經歷抽象過程，發展形象思維

王燕萍

［摘? 要］ 動手操作是解決學科抽象性與思維形象性之間矛盾的重要手段。文章結合動手操作的內涵和意義，闡述其在教學中的運用策略：讓學生在多樣方法中直觀感受數學內涵，在多次嘗試中解決實際問題，在動手實踐中發展思維品質。

［關鍵詞］ 動手操作；形象思維；抽象；探索

隨著課堂教學改革的深化，動手操作在課堂教學中得到了廣泛運用。什么是“動手操作”？筆者認為動手操作是指在教師的數學思想和理論指導下，學生通過制作數學實物模型、操作數學學具等活動，來鍛煉手、口、眼、鼻、腦等多種感官協調能力的數學探索活動。動手操作活動旨在讓學生在親身經歷中提高感性認識，直觀感知動態過程，把外部顯性活動轉化為內部隱性語言，為學生感悟數學的抽象內涵和提升思維能力打下堅實的基礎。

皮亞杰認為，傳統教學的缺點在于教師注重用口頭講解，不注重實際操作。動手操作可以解決傳統教學中存在的問題，改變學生被動聽課的弊端，使傳統課堂轉向以激勵學生發揮潛在能力、調動多種感官的自主探究，把抽象的數學知識轉化為直觀的、具體的內容，實現理論和實踐的有機結合。同時，動手操作還可以培養學生的抽象概括能力、分析問題和解決問題的能力、應用意識及創新意識，幫助學生更好地理解抽象的數學概念、法則和公式，感受數學所蘊藏的奧秘。

小學生的數學形象思維具有間接性、概括性、形象性、邏輯性、層次性和創造性的特點。動手操作可以培養學生的數學形象思維能力，讓學生在操作中直觀感受數學概念、數學法則和數學公式的形成過程，發現不同層次的數學方法并感受其優劣。

“數學動手操作能力”［１］是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱新課標）提出的要求：學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。課程內容不僅包括數學的結果，還包括數學結果的形成過程和蘊含的數學思維方法。課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生的體驗和理解、思考和探索。教師在課堂上注重學生的動手操作能夠使其經歷解決問題和數學概念形成的過程，認識蘊含其中的數學思維方法，幫助其更好地積累數學活動經驗和發展數學思維能力。

一、從“被動”走向“主動”，讓學生在多樣方法中直觀感受數學內涵

美國學者大衛·庫伯在《體驗學習——讓體驗成為學習與發展源泉》中說，學習是體驗、感知、認知和行為四個方面整合統一的過程。教師在教學過程中只是告知學生抽象的數學概念和規律，忽略了探索和體驗概念或規律產生的過程與原因，導致教學過程脫離學生生活實際，這樣不利于學生真正理解概念和培養形象思維。相較于簡單“被動”地告知學生結論，教師創設有趣的問題情境更能激勵學生進行自主思考、動手操作，讓學生在積極嘗試中找到規律、得出結論，進而理解和掌握概念，并在其他情境中靈活運用。

在概念教學中，筆者常常發現：部分學生對概念的本質屬性理解不透徹，對概念內涵“似懂非懂”，只是機械記憶概念或公式。這表明學生還沒有真正理解概念，只是被動地記憶概念和規律，這需要教師在課堂上給予學生足夠的時間和空間，引導學生主動參與、動手嘗試、自主探索、發現規律，讓學生通過動手操作形成形象思維，在觀察、記錄、比較、思考、交流中發現數學現象的本質和規律，形成完整的認知結構。

比如，在“圓周長”的教學中，如圖1，教師設計了探究圓周長與直徑關系的數學實驗。

測量圓的周長

1. 量一量：用你喜歡的方法量一量塑料圓片的周長與直徑。

2. 算一算：算出周長除以直徑的商，填在“探究單”的表格中。（可使用計算器，結果保留兩位小數）

3. 說一說：觀察計算結果，說說你的發現。

通過這一操作探索，學生直觀地感受到圓不同于正方形、三角形，是曲線圖形，無法用直尺直接測量出周長。在動手操作中，有的學生把圓剪下來，沿著直尺的一邊，緊緊貼合著直尺滾動一周測量出圓的周長；有的學生用繩子緊緊繞著圓圍一圈，在繩子上做好標記，量出繩子的長度測量出圓的周長。與教師直接出示動態的演示課件相比，這樣的動手操作設計更能引導學生感受π的大小和內涵，既能培養學生的團隊分工、合作的意識，又能培養學生的探究意識和動手操作能力。

通過動手操作，學生想到用“滾圓法”和“繞圓法”來測量圓的周長，教師適時地滲透“化曲為直”的思想，讓學生初步理解轉化的思想；通過動手操作，學生在多種方法中發現圓的周長是直徑的三倍多一點，更直觀、形象地感受了π的大小。

二、從“直覺”走向“本質”，讓學生在多次嘗試中解決實際問題

英國學者斯賓塞說：“天生的能力必須借助于系統的知識。直覺能做的事很多，但是做不了一切。只有天才和科學結了婚才能得到最好的結果。”在新授課時，筆者發現，在面對簡單或熟悉的問題時，學生常常靠著直覺動手操作能夠快速發現規律和得出結論；然而面對稍復雜的問題時，學生很難一下子得出結果和感受本質，這需要教師巧妙地引導學生進行多次嘗試，帶著辯證的態度去思考。

比如，在感悟轉化策略時，很多學生靠直覺把復雜的問題轉化成簡單的問題。然而對于什么是轉化策略、何時運用轉化策略、如何靈活運用轉化策略，這需要學生在更多的問題情境中通過動手操作來深化理解。在轉化策略的運用環節，教師應重點呈現僅憑直覺容易出錯的問題，引導學生思考這種操作方式的不足之處，進而調整自己的思維方式。學生只有經歷“操作—出錯—糾正—再操作”的過程，才能加深對策略的理解與感悟，從而提高分析問題和解決問題的能力。

比如，在“解決問題的策略——轉化”的練習中，教師對題目稍做改變，可以提高學生對轉化策略的運用能力，如圖2。

明明和東東在同樣大小的長方形紙上分別畫了一個圖案（圖中直條的寬度都相等且每個圖中的陰影部分互相垂直）。這三個圖案的面積相等嗎？為什么？

借助直覺，大多數學生通過平移得出第一個、第二個長方形中陰影部分面積相等的結論；通過分割、平移第三個長方形里的圖案，憑借直覺得出與前兩個圖案面積不相等的結論。此時，教師要及時引導，指出題目的關鍵信息“直條的寬度都相等且每個圖形陰影部分互相垂直”。學生結合教師的引導和以前所學知識，發現平行四邊形直條的底和長方形直條的寬一樣長，平行四邊形直條的高和長方形直條的長相等；然后利用“等底等高”的知識把平行四邊形直條的面積轉化成長方形直條的面積，通過分割、平移得出三個長方形中陰影部分的面積都相等。

問題：如圖3，用分數表示圖中的涂色部分。

部分學生憑借直覺把涂色部分的正方形旋轉成3×3的正方形，得出的答案。當其他學生提出疑問時，教師為學生提供透明的方格紙，引導學生動手操作。通過轉一轉、比一比、想一想的方式，學生會發現涂色部分的正方形要比3×3的正方形大一點，因此之前所得結論是錯誤的。

教師引導學生動手操作，把正方形進行分割，涂色部分的正方形可以分割成4個直角三角形和1個小正方形。此時學生想到了運用轉化的策略，把不滿整格的4個直角三角形拼起來，變成滿格的2個大長方形，如圖4。學生用數格子或者運用面積計算公式得出結論，真正體會轉化的價值和掌握轉化的本質。

學生在動手操作的過程中進行了更深層次的思考，不斷感悟轉化的策略，提高了自我檢查、自我糾錯的能力。

三、從“此岸”走向“彼岸”，讓學生在動手實踐中發展思維品質

學以致用是教學的最高目標。課堂上，教師常常只在新授課階段引導學生動手操作，忽視了在鞏固練習階段設計讓學生通過動手操作來解決的問題。如果學生只學會知識而不應用知識來實踐，這不利于其深入了解和鞏固知識。

比如，在“分數的意義”一課中，如圖5，筆者設計了動手操作的練習題。

在新授課時，學生已經認識了單位“1”，能夠根據具體情境表示相應的分數或說明分數的具體意義。教師通過這道開放性的練習，放手讓學生利用素材創造一個分數，引導學生經歷“學習—感悟—運用—創新”的過程。學生通過動手操作自主創造了分數，并分享創造的分數的具體含義，感受同一個分數在不同的情境中表示的含義不同，同一個素材可以表示不同的分數。通過練習，學生能夠形象地認識和理解分數的意義與價值，培養了觀察、比較、綜合和抽象、概括的思維能力及靈活運用知識的能力。

高斯曾說，數學中的一些魅力一定具有這樣的特效：它們極易從事實中歸納、概括出來，但證實隱藏得極深。在數學教學中，教師要重視動手操作教學，創設貼近學生生活的教學情境，給予學生豐富的教具和充足的時間，引導學生在動手操作中提高思維能力。

參考文獻：

［１］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（２０２２年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，２０２２.