導(dǎo)數(shù)問題的教學(xué)策略

黃曉華

摘 要：導(dǎo)數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個核心概念，其影響力遍布多個學(xué)科，從數(shù)學(xué)到物理、經(jīng)濟等各個領(lǐng)域都可見其身影。然而，在高中導(dǎo)數(shù)教學(xué)中，存在一些問題，這些問題不僅影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，也限制了導(dǎo)數(shù)知識的深入理解和應(yīng)用。本文旨在探討高中導(dǎo)數(shù)教學(xué)中存在的問題，并提出相應(yīng)的對策，以期為師生在導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中提供有效的幫助和指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；微積分；高中數(shù)學(xué)；切線方程

導(dǎo)數(shù)，這個在微積分中占據(jù)核心地位的概念，常常讓人望而生畏。然而，通過深入了解其本質(zhì)和應(yīng)用，我們會發(fā)現(xiàn)它實際上是對函數(shù)局部行為的一種精確描述。導(dǎo)數(shù)，也被稱為導(dǎo)函數(shù)值或微商，其核心概念在于通過極限的思想對函數(shù)進行線性逼近。在微積分的語境下，導(dǎo)數(shù)可以被視為函數(shù)在某一點附近的變化率。這意味著，如果我們知道了一個函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)，就能了解這個函數(shù)在這一點的“斜率”，從而推斷出函數(shù)在這一點附近是上升還是下降，以及上升或下降的速度。導(dǎo)數(shù)作為微積分中的核心基石，不僅具有深厚的理論價值，還有廣泛的實際應(yīng)用。通過深入理解導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)和應(yīng)用，我們可以更好地掌握微積分的精髓，為解決各種實際問題提供有力的數(shù)學(xué)工具。它不僅可以幫助我們理解函數(shù)的動態(tài)行為，還能在解決實際問題的過程中發(fā)揮巨大作用。例如，在物理學(xué)中，導(dǎo)數(shù)被用來描述物體的速度、加速度等運動狀態(tài)；在經(jīng)濟學(xué)中，導(dǎo)數(shù)被用來分析成本、收入等經(jīng)濟指標(biāo)的變化趨勢[1]。

導(dǎo)數(shù)專題的知識難度較大，常常在壓軸題中出現(xiàn)。在山東高考中這種題型的特點通常是一大一小，分值在17分左右，需要考生具備扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和靈活的解題能力。因此，對于學(xué)習(xí)微積分的同學(xué)來說，掌握導(dǎo)數(shù)的概念和性質(zhì)，以及熟練運用導(dǎo)數(shù)求解各種問題，都是至關(guān)重要的。

一、導(dǎo)數(shù)教學(xué)存在的問題

（一）學(xué)情分析

對于許多學(xué)生來說，導(dǎo)數(shù)是一個相對抽象的概念，它可能難以理解和應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)涉及函數(shù)的變化率、切線斜率等概念，這些概念需要一定的抽象思維能力來理解。在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)之前，學(xué)生需要掌握一定的基礎(chǔ)知識，如函數(shù)、極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、定義以及幾何意義等。如果學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識理解不透徹，那么在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)時就會遇到困難。導(dǎo)數(shù)問題需要較強的邏輯思維能力，對思維強度要求較高。例如導(dǎo)數(shù)的運算法則，學(xué)生難理解、記不住。此外，學(xué)生缺乏實踐機會，忽略了對學(xué)生實際應(yīng)用能力的培養(yǎng)。這可能導(dǎo)致學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的理解停留在理論層面，而無法將其應(yīng)用到實際問題中。

（二）教情分析

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，教師的教學(xué)語言應(yīng)該準(zhǔn)確、簡潔且邏輯性強。然而，在實際教學(xué)中，有時教師的語言可能過于隨意或缺乏邏輯性，導(dǎo)致學(xué)生難以理解和接受教學(xué)內(nèi)容。在教學(xué)過程中，教師和學(xué)生之間缺乏足夠的交流。學(xué)生可能難以理解某些概念，或者他們的觀念與教師的觀念存在矛盾，但由于缺乏有效的溝通，這些問題無法得到及時解決，導(dǎo)致學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的理解越來越模糊。教師的站位太高，不能積極地了解學(xué)生，不了解學(xué)生的痛點在哪里。教師在設(shè)計教學(xué)內(nèi)容時未能充分考慮學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，導(dǎo)致教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生實際掌握的知識水平存在較大的差距。這會影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，甚至使他們對導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生畏懼和排斥心理。教師知識面的廣度和對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用能力也是影響教學(xué)效果的原因之一[2]。某些教師注重習(xí)題的講解，忽視對習(xí)題的歸納總結(jié)，導(dǎo)致學(xué)生難以形成系統(tǒng)的解題思路和方法。另外，有些教師的教學(xué)方法過于單一，缺乏靈活性和創(chuàng)新性，這也會影響學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。

（三）教材分析

導(dǎo)數(shù)不僅是數(shù)學(xué)知識，也是一種數(shù)學(xué)思想，蘊含著函數(shù)思想和極限的思想方法。在人教版高中數(shù)學(xué)教材中，導(dǎo)數(shù)的概念出現(xiàn)在選修2-2的第一章，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了物理的平均速度和瞬時速度，以及前節(jié)課所學(xué)的平均變化率基礎(chǔ)上進行學(xué)習(xí)的。通過學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，學(xué)生可以更好地理解函數(shù)的變化趨勢和性質(zhì)，為以后更好地研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。人教版高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)章節(jié)主要包括導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的計算、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等內(nèi)容。教材通過實例引入導(dǎo)數(shù)的概念，讓學(xué)生從實例中感受導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)和思想方法。同時，教材還注重培養(yǎng)學(xué)生的計算能力和應(yīng)用意識，通過設(shè)置適當(dāng)?shù)木毩?xí)和實際應(yīng)用問題，讓學(xué)生逐步掌握導(dǎo)數(shù)的計算方法和應(yīng)用技巧。

二、新課標(biāo)對導(dǎo)數(shù)的要求

新課標(biāo)強調(diào)對導(dǎo)數(shù)概念的理解，包括導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義和物理意義。學(xué)生需要理解導(dǎo)數(shù)描述的是函數(shù)在某一點處的瞬時變化率，以及它在圖形上表現(xiàn)為切線的斜率。熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本運算，包括求導(dǎo)法則（如常數(shù)法則、冪函數(shù)法則、三角函數(shù)法則等）以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)。此外，還需要理解并掌握高階導(dǎo)數(shù)的概念及計算方法。新課標(biāo)要求學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，如極值問題、最值問題、曲線的形狀分析等。學(xué)生需要能夠運用導(dǎo)數(shù)知識解決這些問題，理解導(dǎo)數(shù)在這些問題中的幾何和物理意義。通過導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，包括邏輯思維能力、抽象思維能力、分析問題和解決問題的能力等。同時，也希望通過導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和動力。對導(dǎo)數(shù)的要求不僅僅是掌握基本的運算和概念，更重要的是理解導(dǎo)數(shù)的幾何和物理意義，以及它在解決實際問題中的應(yīng)用[3]。同時，通過導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決問題的能力，達到提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

三、高考導(dǎo)數(shù)的考點分析

（一）導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)：這是導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)，包括導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義（切線斜率）、物理意義（速度、加速度等）以及基本性質(zhì)。

（二）導(dǎo)數(shù)的計算：深入探索各類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解。它涵蓋了基礎(chǔ)函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程等復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算，此外，還包括高階導(dǎo)數(shù)的計算。

（三）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值、最值：結(jié)合具體問題的背景和條件，深入探索導(dǎo)數(shù)在函數(shù)分析中的應(yīng)用。

（四）導(dǎo)數(shù)與曲線形狀的分析：通過導(dǎo)數(shù)，我們可以分析曲線的形狀，如凹凸性、拐點等。

（五）導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用：導(dǎo)數(shù)在實際生活中有廣泛的應(yīng)用，如物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、工程學(xué)等。在高考中，可能會出現(xiàn)給定實際問題，需要建立數(shù)學(xué)模型并求解的問題。

四、導(dǎo)數(shù)的教學(xué)策略

（一）注重基礎(chǔ)知識、基本規(guī)律的教學(xué)

導(dǎo)數(shù)的基本知識、基本規(guī)律，是學(xué)好導(dǎo)數(shù)的必備條件。在新課教學(xué)中，要注重知識、概念、規(guī)律的形成過程。例如，我們在講解導(dǎo)數(shù)的概念時，可以結(jié)合物理上的瞬時速度、瞬時加速度的概念，讓學(xué)生更加深刻地理解導(dǎo)數(shù)就是變化率。再如，在講解極值、最大值、最小值的時候，我們可以這樣做，想象一下你站在一座山的山頂上，無論你往哪個方向看，都是下坡。這就是一個“極大值”點。相反，如果你站在一個山谷底部，無論你往哪個方向看，都是上坡。這就是一個“極小值”點。在數(shù)學(xué)中，函數(shù)的極值也是這樣的點。在函數(shù)圖像上，這些點周圍的函數(shù)值都比這個點上的值小（對于極大值）或大（對于極小值）。接下來，引入導(dǎo)數(shù)的概念。告訴他們，我們可以通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來找到可能的極值點。導(dǎo)數(shù)為0的點，可能是極值點。但僅僅找到導(dǎo)數(shù)為0的點還不夠，因為有些點可能并不是極值點。我們還需要進一步驗證。

（二）開展分層教學(xué)，重視基礎(chǔ)和拔高

根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、基礎(chǔ)知識和興趣等因素，將學(xué)生分為不同的層次。這樣可以確保教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法與每個層次的學(xué)生相匹配。針對不同層次的學(xué)生，制定不同的教學(xué)目標(biāo)。對于基礎(chǔ)較弱的學(xué)生，教學(xué)目標(biāo)應(yīng)側(cè)重于導(dǎo)數(shù)的基本概念和性質(zhì)；對于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，教學(xué)目標(biāo)可以更加注重導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和解題技巧。根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，為不同層次的學(xué)生設(shè)計不同的教學(xué)內(nèi)容。對于基礎(chǔ)較弱的學(xué)生，可以從簡單的導(dǎo)數(shù)概念入手，逐步引入導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和計算方法；對于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，可以深入探討導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，如極值問題、曲線分析等。對于基礎(chǔ)較弱的學(xué)生，可以采用直觀的教學(xué)方法，如圖形演示、實例分析等，幫助他們更好地理解導(dǎo)數(shù)概念；對于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，可以采用啟發(fā)式的教學(xué)方法，引導(dǎo)他們自主探索和解決問題。針對不同層次的學(xué)生，制定不同的評估標(biāo)準(zhǔn)和反饋機制。對于基礎(chǔ)較弱的學(xué)生，可以注重他們的學(xué)習(xí)過程和進步情況，給予更多的鼓勵和幫助；對于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，可以注重他們的解題能力和創(chuàng)新思維，給予更高層次的挑戰(zhàn)和激勵。

（三）導(dǎo)數(shù)問題的審題策略

導(dǎo)數(shù)問題，許多時候已知條件比較隱蔽，學(xué)生不理解、難以切入。因此，在審題時，學(xué)生需要具備一定的敏銳度和技巧。首先，學(xué)生需要認(rèn)真閱讀題目，理解題目的要求和已知條件。對于不明確的條件，可以通過畫圖、列表等方式進行輔助理解。其次，學(xué)生需要分析題目的特點，確定解題的策略。例如，對于函數(shù)單調(diào)性、極值、最值等問題，可以通過分析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來解決；對于曲線的形狀分析問題，可以通過分析導(dǎo)數(shù)的符號和變化來判斷。在審題過程中，學(xué)生還需要注意一些常見的錯誤和陷阱，避免被誤導(dǎo)。例如，有時候題目中的“在某點處”和“在某區(qū)間內(nèi)”會有很大的差別，學(xué)生需要仔細(xì)辨別。此外，學(xué)生還需要靈活運用導(dǎo)數(shù)知識，結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識，如函數(shù)、不等式、方程等，進行綜合分析和求解。在審題過程中，學(xué)生需要不斷總結(jié)經(jīng)驗和教訓(xùn)，提高自己的審題能力。同時，教師也需要加強對學(xué)生審題能力的培養(yǎng)和指導(dǎo)，幫助學(xué)生更好地掌握導(dǎo)數(shù)知識，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果。

（四）總結(jié)解題步驟和方法

導(dǎo)數(shù)問題，比較復(fù)雜，難度也大，要善于總結(jié)一些解題步驟和方法。理解題意，弄清楚題目要求什么，給定的條件是什么。根據(jù)題目要求，確定使用哪種導(dǎo)數(shù)知識或方法，使用確定的策略進行計算。例如，如果要求找函數(shù)的極值，那么需要找到導(dǎo)數(shù)為零的點，并檢查這些點的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號。這可能包括求導(dǎo)、解方程、分析導(dǎo)數(shù)的符號等。最后，驗證答案是否滿足題目的所有要求。例如，如果找到了函數(shù)的極值點，那么需要驗證這些點確實是極值點，并且滿足題目給定的條件。

平時要善于給學(xué)生總結(jié)一下一些題型的解題步驟。

1.解決切線方程的問題步驟如下：

第一步：寫出切點坐標(biāo)，你需要知道要求寫出曲線在哪一點上的切線方程。這個點稱為切點，它的坐標(biāo)（， ）是求解切線方程的關(guān)鍵信息。第二步：寫出切線方程。

第三步：寫出導(dǎo)函數(shù)，并把切點坐標(biāo)帶入導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)：在微積分中，曲線的導(dǎo)數(shù)描述了曲線在某一點的斜率。因此，要找出切線的斜率，我們需要計算出曲線在切點處的導(dǎo)數(shù)。這通常通過求導(dǎo)函數(shù)在切點坐標(biāo)（， ）的值來完成。

第四步：將導(dǎo)數(shù)帶入切線方程。

通過以上四個步驟，你就可以求解出曲線在給定點的切線方程。這個過程涉及了微積分和解析幾何的基本概念，展示了數(shù)學(xué)在描述和理解現(xiàn)實世界現(xiàn)象中的強大能力。

2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟：

第一步：確定原函數(shù)的定義域。

第二步：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。

第三步：讓導(dǎo)函數(shù)大于零，求出導(dǎo)函數(shù)的解集，在導(dǎo)函數(shù)解集與原函數(shù)的定義域的交集上為增函數(shù)。

第四步：讓導(dǎo)函數(shù)小于零，求出導(dǎo)函數(shù)的解集，在導(dǎo)函數(shù)解集與原函數(shù)的定義域的交集上為減函數(shù)。

通過以上步驟，可以求得函數(shù)的單調(diào)性。

（五）導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用非常廣泛，它可以幫助我們理解和描述許多自然現(xiàn)象、社會現(xiàn)象的變化規(guī)律。以下是一些導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用示例：

1.速度與加速度：在物理學(xué)中，速度是位移關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)，而加速度是速度關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)。通過求導(dǎo)數(shù)，我們可以得到物體在任意時刻的速度和加速度，從而了解物體的運動狀態(tài)。

2.最優(yōu)化問題：在經(jīng)濟、工程和管理等領(lǐng)域，我們經(jīng)常需要解決最優(yōu)化問題，如最大化利潤、最小化成本等。通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，我們可以找到函數(shù)的極值點，從而找到最優(yōu)解。

3.曲線擬合與插值：在數(shù)據(jù)處理和圖形繪制中，我們經(jīng)常需要對一組離散的數(shù)據(jù)點進行擬合或插值，以得到一條光滑的曲線。通過求導(dǎo)數(shù)，我們可以得到曲線的斜率，從而進行擬合或插值。

4.圖像處理：在圖像處理中，導(dǎo)數(shù)被廣泛應(yīng)用于邊緣檢測、噪聲去除和圖像增強等方面。通過求圖像的梯度（即像素值關(guān)于坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)），我們可以檢測到圖像中的邊緣信息，從而進行后續(xù)的處理。

5.機器學(xué)習(xí)：在機器學(xué)習(xí)中，許多算法都涉及導(dǎo)數(shù)的計算。例如，梯度下降算法就需要計算損失函數(shù)關(guān)于模型參數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以更新參數(shù)并降低損失。此外，深度學(xué)習(xí)中的反向傳播算法也依賴于導(dǎo)數(shù)的計算。

總之，導(dǎo)數(shù)在實際應(yīng)用中具有廣泛的應(yīng)用價值，它可以幫助我們更好地理解和描述自然現(xiàn)象，解決各種實際問題。

結(jié)束語

導(dǎo)數(shù)教學(xué)在數(shù)學(xué)教育中占有重要地位。由于學(xué)生在理解、應(yīng)用、總結(jié)等方面都存在一定的困難，教師的站位太高、缺少總結(jié)和創(chuàng)新等問題，導(dǎo)致導(dǎo)數(shù)的教學(xué)往往達不到既定目標(biāo)。導(dǎo)數(shù)教學(xué)不應(yīng)僅僅停留在抽象的理論層面，更應(yīng)通過圖像、實例等方式，使學(xué)生直觀地理解導(dǎo)數(shù)的概念。例如，通過讓學(xué)生觀察函數(shù)圖像的變化，理解導(dǎo)數(shù)在描述函數(shù)局部變化率中的作用。導(dǎo)數(shù)作為一種強大的數(shù)學(xué)工具，在實際問題中有廣泛的應(yīng)用。教師可以設(shè)置一些開放性的問題，讓學(xué)生自行探究，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和解決問題的能力。導(dǎo)數(shù)教學(xué)需要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。在教學(xué)中，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的定義、性質(zhì)、計算方法等方面的邏輯關(guān)系，使他們在掌握知識的同時，也提高邏輯思維能力。導(dǎo)數(shù)教學(xué)的先進做法應(yīng)注重直觀理解、實踐應(yīng)用、自主探索、邏輯思維、現(xiàn)代技術(shù)利用以及跨學(xué)科聯(lián)系等方面，以全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決問題的能力。

參考文獻

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