立足“高觀點(diǎn)”，實(shí)施“低結(jié)構(gòu)化”的數(shù)學(xué)教學(xué)

陳娜

［摘? 要］ 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師以“大問(wèn)題”統(tǒng)領(lǐng)、“結(jié)構(gòu)化”關(guān)聯(lián)、“思想性”統(tǒng)攝、“生命性”潤(rùn)澤，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“提純”“構(gòu)體”“賦魂”“蓄力”。教師必須具有一種大視野，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展整體性、感悟性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)?！暗徒Y(jié)構(gòu)化”教學(xué)是一種深度教學(xué)，能培育學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)高階認(rèn)知形成。立足于“高觀點(diǎn)”，數(shù)學(xué)教學(xué)才能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］ 低結(jié)構(gòu)化；高觀點(diǎn)；小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

“高觀點(diǎn)”的這一提法源自德國(guó)數(shù)學(xué)教育家克萊因，他認(rèn)為：“初等數(shù)學(xué)知識(shí)只有在高等數(shù)學(xué)視角下（高觀點(diǎn)）才能得到深刻的理解。”立足于“高觀點(diǎn)”，學(xué)生能獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)性、關(guān)聯(lián)性的認(rèn)知。小學(xué)數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門(mén)學(xué)科，其教學(xué)不宜過(guò)度抽象，應(yīng)當(dāng)“深入淺出”?！吧钊霚\出”就是立足于“高觀點(diǎn)”而實(shí)施的“低結(jié)構(gòu)化”教學(xué)。實(shí)踐證明，這種指向“高觀點(diǎn)”的“低結(jié)構(gòu)化”教學(xué)，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿溫度、效度、信度?！暗徒Y(jié)構(gòu)化”教學(xué)是一種深度教學(xué)，能培育學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)高階認(rèn)知形成。

一、“大問(wèn)題”統(tǒng)領(lǐng)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“提純”

立足于“高觀點(diǎn)”，實(shí)施“低結(jié)構(gòu)化”教學(xué)，教師可以采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、任務(wù)驅(qū)動(dòng)等教學(xué)方式。樸素的教學(xué)方式只要設(shè)計(jì)得當(dāng)，不僅能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性，還能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、催生數(shù)學(xué)想象，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)課程資源、素材“提純”，助推學(xué)生形成數(shù)學(xué)化的認(rèn)知。這個(gè)過(guò)程就是學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”“形式化”“公理化”的過(guò)程?！疤峒儭笔菍W(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必然，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的應(yīng)然，“提純”能讓學(xué)生超越自我的感性認(rèn)知抵達(dá)理性認(rèn)知的境界。

如何讓問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)中的“問(wèn)題”具有針對(duì)性、實(shí)效性，關(guān)鍵就是教師要立足于數(shù)學(xué)的“高觀點(diǎn)”，讓”問(wèn)題“具有統(tǒng)攝性、思想性、關(guān)聯(lián)性。這樣的“問(wèn)題”才是“大問(wèn)題”，才能真正發(fā)揮“問(wèn)題”的驅(qū)動(dòng)、引導(dǎo)、啟發(fā)功能?！按髥?wèn)題”的“大”不是“大而無(wú)當(dāng)”，不是“縹緲空洞”，而是指“問(wèn)題”能發(fā)揮引領(lǐng)、統(tǒng)整、歸納等作用。比如教學(xué)“乘法交換律”這一部分內(nèi)容，從高觀點(diǎn)——“數(shù)學(xué)集合”的視角看，交換律就是“A∩B=B∩A，A∪B=B∪A”。如何引導(dǎo)學(xué)生理解、感悟“交換律”的抽象性數(shù)學(xué)意義，筆者在教學(xué)中設(shè)計(jì)了“大問(wèn)題”，用“大問(wèn)題”驅(qū)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探索、總結(jié)。

任務(wù)：寫(xiě)出一些算式表示你心目中的乘法交換律。

問(wèn)題：你所寫(xiě)的乘法交換律是正確的嗎？怎樣驗(yàn)證你所寫(xiě)的交換律是正確的？

學(xué)生獨(dú)立思考后進(jìn)行交流。

預(yù)設(shè)1：學(xué)生采用計(jì)算的方法，計(jì)算結(jié)果是相等的。這樣的計(jì)算是一種不完全歸納。

預(yù)設(shè)2：學(xué)生采用畫(huà)圖的方法，畫(huà)出方格圖，從不同的方向看圖，每行的個(gè)數(shù)×行數(shù)=每行的個(gè)數(shù)（原來(lái)的行數(shù)）×行數(shù)（原來(lái)每行的個(gè)數(shù)）。

預(yù)設(shè)3：學(xué)生采用操作的方法，從a個(gè)b也就是b個(gè)a的乘法的意義來(lái)證明。

預(yù)設(shè)4：學(xué)生從積的變化規(guī)律方面來(lái)加以驗(yàn)證；如a×2a=2a×a。

在問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生對(duì)“乘法交換律”展開(kāi)積極的研討。通過(guò)研討，學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到：不僅交換乘法算式中的兩個(gè)數(shù)，而且可以交換乘法算式中的兩個(gè)整體式子，它們的乘積都不變，如24×（23+27）=（23+27）×24。在研討的過(guò)程中，學(xué)生自主建構(gòu)、創(chuàng)造了“乘法交換律”——“a×b=b×a（a、b屬于自然數(shù)）”（僅限于學(xué)生的認(rèn)知水平）。

除了“大問(wèn)題”統(tǒng)領(lǐng)、“大問(wèn)題”驅(qū)動(dòng)，還要求教師鼓勵(lì)、激發(fā)學(xué)生自主提出相關(guān)的問(wèn)題。比如，有的學(xué)生在學(xué)習(xí)中提出這樣的問(wèn)題：“老師，我們已經(jīng)研究了加法交換律、乘法交換律，在減法和除法中也存在交換律嗎？”這樣的問(wèn)題引發(fā)了學(xué)生的深度探究。通過(guò)研究，學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到減法中的交換律其實(shí)就是加法交換律，除法中的交換律其實(shí)就是乘法交換律，只不過(guò)在使用“交換律”的時(shí)候要連同數(shù)字前面的符號(hào)一起交換。如此，學(xué)生對(duì)“交換律”這一“上位概念”形成了本質(zhì)性的認(rèn)知。

二、結(jié)構(gòu)性關(guān)聯(lián)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“構(gòu)體”

如上所述，“高觀點(diǎn)”具有統(tǒng)攝性，它往往能關(guān)聯(lián)諸多類型的知識(shí)，既是一種上位知識(shí)，又是一種關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái)，對(duì)相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行“描點(diǎn)”“連線”“勾面”“構(gòu)體”。一方面，教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的誕生、生發(fā)順序，幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)鏈、知識(shí)串；另一方面教師要根據(jù)學(xué)生的具體學(xué)情，將相關(guān)聯(lián)的知識(shí)鏈、知識(shí)串等勾連起來(lái)，建構(gòu)“知識(shí)體”。基于“高觀點(diǎn)”的視角，采用“低結(jié)構(gòu)化”教學(xué)，就是要求教師將教學(xué)意圖隱藏起來(lái)，讓學(xué)生在潛移默化中感受、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的“大概念”。這種“大概念”有助于學(xué)生后續(xù)進(jìn)行自主性、自能性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，尤其是同類數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)。

“大概念”是一種“具有高度概括性、統(tǒng)攝性概念”，它能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中舉一反三、觸類旁通。在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“大概念”往往發(fā)揮著“潤(rùn)物無(wú)聲”的功能、作用?！按蟾拍睢蓖菨撾[在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中的，它猶如一只“看不見(jiàn)的手”，始終牽引著學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。比如，教學(xué)“認(rèn)識(shí)厘米”這一部分內(nèi)容時(shí)，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生用“厘米尺”進(jìn)行測(cè)量，還要引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“厘米尺”、創(chuàng)造“厘米尺”。通過(guò)激發(fā)學(xué)生比較兩個(gè)物體的長(zhǎng)度，能讓學(xué)生產(chǎn)生一種建構(gòu)、創(chuàng)造“單位厘米”的內(nèi)在需要，并通過(guò)感知、想象等豐富學(xué)生對(duì)“單位厘米”的表象。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用“單位厘米”去測(cè)量物體的長(zhǎng)度，由此催生學(xué)生將“單位厘米”串接起來(lái)的內(nèi)在需要，進(jìn)而建構(gòu)“厘米尺”的雛形。在這樣的探究過(guò)程中，學(xué)生能感悟到“測(cè)量”的本質(zhì)，即測(cè)量就是測(cè)量被測(cè)量對(duì)象中包含多少個(gè)測(cè)量單位的過(guò)程。有了這樣的感悟，學(xué)生就能建構(gòu)起“測(cè)量”的包含性意義，這就是“量與計(jì)量”的高觀點(diǎn)。這種“高觀點(diǎn)”能對(duì)學(xué)生將要學(xué)習(xí)的“角的度量”“認(rèn)識(shí)面積”等相關(guān)內(nèi)容發(fā)揮至關(guān)重要的作用。這種“高觀點(diǎn)”能引導(dǎo)學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)過(guò)程中將已經(jīng)學(xué)習(xí)的內(nèi)容串接成一個(gè)整體。

基于“高觀點(diǎn)”引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，要求教師充分發(fā)揮“高觀點(diǎn)”的功能、作用，彰顯“高觀點(diǎn)”的教學(xué)功能。實(shí)踐證明，在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，“高觀點(diǎn)”不僅能讓學(xué)生突破學(xué)習(xí)障礙、思維困惑等，更能引導(dǎo)學(xué)生的思維進(jìn)階、認(rèn)知進(jìn)階。在“高觀點(diǎn)”視野下，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是知識(shí)點(diǎn)的堆砌，而是能讓其形成上位性的認(rèn)知，能讓其把握數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，能讓其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中舉一反三、觸類旁通。

三、思想性豐盈，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“賦魂”

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)說(shuō)到底是數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂，貫穿于數(shù)學(xué)知識(shí)形成過(guò)程和形態(tài)結(jié)果之中。數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾曾經(jīng)說(shuō)：“數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)?！比毡緮?shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏也曾經(jīng)說(shuō)：“學(xué)生在學(xué)校所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，在進(jìn)入社會(huì)后一兩年就被遺忘，……而唯有數(shù)學(xué)思想方法卻深深地銘刻在學(xué)生心中。”

基于數(shù)學(xué)的“高觀點(diǎn)”，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要深入發(fā)掘數(shù)學(xué)知識(shí)背后蘊(yùn)含著的數(shù)學(xué)思想方法，并將相應(yīng)的、相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法顯露、敞亮出來(lái)，讓學(xué)生觸摸、觸碰到數(shù)學(xué)知識(shí)中的相關(guān)思想方法。教學(xué)中，教師不能采用“說(shuō)教”“灌輸”“鏈接”的方式，而應(yīng)當(dāng)采用“滲透”“融入”的方式，將數(shù)學(xué)思想方法植入學(xué)生的心里。比如教學(xué)“平行四邊形的面積”這一部分內(nèi)容時(shí)，教師可以先讓學(xué)生猜想：平行四邊形的面積與什么因素有關(guān)？平行四邊形的面積可以怎樣計(jì)算？你準(zhǔn)備怎樣驗(yàn)證？通過(guò)這樣的問(wèn)題，催生學(xué)生的猜想，讓學(xué)生積極主動(dòng)地嘗試驗(yàn)證。比如，有的學(xué)生認(rèn)為，平行四邊形的面積與底、斜邊的長(zhǎng)度有關(guān)，因?yàn)槠叫兴倪呅慰梢酝评砷L(zhǎng)方形，在推拉的過(guò)程中，平行四邊形的底、斜邊相當(dāng)于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬；有的學(xué)生認(rèn)為，平行四邊形的面積與底、高的長(zhǎng)度有關(guān)，因?yàn)槠叫兴倪呅慰梢约羝闯砷L(zhǎng)方形，在剪拼的過(guò)程中，平行四邊形的底、高分別相當(dāng)于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬，這兩種思考里滲透了“轉(zhuǎn)化”的思想。有的學(xué)生認(rèn)為，不能用平行四邊形推拉成長(zhǎng)方形的方法來(lái)推導(dǎo)平行四邊形的面積，因?yàn)樵谕评倪^(guò)程中平行四邊形的面積發(fā)生了變化，這里就滲透著“等積變形”的思想。在教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用平行四邊形的面積公式的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生觀察轉(zhuǎn)化前后的平行四邊形、長(zhǎng)方形之間的對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系，這里就滲透、融入了“推理思想”；在引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)平行四邊形的面積計(jì)算公式并用字母概括表達(dá)的時(shí)候，這里就蘊(yùn)藏了“數(shù)學(xué)建?！彼枷?；在引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算平行四邊形的面積時(shí)，要讓學(xué)生關(guān)注用底乘哪一條高，從而滲透、融入“數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)”思想。豐富的思想、方法，絕不是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“副產(chǎn)品”，而是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主旨、目的。

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的隱性知識(shí)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有較強(qiáng)的影響。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)知識(shí)的精華。有深度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必定是融入、滲透數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，融入、滲透數(shù)學(xué)思想方法能給學(xué)生的心靈以激蕩、震蕩，能讓數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)更有深度、高度。

四、生命性潤(rùn)澤，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“蓄力”

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須具有生命的活力。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生感悟、體悟數(shù)學(xué)思想方法，更要讓學(xué)生受到數(shù)學(xué)文化的啟蒙、熏染，受到數(shù)學(xué)生命的潤(rùn)澤。只有將數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)精神等融入學(xué)生的生命之中，才能對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有效“蓄力”，讓學(xué)生真正從被動(dòng)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向主動(dòng)的學(xué)習(xí)、從膚淺的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向深刻的學(xué)習(xí)、從分割的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向整體性的學(xué)習(xí)。教師不僅要注重啟迪學(xué)生思維，還要注重培育學(xué)生的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)人格，把學(xué)生培養(yǎng)成一個(gè)具有數(shù)學(xué)品性、品位的人。

從根本上說(shuō)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有根植于數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)精神的土壤中，才能獲得一種持久的生命力。比如教學(xué)“成反比例的量”這一部分內(nèi)容時(shí)，很多教師僅僅引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)量關(guān)系出發(fā)，概括、提煉“反比例的關(guān)系式”，而忽視了反比例的圖像。筆者在教學(xué)中，立足于數(shù)學(xué)思想、文化的視角，給學(xué)生提供了平面直角坐標(biāo)系，引導(dǎo)學(xué)生采用“描點(diǎn)”“連線”等方式，繪制反比例圖像。有了“反比例圖像”，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)反比例圖像進(jìn)行數(shù)學(xué)化的解讀，能讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到：橫軸上的數(shù)越來(lái)越大、縱軸上的數(shù)越來(lái)越?。粰M軸上的數(shù)越來(lái)越小、縱軸上的數(shù)越來(lái)越大，而橫軸和縱軸上相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積始終不變（在觀察反比例圖像上的數(shù)對(duì)時(shí)，滲透數(shù)學(xué)的奇異之美）；引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、比較發(fā)現(xiàn)，橫軸上的數(shù)向無(wú)限遠(yuǎn)延伸，縱軸上的數(shù)越來(lái)越接近橫軸但卻始終不和橫軸相交，縱軸上的數(shù)越來(lái)越接近0，但始終不等于0，由此滲透、融入數(shù)學(xué)的對(duì)應(yīng)之美、極限之美。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要給學(xué)生的數(shù)學(xué)文化精神的啟迪，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)維度來(lái)感悟、分享數(shù)學(xué)的文化與精神。

數(shù)學(xué)的文化、精神是數(shù)學(xué)的內(nèi)在性的生命。教師必須具有一種大視野，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展整體性、感悟性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)?！昂诵母拍睢薄吧衔恢R(shí)”“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”“思想方法”等都是數(shù)學(xué)的“高觀點(diǎn)”。教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要“高點(diǎn)定位”，只有這樣才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“高位走強(qiáng)”，才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)煥發(fā)生命的活力。