指向“返樸歸真”的數學教學

王昌林　楊坤林　劉成龍

[摘要]從三個視角闡述“返樸歸真”的數學教學：一是返教學方法之樸，歸理念之真；二是返教學設計之樸，歸過程之真；三是返教學手段之樸，歸技術之真．

[關鍵詞]返樸歸真；數學教學；兩角差的余弦公式

近年來，“研究性學習”“深度學習”“項目式學習”等新的課堂教學組織形式如雨后春筍般地呈現在大眾視野．這是教育不斷發展、進步的結果，引發了一些傳統教學組織形式的變革，這些新的課堂教學組織形式也存在一些問題，例如．缺少數學味道．嚴重忽視學情，過分追求課堂熱鬧，濫用信息技術，等等．這些問題嚴重偏離了我們一直以來所倡導的真實、自然、質樸、深刻的中學數學課堂．盡管教育隨時代的進步在不斷變化，但是教育的基本規律亙古不變，課堂教學的基本功能也未曾改變，所以理性、樸實的數學課堂教學仍然是時代的主旋律，為此．筆者提出“指向‘返樸歸真的數學教學”．下文以“兩角差的余弦公式”的教學為例．從三個視角闡述“返樸歸真”的數學教學；返教學方法之樸，歸理念之真；返教學設計之樸，歸過程之真；返教學手段之樸．歸技術之真．

返教學方法之樸，歸理念之真

1．深刻把握學情．以學生實際為中心

奧蘇貝爾曾說：“影響學習的唯一重要因素就是學習者已經知道了什么．要探明這一點．并據此進行教學，”因此．掌握學生真實的學情．并以此設計教學才是合理且有效的．“兩角差的余弦公式”的教學，現有很多好的教學模式，可以照搬嗎？答案是否定的．這是因為不同的學生具有不同的學情，“返樸歸真”的教學是去掉外在裝飾，恢復知識原本的質樸狀態，選擇適合學情的“兩角差的余弦公式”的教學模式，在教學中，應以學生實際為中心．思考諸如此類的問題：為什么要學習兩角差的余弦公式？學生具備哪些知識和經驗呢？與兩角差的余弦公式一脈相承的知識有哪些？怎么教學兩角差的余弦公式？等等．

2．制定教學目標，以課程標準為準繩

章建躍博士曾將數學教育的“目標域”細化為三個層次：課程目標、單元目標以及教學目標，其中．教學目標是微觀目標．簡單來說就是課堂教學目標．想要上好一堂課，教學目標的制定尤為關鍵，那么如何制定呢？《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱“新課標”）指出：“教學目標制定要突出數學學科核心素養，要結合特定教學任務．思考相應數學學科核心素養在教學中的孕育點、生長點．”因此，可將兩角差的余弦公式的教學目標制定為：經歷兩角差的余弦公式的推導過程．感受兩角差的余弦公式的文化背景與證明的多樣性．知道兩角差的余弦公式的意義．

3．研究教材內容，以編者意圖為抓手

對比人教A版新老兩套教材可以發現，人教A版必修4（老教材）中的“兩角差的余弦公式”一節內容編排在平面向量之后．而人教A版必修第一冊（新教材）中的“兩角差的余弦公式”一節內容之前沒有編排平面向量，因此對現行的“兩角差的余弦公式”的教學設計，就不能應用平面向量這一工具進行．在兩角差的余弦公式的證明中，新教材舍棄了老教材中的三角函數線以及平面向量的證明方法．而是借助單位圓利用兩點間的距離公式進行證明．這樣的改變不僅是強化單位圓的地位．更是教材編排上的“返樸歸真”．三角函數線以及平面向量對兩角差的余弦公式的證明固然是不錯的方法，但其中的三角函數線在實際講解中較為煩瑣，也脫離了最初學習三角函數的基本路徑．單位圓貫穿新教材必修第一冊的第五章，學生可借助前面幾節內容的學習經驗進行探索．充分體現數形結合思想方法．有利于從整體上把握“三角函數”一章內容．

返教學設計之樸，歸過程之真

1．問題引入．激發動機

問題1 某城市的電視發射塔建在市郊的一座小山上．如圖1所示，在地平面上有一點A，測得A，C兩點間的距離約為60米．從點A觀測電視發射塔的仰角（∠BAD）約為60°，從點A觀測電視發射塔的視角（∠CAD）約為45°．求這座電視發射塔的高度．

評注 問題1改編自人教A版必修4第124頁的章節引入問題．通過把質樸、真實的生活情境抽象為數學問題，讓學生感受到數學就在身邊，進而發展學生的應用意識．充分體會學習兩角差的余弦公式的必要性．

2．直觀感知．先猜后證

問題2 審視問題1發現．求電視發射塔的高度則需要求cos15°的值．即cos（60°-45°）的值，能否根據45°．60°的三角函數值表示cos（60°-45°）？

評注 大多數學生很難用45°，60°的正弦值或余弦值表示出cos（60°-45°），設計問題2意在讓學生有犯錯的體驗和經歷．充分感受學習就是在不斷犯錯、糾錯的真實過程中不斷完善．

追問1：觀察表1中的數據，同學們有什么發現？

追問2：請同學們猜想，如何運用30°，45°，60°等特殊角的三角函數值計算cos15°？

追問3：請同學們猜想，α，β的三角函數值與cos（α-β）有什么關系？

意圖 涉及α-β的余弦值的問題，一般考慮聯系單位圓或平面向量知識求解，但由于新教材將平面向量安排在本節內容之后．因此構造如圖2所示的單位圓進行證明．

設單位圓與x軸的正半軸相交于點A（1，0），以x軸非負半軸為始邊作角α，β，α-β，終邊分別與單位圓相交于點P1（cosα，sinα），A，（cosβ，sinβ），P（cos（α-β），sm（α-β））．連接A1P1，4P.運用幾何畫板動態演示．將扇形OAP繞點O旋轉β角，則點A，P分別與點A1，P1重合，根據圓的旋轉對稱性可知AP與A1P1重合，從而AP=A1P1，所以AP=A1P1．根據兩點間的距離公式得[cos（α-β）-1]2+sin2（α-β）=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2，化簡得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．當α=2kπ+β（k∈Z）時，易證明上式成立，所以，對于任意角α，β，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

評注 追問1給出cos30°三組表達形式．方便學生從熟悉的特殊三角函數值入手，在設計表格數據時按其順序排列兩角差的余弦公式．有助于學生快速找到數據間的關系，從特殊到一般是獲得結論的一般方法．有助于學生提升自主探究能力，這一過程．可謂水到渠成，質樸無華．

3．歷史溯源，文化浸潤

新課標指出：“數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展；還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義．以及與數學相關的人文活動，”將數學文化．尤其是數學歷史搬入課堂．讓數學活動充滿歷史厚重感，既是對數學發展歷史的傳播，又是對數學歷史的尊重．體現了回歸本真之心．

溯源1 3世紀末．亞歷山大時期的數學家帕普斯在《數學匯編》中給出了這樣一個命題；如圖3所示，設H是以AB為直徑的半圓上的一點．CE是半圓上在點H處的切線．CH=HE.CD和EF為AB的垂線，D，F是垂足，則（CD+EF）．CE=AB．DF．令∠COH=β，∠HOF=α，則∠EOF=∠FOH-∠EOH=α-β．這樣在平面幾何中發現兩銳角差的余弦公式.

溯源2 20世紀90年代末，美國《數學雜志》開辟了“無字證明”專欄（ProofWithoutWords），如圖4所示，可以直觀得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

評注數學史家M·克萊因（Mor-risKline）指出：在教科書和學校的課程中．都將“數學”看作一系列毫無意義的、充滿技巧性的程序．數學如果脫離了其豐富的文化基礎．就會被簡化成一系列的技巧．它的形象也就被完全歪曲了．通過溯源1與溯源2中的圖形的展示．可以讓學生從簡潔的幾何圖形中發現兩角差的余弦公式，同時也為后面學習兩角差的正弦公式提供了證明參考，充分發揮了平面幾何圖形的直觀性，通過在教學中滲透數學文化，讓學生了解數學的發展歷程．引導學生認識和感悟數學的文化價值．樹立文化自信、提升人文素養．

4．注重反思，提升認識

新課標將數學基礎知識、基本技能、基本思想與基本活動經驗簡稱為“四基”，發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力簡稱為“四能”．并以此作為學生進一步學習以及未來發展應具備的能力．在溯源環節．學生掌握了溯源1與溯源2的共同特征，并通過參考帕普斯提出的命題、美國《數學雜志》的“無字證明”，獲取了證明經驗、方法和技能．

證明 如圖5所示，P為單位圓上一點，過點P分別作OP，與x軸的垂線，垂足分別為C與B;過點C作x軸的垂線，垂足為A;過點P作AC的垂線，垂足為D．由此可得．∠ACP=∠BOC=α．因為OP=1，所以OB=cos（α-β），oc=cosβ，PC=sinβ，則DP=PCsinα=sinαsinβ，OA=OCcosα=cosαcosβ．由于OB=OA+AB=OA+DP，因此cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

評注 單位圓是定義三角函數、推導同角三角函數基本關系式和誘導公式、理解三角函數的性質、作三角函數圖象等內容的直觀載體和重要工具．因此．引導學生運用單位圓進行證明，有利于回歸本章節教材的編寫意圖和邏輯起點．

5．分層作業，尊重差異

層次1 梳理本節課所涉及的兩角差的余弦公式的證明方法．

層次2 查閱資料．給出兩種有別于本節課涉及的兩角差的余弦公式的證明方法．

層次3 嘗試探究兩角和的余弦公式.

評注 通過分層布置差異化、高質量的作業．讓不同的學生在數學學習中有不同的選擇，從而實現不同的發展．這既體現了作業的價值．又回歸了教育的初心．

返教學手段之樸，歸技術之真

1．注重課堂板書演示．展示思維邏輯

隨著信息技術的發展，電子課件，白板的廣泛使用給教學帶來了便利．隨之而來的也有一些問題．例如。課件演示代替板書，使得板書越來越少，甚者還出現了“零板書”的現象，眾所周知．板書作為輔助教學的一種基本手段．是教師的一種基本技能．它能全面展示教學過程．是教學活動的重要組成部分．事實上，在復雜而細膩的教學活動中．板書從來不是孤立存在的對象，而是凝聚思想、知識、技能、藝術等諸多因素的綜合體，它既是對知識的再加工．又是對教學藝術的再創造，同時還是對教學過程以及邏輯關系的再現．

如圖6所示．這是兩角差的余弦公式探究過程的板書．有利于學生“慢思考”和“再思考”，例如，學生在教師板書的過程中思考，避免由于PPT展示過快造成思維困境．同時．學生在教師完成講解后，利用板書“再思考”，從而實現思維的“再深化”，因此．只有以發展學生為前提，尊重學生的身心發展規律．遵循教學的基本原則，把握學科的基本特征，才能更好地把握板書的價值，發揮板書育人的作用．

2．規范運用信息技術，提升課堂效率

新課標的實施建議中的第5條明確指出：重視信息技術運用，實現信息技術與數學課程的深度融合，實現傳統教學手段難以達到的效果．例如．利用計算機展示函數圖象、幾何圖形運動變化過程；利用計算機探究算法、進行較大規模的計算；從數據庫中獲得數據，繪制合適的統計圖表；利用計算機的隨機模擬結果．幫助學生更好地理解隨機事件以及隨機事件發生的概率．現代信息技術在數學教學中是學生學習和教師教學的重要輔助手段，其具有直觀、形象等特點．恰當運用可以提升課堂效率．例如，本課運用幾何畫板可以快速準確地呈現單位圓，以及驗證學生對cos15°的猜想．如圖7所示，不僅加深學生對兩角差的幾何印象．更能引發學生的探究興趣，因此，現代教育技術的合理使用對開闊教學思路、提高教學效率、激發學習興趣發揮著重要作用，但值得注意的是數學課不是計算機課，規范運用信息技術是十分必要的．我們不能用技術的演示代替學生的思考和教師的講解．

3．“互聯網+教育”，融合信息時代便捷

互聯網的蓬勃發展．使得“互聯網+教育”成為一種必然．與傳統課堂相比較，互聯網可以將課堂有效前置和延后．在傳統教學中，學生的學習資源局限于教材和教輔資料．學生甚至教師幾乎不會通過其他途徑獲取更多的學習或教學資源，傳統課堂對學生的信息反饋比較滯后，且不夠準確．而“互聯網+教育”下的課堂．教師通過平臺的數據分析，可以快捷、準確地獲取學生的真實學情，從而有針對性地制定課堂教學方案．同時，“互聯網+教育”下的課堂之前．教師可以利用互聯網平臺收集學生對課前任務的完成情況并作數據分析；課堂之中，教師可以及時根據學生的反饋情況，對教學方法與內容難度進行適當調整；課堂之后．根據不同學生的作業反饋．為學生推送個性化的練習與探究性的學習素材．例如，本課后的層次2和層次3的作業學生直接完成有一定困難．教師可以引導學生運用互聯網平臺進行資料查閱、在線討論和成果反饋．

基金項目：2022年內江市教育局高校基礎教育研究專項課題“指向數學核心素養發展的復習課教學研究”；2022年內江市社科規劃項課題“中小學教師有效教育科研的提升策略研究”．