基于數學史的“等比數列前n項和公式”教學新設計

王睿祺 湯瓊 甄迎燁 鐘麗

課題信息：株洲市教育科學“十四五”規劃2021年度課題“新課標背景下高中數學核心素養培養研究”，課題編號為ZJGH21-170.

摘要：在新課標下，數學史在數學教學過程中和教材上的體現都愈加明顯，把相關數學史運用到課堂教學之中，可以激發學生對數學的興趣，有助于學生進一步理解數學，從而提升其數學學科的核心素養.針對人教A版高中數學教材中“等比數列的前n項和公式”這一章節內容，基于數學史融入教學的方式進行教學新設計，讓學生最大程度掌握學習內容，從而更好地提高教學效果.

關鍵詞：等比數列；課堂教學；教學設計；數學史

1 引言

在新課標下，數學史在數學教學過程中和教材上的體現都愈加明顯，人教A版教材幾乎在每個章節后都安排了有關數學文化的“閱讀與思考”板塊，方便有興趣的學生進行課外拓展學習，并把相關數學史融入到課堂教學之中，激發學生對數學的興趣，有助于學生進一步理解數學，開拓視野、提升數學學科的核心素養.

本文中將針對人教A版高中數學教材中“等比數列前n項和公式”這一章節內容，基于數學史融入教學的方式進行教學新設計，讓學生能夠更好地掌握學習內容，使課堂教學效果得到提高.

2 教學新設計

2.1 學情分析

在本節內容的學習過程中，學生往往會對等比數列的前n項和公式的推導方法產生困惑，不理解怎么會想到錯位相減法，有的甚至會思考有沒有其他的推導方法.本設計從學生的角度入手，思考如何利用數學史的相關內容激發學生的求知欲，增強他們的學習動機和熱情，讓他們像歷史上的數學家一樣，經歷發現和解決問題的過程，最大限度地吸收知識.

2.2 教學目標

基于對《普通高中數學課程標準（2017年版2022年修訂）》［1］的分析以及數學文化的滲透，結合學生學情、實際教學情況和教材分析，設定如下教學目標：

（1）掌握并理解等比數列前n項和公式的各種推導方法，學會利用公式解決實際問題；

（2）體會公式推導過程中滲透的數學思想，掌握一些基本的數學方法，培養數學核心素養；

（3）體會潛藏在數學背后的理性精神，通過數學史深入探究數學的本質，引起積極思考，從中獲得智慧，從而更好地掌握數學知識.此外，還可以深刻領略數學的魅力，欣賞數學之美.

2.3 教學設計

2.3.1 新課引入

從復習上節課的知識入手，先帶領學生回顧等比數列的定義及通項公式等內容，并且引用課本上的例子進行提問，引起學生思考.

師：我們知道逐項相加可以對數列求和，但是這種方法對于有很多項的數列就不適用了.比如教材上提到的這個問題——國王要獎賞發明象棋的人，這個人要求在64格的棋盤上，第一個格子放一粒麥子，第二個格子放兩粒麥子，第三個格子放四粒麥子......以此類推，每一個格子都放前一個格子2倍的麥粒數，一直放到最后一個格子.如果你是國王，你會答應他的要求嗎？不管要不要答應，首先我們先算一下麥粒的總數.

生：麥粒總數S=1+2+22+23+……+263，但是這個答案太大了，好像不能直接求出來.

師：確實，所以我們今天就要學習怎么解決這個問題.假設等比數列{an}的首項a1、公比q都已知，那么如何表示其前n項和呢？

生：根據等比數列的通項公式與前n項和的定義，則有Sn=a1+a1q+……+a1qn-1.

師：知道了Sn=a1+a1q+……+a1qn-1，那么是不是可以用a1，q，n這些基本量來表示Sn呢？

設計意圖：通過教材上的數學故事引入本節課的教學內容——等比數列的前n項和公式，為課堂設置了一個生動的開場白，奠定了整個課堂的文化基調，為后面提出數學史與數學家的理論思想打下基礎，使學生接受起來更加順理成章.

2.3.2 公式推導

在課堂上大致給出公式的幾種推導方法，引導學生進行分組討論.小組討論后，讓各小組代表展示不同的推導方法［2］.這里筆者預設了五種推導方法，可視學生的反饋與具體教學情況隨時調整.

法1：等比定理法.

有學生提出可以利用之前學過的等比數列的定義和性質，結合等比定理推導出公式；還有學生利用定義，再通過合比性質，經過化簡也可以得到相同結論.這也是最基礎的推導方式，因為這種方法運用到的都是一些基本的運算與變換.筆者在學生提出推導方法之后簡單介紹這是歐幾里得推導等比數列前n項和公式的方法［3］，可以使學生感受到他們與數學家的同頻思想.

法2：遞推方程法.

有學生提出可以用遞推法，先寫出等比數列的前n項和Sn=a1+a1q+……+a1qn-1，再從第二項開始提取公因式q，得到Sn=a1+q（a1+a1q+……+a1qn-2），而括號里的內容又可以寫作Sn-1，也即Sn-a1qn-1，因此可以得到

Sn=a1+q（Sn-a1qn-1）.

當q≠1時，

得

Sn=a1（1-qn）1-q.

在介紹這種方法時，順便介紹古埃及萊茵德紙草書問題［4］，激發學生探究的興趣.

法3：掐頭去尾法.

這種方法的思路比較特別，一般不容易想到.這就要求教師適當引導學生.

師：還可以利用掐頭去尾法推導公式，通過我們剛剛已經列舉出來的推導方法，有沒有同學有思路？

生：顧名思義掐頭就是去掉首項，去尾就是去掉最后一項.

師：很好！可以說得更具體一點嗎？

生：就像法1中利用合比性質得到的那個式子a2+a3+……+ana1+a2+……+an-1，分子就是Sn掐了頭a1，分母就是Sn去了尾an，分子還可以表示為“Sn-a1”，分母可以表示“Sn-a1qn-1”，則Sn-a1Sn-a1qn-1=q，可得Sn=a1（1-qn）1-q（q≠1）.

師：非常好！（找同學在黑板上寫出推導思路）這種方法就是法國數學家拉克洛瓦在其《代數學基礎》中提出的很獨特的一種思路［5］.雖然這個方法不太容易想到，但同學們經過老師的提醒還是很快地理解和領會了這個方法，這說明大家的數學思想距離那些歷史上的數學家們已經越來越近啦！

法4：錯位相減法.

這是教材上提出的唯一一種推導方法，也是學生普遍最能夠接受的方法.這種較為基礎的推導方式也可以讓學生適當放松，將教學內容逐漸轉移回歸到課本上，學生發散的思維也引回到課標要求的思路上，方便教師繼續按照教學設計和教學目標教學.

法5：數學歸納法.

根據教材的安排，數學歸納法的相關內容被安排在等比數列之后.這樣安排有一定的邏輯原因：首先，對于基礎一般的學生，利用數學歸納法推導等比數列的求和公式，正好可以讓學生提前對數學歸納法有一個初步認識；其次，利用數學歸納法探索與正整數n有關的問題的基本

的思路是“歸納—猜想—證明”，學生經歷了前面幾種推導過程，已經對等比數列的前n項和公式留下了了深刻的記憶點，此時正好可以利用數學歸納法對該公式的正確性再進行確認和鞏固，幫助學生更好地理解公式.

師：接下來老師再介紹一種推導方法.它和其他方法不一樣，這個方法要求我們先發現規律再來證明，也就是說先通過觀察、歸納，然后猜想等比數列前n項和公式，最后再對進行證明.

生：這里的證明方法就是數學歸納法.

師：好，有預習過下節課內容的同學提到了.對，這種證明與正整數n有關命題的方法就叫數學歸納法.具體的步驟就是對于這種有n項的式子，我們先驗證n=1的時候成立，再假設它在n=k的時候成立，然后看能不能推出n=k+1時也成立.下面我們就嘗試利用數學歸納法證明等比數列的前n項和公式，有同學愿意主動上黑板來試試嗎？

生：老師，我來試試！

教師輔助學生在黑板上寫出大致過程，首先驗證n=1時公式成立，然后假設n=k（k∈N*）時公式成立，即Sk=a1（1-qk）1-q，則n=k+1時，有

Sk+1=Sk+ak+1=a1（1-qk）1-q+a1qk=a1（1-qk+1）1-q成立，由數學歸納法原理，命題得證.

設計意圖：通過介紹五種推導方法，同時將其與數學史上的數學家結合起來介紹，使得學生的思維緊跟著歷史上數學發展的脈絡，按照邏輯順序合理推進課程，更加有利于學生對等比數列前n項和公式的推導和公式本身有更深刻的認識.

2.3.3 公式應用

經過公式推導的環節后，教師帶領學生回歸到本節課開頭提到的國王獎賞象棋發明者麥子的問題，首尾呼應.

師：推導出公式之后，我們是不是就可以解決課堂一開始提到的國王賞麥的問題啦？請同學們解決一下國王的問題.

生：由等比數列前n項和公式，可得

S64=1+2+22+……+263=1×（1-264）1-2=264-1.

師：很好！根據教材給出的數據，這個數字超過了1.84×1019，所以根據小麥的產量，國王根本不能完成他的承諾.這個數字是不是比我們想象的要大得多？這就是等比數列求和所體現出來的極小的事物也可以演變成無窮無盡的總量的奧秘，正所謂我們在語文課中學到的什么道理？

生：不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海.

師：沒錯.這就是積累，也是數學的魅力.

接下來給學生展示一些古今歷史上等比數列求和公式的經典例題，讓學生更深刻地體會學習這個公式的必要性.有關現代的例題可以直接從教材上選取有代表性的例題，加強與教材的聯系；古代例題可參考文［6］，其中關于等比數列的求和問題共有4道.

例1? 今有女子善織，日自倍，五日織五尺.問日織幾何？

例2? 今有蒲生一日，長三尺;莞生一日，長一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.問幾何日而長等？

例3? 已知等比數列的首項為-1，前n項和為Sn，若S10S5=3132，求公比q.

例4? 已知等比數列{an}的公比q≠-1，前n項和為Sn.證明Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比數列，并求這個數列的公比.

設計意圖：通過列舉一些數學名著中的經典例題，學生可以感受到數學從古至今一直都吸引著數學家進行不懈的探索，也可以從歷史的長河中體會到數學發展過程中的創新精神，從而更能激發出學習數學的興趣［2］.同時在最后總結時與語文學科中的古詩詞聯系在一起進行跨學科教學，讓學生感受到各學科知識的融會貫通，打破了各個學科之間的壁壘，有利于提升學生的成就感，容易引起學生共鳴，從而更好地促進學生全面發展.

3 教學反饋與評析

3.1 教學反饋

課后發放問卷調查學生聽課情況，問題主要是關于能否聽懂這節課的內容，是否喜歡這種將數學史融入課堂教學的授課方式，這節課的相關數學史知識給了你什么啟發與幫助，最喜歡等比數列求和公式的哪種推導方式以及對這節課印象最深的是什么［2］.

通過問卷調查，可以根據結果推斷出數學史融入數學教學的模式對學生理解知識的程度以及課堂專注度有怎樣的影響，同時根據學生對這節課的評價決定其他部分的教學內容是否應該通過融入數學史的方式來增加學生的學習興趣，提高他們對數學這門學科的學習欲望，體會到學習數學的樂趣.

3.2 教學創新

在“等比數列的前n項和公式”的教學新設計中，探究等比數列求和公式的各種推導方法時，介紹相應的推導方式是由哪些著名數學家以及數學著作中提到的，讓學生了解到古代數學家也是通過同樣的思路來證明相同的問題，從而不再對數學證明望而生畏，拉進學生與數學史之間的距離，一定程度上消除學生對數學的恐懼，保證數學課堂教學的專注度.

本文中教學設計的各個環節一脈相承，在公式推導環節融入數學史之后，趁熱打鐵在習題練習的環節繼續以數學名著《九章算術》為例，采用里面經典例題進行聯系，與“等差數列的前n項和公式”一節相呼應，體現了教學設計的整體性［5］；同時還鍛煉了學生的文學素養，起到了跨學科教學的作用，打破了各個學科之間的壁壘，容易引起學生共鳴，從而更好地促進學生全面發展.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］汪曉勤，沈中宇.數學史與高中數學教學：理論、實踐與案例［M］.上海：華東師范大學出版社，2020.

［3］汪曉勤，韓祥臨.中學數學中的數學史［M］.北京：科學出版社，2002：95-109.

［4］汪曉勤.紙草書上的數列問題［J］.數學教學，2010（1）：29-31.

［5］李玲，汪曉勤.基于數學史的等比數列前n項和公式教學［J］.中學數學月刊，2019（11）：46-49.

［6］肖維松.《九章算術》等比數列問題［J］.高中數理化，2011（24）：8-10.