基于問題驅動的“導數的幾何意義”的教學設計

熊佳　韋煜　袁曉亮

[摘要]導數的幾何意義的學習使學生從“形”的角度理解導數，是學生掌握導數概念的重要途徑．基于問題驅動教學理念，精心設計問題，使學生經歷概念的形成過程，感受數學知識的“再創造”過程，最終理解導數的本質，體會數形結合思想方法，培養思辨能力．

[關鍵詞]問題驅動；導數的幾何意義；核心素養

引言

問題是促進學科發展的原始動力，數學也不例外．美國數學史家M．Kline曾指出：每一個數學分支均是為攻克一類問題而發展起來的．《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：教學活動應該把握數學的本質，創設合適的教學情境、提出合適的數學問題……教學情境包括：現實情境、數學情境、科學情境……情境創設和問題設計要有利于發展數學學科核心素養．這凸顯了問題與情境教學對數學教學的重要性．教師需要通過問題與情境引導學生經歷知識的生成過程．揭示數學的本質并學會思考．

問題驅動教學為高中數學教師踐行新教育理念、培養學生數學學科核心素養、落實立德樹人根本任務提供了新思路．以問題驅動教學，讓學生在習得“四基”與“四能”的同時．學會“用數學眼光觀察世界．用數學思維思考世界．用數學語言表達世界”，促進學生數學學科核心素養的形成和發展．本文以“導數的幾何意義”為例，以數學知識為導向、以數學學科核心素養為引領，引發學生認知沖突．從動態的角度來研究曲線的切線，啟發學生獨立思考．以期培養學生分析問題、解決問題的能力，發展學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象和數學運算等核心素養．

“導數的幾何意義”是“一元函數的導數及其應用”中的重要組成部分．第1課時從“數”的角度．通過平均變化率逼近瞬時變化率抽象得到導數的概念，本節課則從“形”的角度進一步講解導數的概念，滲透數形結合思想方法，從已有經驗來看，學生在九年級學習了圓的切線．知道直線與圓只有一個公共點時，這條直線叫做圓的切線；掌握了直線的點斜式方程，積累了一定的數學活動經驗．具有一定的觀察能力和概括能力．從思維來看．學生先前根據公共點的個數認識到圓錐曲線和圓的切線的定義．而本節課則從“形”的角度來理解切線的概念——由割線逼近來定義切線，由此上升到新的思維層面．

教學過程設計

1.問題驅動，引出課題

問題1 在初中我們學習了圓的切線，你還記得是怎樣定義的嗎？

教師提問圓的切線的定義．學生回答后，課件呈現幾何圖形（如圖1所示）．通過回憶圓的切線的定義．引導學生將已學知識遷移到本節課的學習中．應用已學知識解決問題2．

問題2 求曲線f（x）=x-在點（1，1）處的切線方程．

大部分學生在解決問題2時思路清晰，但過點（1，1）還存在一條直線x=1．直線斜率不存在的情況是學生容易忽略的．因此．教師在講解過程中要滲透分類討論思想，經計算，學生解出了兩條直線，由切線的唯一性可知，所得到的結果與事實不符合，但兩條直線都符合“與曲線只有一個交點”這一條件，“哪一條直線才是切線”會使學生感到很困惑．這時．教師不妨引導學生作圖來看看．片刻后．教師用PPT展示圖2．

通過圖象觀察．學生很快發現切線是y=2x-1，而x=1不是切線．當學生沉浸在喜悅中時．教師繼續追問學生．使學生在已有認知的基礎上產生新的沖突．促進新知的學習．

追問1 與曲線只有一個交點的直線一定是曲線的切線嗎？

學生有了問題2的求解經歷．再來思考追問1就顯得很輕松，意識到通過曲線與直線的交點個數來判斷其是否為切線是有漏洞的，在教師的引導和追問下．學生又會產生新的疑惑：“該如何判斷切線？”“對于一般曲線的切線是如何定義的？”“該怎樣去找一般曲線的切線？”等等.

為了彌補學生在認知上的“缺口”．化解認知沖突，體驗知識的生成過程，教師引導學生先從圓的切線人手．通過GGB動畫演示（如圖3所示）．發現圓的切線繞著切點P0逆時針方向旋轉一點．直線與圓就會有兩個交點．圓的切線就變成了割線．

追問2 反過來．圓的割線運動會不會變成切線呢？

學生本能的反應是．割線運動到達某一個位置時就會變成切線．這時，借助信息技術繼續展示運動過程：當割線繞著點P0順時針方向旋轉，直到與圓只有一個交點P0時，割線就變成了切線．

追問3 對于圓這樣一種特殊的曲線．我們可以從動態的角度來研究它．對于一般的曲線是否也能用這樣的方法去研究呢？

從問題1到追問3．通過教師提問．一步步引導、啟發學生發現問題、解決問題，建構新的知識體系．讓學生親身經歷數學知識的生成過程．揭示數學的本質，培養邏輯推理能力．感受數學的美．

2．抽象概括，生成概念

同樣地，對于一般曲線y=f（x），我們仍然可以從割線逼近得到切線．

問題3 設曲線y=f（x）的圖象如圖4所示，P0（x0，y0）為曲線上一點，在曲線上任意找一點P作割線P0P.在點P趨近于P0的過程中割線P0P的變化情況是怎樣的？

教師先讓學生自己作出點P趨勢近于P0的部分圖象（當點P無限接近P0時，學生感到作圖很困難），然后借助GGB動畫演示點P趨近于P0的運動過程．讓學生直觀感受割線如何逼近成切線．觀察動畫演示后．讓學生自己敘述點P趨近于P0的運動過程以及割線P0P的變化情況．

生1：我發現，當點P從P0右側趨近于P0時，割線P0P越來越接近在點P0處的切線，這和我作圖得到的結果是一樣的．

師：這位同學回答問題的思路很清晰，結合自己作圖的經歷描述了點P趨近于P0的運動過程，非常好，其他同學有不同的觀點嗎？

生2：我和生1得到的結果是一樣的，但我作圖是從點P0的左側開始的，為了驗證我作圖時的猜想．我重點觀察點P從P0左側趨近于P0的運動過程，發現割線P0P也越來越接近在點P0處的切線．

師：這位同學的邏輯思維非常縝密．帶著問題觀察動畫演示．這樣的學習效率是很高的．兩位同學分別從點P0的左側和右側描述了點P運動過程中割線的變化情況．所以我們可以這樣定義曲線的切線：在曲線y=f（x）上任取一點P（x，f（x）），如果當點P（x，f（x））沿著曲線y=f（x）無限趨近于點P0（x0，f（x0））時，割線PoP無限趨近于一個確定的位置．這個確定位置的直線P0T稱為曲線y=f（x）在點P0處的切線.

追問4 在這里．我們從動態的角度來看．得到了曲線切線的定義．這只是給我們提供了一個判斷切線的方法．要求切線的方程還需要知道切線的斜率，該如何求切線的斜率呢？

學生很難想到在某點處的切線的斜率與該點處的導數值有關系，得到切線的定義后．馬上追問學生切線的斜率，學生又會產生新的困惑．追問4對學生的邏輯推理能力和數學思維的要求很高，在學生已有認知中沒有導數值與切線斜率之間的關系，對于學生來說，回答追問4有一定難度．在本節課，若教師能引導、啟發學生突破追問4．學生對導數概念的理解會有質的飛躍．邏輯推理和直觀想象素養也會得到提升．

在教學中，教師可以從切線生成的角度來啟發學生．切線是由割線無限趨近于一個確定的位置生成的．自然能夠得到當割線逼近切線時．割線的斜率就是切線的斜率．學生知道割線PoP的斜率可以用兩交點P，Po的坐標表示出來，即kppo=f（x）-f（x0）/x-x0有了前面的學習經驗．學生不難得到當點P沿著曲線y=f（x）無限趨近于點Po時，即當△x=x-x0趨近于0時，割線P0P的斜率就趨近于切線P0T的斜率，引導學生回顧導數的定義，學生能夠發現某點處的瞬時變化率（導數）就是該點處的切線斜率．引導學生找到導數與切線斜率之間的關系后，由教師總結導數的幾何意義.

導數的幾何意義：y=f（x）在x=x0處的導數f'（x0）就是切線P0T的斜率k0，即k0=lim△x→0（f（x0+△x）-f（x0）/△x），切線方程為y-y0=f'（x0）（x-x0）.

學生容易接受從割線斜率逼近得到切線斜率的方法．利用類比思想將切線斜率和瞬時變化率聯系起來，進而得到導數的幾何意義．整個過程都在學生的認知范圍內．知識間的過渡也自然順暢、一氣呵成．

3．數學應用．理解概念

問題4 求曲線f（x）=x2在點（1，1）處的切線方程，并描述曲線f（x）在x=-1，1，2，3的瞬時變化率.

以前學生是用傳統的直線與曲線的交點個數來判斷直線是否是曲線的切線．即聯立曲線與直線的方程．消去y，得到一個關于x的方程，令判別式△=0．解出斜率k．而這里要求學生用本節課所學的知識重新求解問題2．讓學生感受導數的工具性價值．對于導數掌握得較好的學生來說，用導數法求解會更方便直接．在描述四個點的瞬時變化率時，絕大部分學生都會想到先算出其導數值再進行描述，這時就順著學生的思路，引導學生了解導函數這個概念.

由于本節課的主題是導數的幾何意義．這時教師通過講解例題引導學生一起感受導數的幾何意義的應用．學生既能鞏固新學的知識．又能體會“以直代曲”的思想方法．培養學生數學運算、直觀想象等數學素養.

設計說明

本節課涉及的知識有切線的定義、導數的幾何意義、導函數（簡稱導數）．知識間層層遞進，與導數的聯系密切．主要圍繞求曲線的切線這一問題展開，以問題串的形式啟發學生思考．有利于發展學生的高階思維．

本節課分為三個階段：

第一階段是引發認知沖突，先通過求解曲線的切線引發學生認知沖突．即讓學生感知利用“曲線與直線只有一個交點”來求解切線不適用于所有曲線；再通過曲線割線的運動．啟發學生從動態的角度來研究曲線切線的定義．

第二階段是化解認知沖突．通過割線運動逼近產生切線．得到一般曲線切線的定義，這解決了如何判斷直線是曲線的切線問題．由于割線運動產生切線，自然得到割線斜率逼近就是切線斜率．又割線斜率就是平均變化率．平均變化率逼近就是瞬時變化率（也叫導數），引導學生一步步推理得到導數的幾何意義．這解決了求曲線的切線斜率問題．

第三階段是重建知識體系．通過例題比較“聯立方程求解曲線的切線”和“用導數的幾何意義求解曲線的切線”兩種方法．體會導數的工具性價值．得到導函數的概念．滲透“以直代曲”的數學思想.

整堂課以學生為主體．學生已有的經驗為中心．在學生認知上建立新的生長點，學生在解決問題的過程中獲得新知．重建知識體系，發展數學抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養．提高分析問題和解決問題的能力．

問題驅動式教學培養數學核心素養的教學思考

問題驅動式教學可以讓學生體會數學知識的形成過程，改變傳統教學中的單一性邏輯結構．創造多線性交融的教學結構．引領學生深度學習，從而發展“四基”“四能”，培養數學語言和數學思維．發展學生問題意識和質疑精神．例如．在本節課的教學中，以學生的原有認知為基礎．引發學生認知沖突，建立更嚴謹的知識體系．本節課以圓的切線為起點．以問題驅動學生思考，獲得新知，這符合切線的產生歷史．將導數和切線的斜率聯系起來，符合微積分的發展歷史．以問題驅動教學，使學生感受到數學知識的生成是符合實際需求的，過渡自然順暢，因此．在備課時．教師要充分了解學生，找準學生的最近發展區；在教學中，教師要以學生的已有經驗為基礎，通過不斷追問、啟發、引導，使學生學會獨立思考．

1．問題設計要以教學目標為出發點

問題設計首先應該服務于教學目標．教學目標是教學的出發點和歸宿．教學目標是否達成是評判一堂課的標準之一．在明確教學目標之前，要清楚新課標的具體要求．深刻理解教材、了解學生．本節課涉及的切線的概念和導數的幾何意義都非常抽象．教師明確好教學目標后，根據學生的整體情況精心設計問題．通過問題串、CCB動畫演示幫助學生突破思維瓶頸．由問題引領學生體會、體驗知識的生成過程，收獲活動基本經驗，在最近發展區習得新知，培養學生直觀想象、邏輯推理等核心素養．

2．問題設計要立足知識的生成背景

問題源于情境．數學情境是含有相關數學知識和數學思想方法的情境，也可以是數學知識的生成背景．求曲線的切線問題是促使微積分產生的原因之一．切線的產生也是從圓的切線發展到一般曲線的切線，本節課從圓的切線引入，以動態的視角來探究切線的定義，符合數學知識的生成背景．根據學生的認知水平精心設計教學過程，符合數學知識發展的內在邏輯聯系．在各個環節中滲透特殊與一般、數形結合、以直代曲等思想方法，使學生感受到數學知識的習得是水到渠成、一氣呵成的，培養學生數學抽象、直觀想象等核心素養．

基金項目：貴州省民族專項課題“‘三教理念下培養高中生數學核心素養案例研究”（MJ23040）．