要乘以11。

顯然，這種方法是這位學生在剛才通過觀察、對比、分析得出的，他調用了本單元學習的積的變化規律來進行思考。這樣的方法不再是按部就班地解題了，這樣的思考，思維才能得到鍛煉。這，也是我開始時板書“□□□×2=316”和“□□□×22=？”這兩個算式的用意所在。

這位學生講完，沒人舉手了。看來，剛才舉手的幾位學生想到的也是這種方法。為了讓更多的學生明白這種方法，我又請一位學生解釋一遍，并結合學生的解釋進行板書（如下）。

[× 22 = ？][× 2 = 316] [× 11]

至于接下來的316×11這一步，就可以省略了，因為我的目的已經達到，學生已經發現了算式中2和22這兩個數的“秘密”。

就在我板書跟進時，可以清晰地聽到學生發出這樣的感嘆：“哇，對哦，還可以這樣想！”聽到這樣的感嘆，本想“收手”的我順口又問了一句：“還有不一樣的想法嗎？”

這下，學生是真的有點蒙了。說實話，我內心其實已經滿足了，提出這個問題無非是為了過渡到下一道試題的分析。不過，我還是花了一點時間讓學生充分思考。此時，有沒有新的方法已經不重要了，重要的是讓學生都思考起來。但是，就是這么稍稍等待，驚喜就來眷顧了。瞧，一位學生舉手了。

生2：22，一個2在個位，一個2在十位。未知的這個三位數乘個位的2等于316，那么乘十位的2也等于316，但是因為這個2在十位上，所以其實等于3160。這樣，我們只要用316+3160就可以了。

學生的回答如此驚艷！顯然，這種方法是這位學生在剛才的等待中，通過自己的觀察、對比、分析發現的。不過，我看得出來，此時就這樣說一遍，絕大部分學生還是一頭霧水，甚至有學生說“你這是湊巧”。但我已經按捺不住心中的喜悅，說道：“非常棒！表揚兩次！”

其他學生又是陣陣驚嘆，因為表揚兩次就意味著可以直接獲得一把“銅鑰匙”（這是我制訂的課堂激勵制度）了。

接下來，我通過豎式板書的方式（如下），再次和學生一起理解其中的算理，直觀理解為什么只要用316+3160即可。

[316 + 3160] [×? ? ? ? ?2? ?2] [3? 1? 6][3? 1? 6? ]

……

在上述案例中，學生想到的第一種方法雖經歷了思維活動，但這幾乎是所有人都能想到的方法，是自然發生的，因此不屬于思維鍛煉。在這種方法之后，我兩次追問“還有不一樣的想法嗎？”，從獲得這道試題的正確答案的角度講，這兩次追問是不需要的。由此可見，這兩次追問是我刻意為之的。第一次追問，在經歷了一段時間的思考之后，有小部分學生想到了不一樣的方法；第二次追問，在經歷了一段時間的思考之后，只有一位學生想到了不一樣的方法。

需要說明的是，在我刻意而為的兩次追問中，學生經歷了一段時間的思考是主要的，最終到底有多少人想到了不一樣的方法是次要的，因為“進行比較周到、深刻的思維活動”，才是鍛煉思維的過程。當然，在鍛煉思維的過程中又能獲得正確的答案，那就兩全其美了。

由此可見，在小學數學教學中鍛煉學生思維，關鍵是讓他們經歷思考的過程。當然，這里強調要讓學生的思考真正發生，如此才能有效鍛煉思維。

（四）習題教學在鍛煉思維上具有優勢

鍛煉學生的思維應貫穿整個小學數學教學的始終。相對而言，習題教學比例題教學在鍛煉學生的思維上更具優勢，主要體現在以下三個方面。

1.有更加充足的時間

以人民教育出版社2013年出版的小學數學教科書為例，小學六年12冊教材一共編排了約550道例題，平均每個學期教學約46道例題，約需要35節課（有一些課時要教學2～3道例題）。這35節課因為要教學例題，所以稱為新授課。按一個學期平均約100天以及1天1節數學課來計算，一個學期就有約100節數學課。一個學期100節數學課，去掉35節新授課，還剩下65節課。這65節課多是練習課，也有一定量的考試課和考試后的試卷分析課，當然還有一定量的復習課（現實中復習課多是“以練帶理”型）。不難發現，這65節課本質上都可以理解為是與習題教學相關的練習課。如此的話，小學數學一個學期的新授課與練習課的課時比大約是2∶3。

小學數學一節課40分鐘。一般情況下，新授課中，大約有20分鐘用于例題教學（新授），還有20分鐘用于習題教學（練習）。很多小學數學教師坦言，一節新授課要盡可能確保有15分鐘左右的練習時間，這樣心里才會比較踏實。就以一節新授課平均有15分鐘的練習時間計算，例題教學與習題教學的時間比約為3∶2。

這樣，一個學期，新授課與練習課的課時比約是2∶3；一節新授課，例題教學與習題教學的時間比約是3∶2。因為練習課的本質就是習題教學，所以將一個學期中新授課與練習課的課時比以及一節新授課中例題教學與習題教學的時間比進行換算，那么一個學期中例題教學與習題教學的時間比就約為1∶3。一個學期如此，不難想象，整個小學階段的數學教學亦是如此。

由此可見，在小學數學教學中，用1份的時間教學例題，就要配以3份的時間教學習題（這尚不包括晨間、午間以及課后服務時段的習題教學）。從這個時間比進行分析，就可以清楚地看到在鍛煉學生的思維上，習題教學相比例題教學而言有更加充足的時間。

2.有更加明確的目標

2000年開始的新一輪課程改革，提出了三維目標，即知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀；三維目標貫穿課堂教學的全過程，相互融為一體。三維目標中，知識與技能是基礎目標，過程與方法、情感態度與價值觀這兩個目標都是在基礎目標實現的過程中達成的。換言之，如果知識與技能目標沒有實現，那么過程與方法、情感態度與價值觀這兩個目標也就無從談起。

比如，“長方形的面積計算”這節課，旨在通過例題教學，讓學生初步理解并掌握長方形的面積計算公式。想象一下，如果例題教學之后，學生還是不知道長方形的面積怎么算，那么其中所謂的過程與方法、情感態度與價值觀這兩個目標還有什么意義？

除此之外，我們也經常能聽到這樣一種說法：知識只是一個載體，發展思維才是最重要的。這種說法自然是正確的，但我們要正確理解其中所說的“知識只是一個載體”的含義。這句話有兩層含義：第一層，鍛煉思維不能憑空而為，必須有一個載體，知識就是最好的載體；第二層，將知識作為發展思維的載體，前提是知識目標是順利達成的，這樣知識成為發展思維的載體才有意義。

還是以“長方形的面積計算”這一課的例題教學為例，引導學生通過觀察、想象、操作、交流、推理等學習活動，理解“長×寬”的意義，知道長方形的面積可以用“長×寬”來計算，本課的知識目標就已經初步達成了。在達成這個目標的過程中，學生運用了多種學習方法，經歷了豐富的學習活動，如觀察、想象、操作、交流、推理等，這就是鍛煉思維，進而發展思維品質的過程。這個時候就能發現，學習長方形的面積計算成為發展學生思維的一個載體。

所以，在例題教學中，不管是三維目標還是“知識只是一個載體”，知識與技能這個目標必須達成才行。即，小學數學中的例題教學承載著一個必須實現的基礎目標：引導學生學習一個新的數學知識或技能。但是，習題教學有些時候就不一樣了。

在習題教學中，有一部分習題的目標是幫助學生鞏固所學的知識與技能（參見本系列文章的第一篇），但還有一些習題，其目標則是更為明確地指向鍛煉學生的思維，比如“＜（? ? ? ）＜（? ? ? ）”等。這正如邱學華與張良朋在《2010年小學數學教育熱點問題探討》一文中所言：“一個人的思維能力不能憑空而來，是伴隨著學生學習基礎知識和解題過程逐步獲得的，沒有‘練的過程，缺少了學生的切身體驗和自我感悟，思維能力和創造能力就無從談起。”

由此可見，在鍛煉學生的思維上，習題教學相比例題教學而言有更加明確的目標。

3.有更加純粹的形式

數學具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性以及廣泛的應用性，所以常常令人覺得數學晦澀難懂。但也因為如此，讓數學源于現實世界、高于現實世界，讓數學具有自身獨特的美，讓數學在鍛煉思維上具有無與倫比的魅力。

小學數學教科書中的例題，因為承載著具體的數學知識與技能，所以內容編排上貼近現實世界，貼近學生的實際生活，表述淺顯易懂。但是，一旦到了習題，數學就開始高于現實世界，到達相對純粹的數學世界。

第一，習題的內容是純數學的。

比如，圖3中的這道習題，只提供大正方形和小正方形的邊長，要求計算圖中陰影部分的面積。這樣的習題很數學、很純粹，指向思維鍛煉。

圖3 多邊形的面積習題

第二，習題的情境是數學世界的。

比如，學習“長方形的面積計算”之后，就會出現一道經典的“圍籬笆”習題：“王大爺想要用20米的籬笆圍一塊長方形或正方形的菜地，怎樣圍面積最大？”（注：三年級剛學習長方形和正方形時，學生還不知道長方形是特殊的正方形）

這道習題的思維鍛煉價值無須贅述。從情境來看，這道習題似乎是在描述一個現實世界中的問題，仔細思考就會發現，這其實更是一個數學世界中的問題。因為在現實世界中，一般是先有菜地，再去給這塊已經確定形狀的菜地圍籬笆，而這道習題是先有20米的籬笆，再根據籬笆的長度來確定面積最大的菜地。這樣的問題顯然不是因為生活的需要，而是因為數學的需要。所以，這道習題就是純粹的數學世界中的問題。

由此可見，在鍛煉學生的思維上，習題教學相比例題教學而言有更加純粹的形式。

時間、目標、形式這三個方面都在顯示，就鍛煉學生的思維而言，習題教學比例題教學更有優勢。

（未完，待續）

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 鄭魯晶.批判性思維和思維品質：兩大思維教學理念對比分析[J].內蒙古師范大學學報（教育科學版），2012，25（2）：89-92.

[2] 朱智賢，林崇德.思維發展心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2002.

[3] 單墫，李善良.數學：人的發展中不可缺的內容：數學的價值研究之二[J].數學通報，2002（7）：1-3.

[4] 胡翰林，沈書生.生成認知促進高階思維的形成：從概念的發展談起[J].電化教育研究，2021，42（6）：27-33.

[5] 于偉.基于SOLO分類理論促進學生物理高階思維的理論研究[D].成都：四川師范大學，2019.

[6] 季明峰.高階思維的概念辨識[J].上海教育科研，2022（11）：29-36.

[7] 何月豐.試題分析，從做對到建構：以《三位數乘兩位數》習題教學為例[J].小學教學設計，2023（20）：71-72.

[8] 中國社會科學院語言研究所詞典編輯室.現代漢語詞典（第七版）[M].北京：商務印書館，2016.

[9] 邱學華，張良朋.2010年小學數學教育熱點問題探討[J].小學教學（數學版），2011（3）：6-8.

（責編 杜 華）