平面向量數量積的最值問題求解策略

林芬

［摘 要］文章從一道求解平面向量數量積的最值的填空題入手，探究平面向量數量積的最值問題的多種解法，通過反思提煉，以提高學生的解題能力。

［關鍵詞］平面向量；數量積；最值問題

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）08-0024-03

平面向量數量積的最值問題，是各級各類考試的熱點。本文擬從一道填空題入手，探究平面向量數量積的最值問題的多種解法，并通過反思提煉以及解法活用，促進學生實現對知識的融會貫通和方法的靈活運用，提高學生的解題能力。

［題目］已知圓[O]的半徑為[1，PA、PB]為該圓的兩條切線， [A、B]為兩切點，那么[PA·PB]的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? ?。

一、多解探究

平面向量具有代數和幾何的雙重屬性，求解平面向量數量積的最值問題可以從代數角度和幾何角度去尋找解題思路，代數化、坐標化和幾何化都是最常見的解題策略。

思路1：利用定義代數化，直接利用平面向量數量積的定義，借助基本不等式求解。

解法1：如圖1所示，設[OP=x]，[∠APO=θ]，則[PA=x2-1]，[cos2θ=1-2sin2θ=1-2x2]，所以[PA·PB=PAPBcos2θ=PA2cos2θ=（x2-1）1-2x2=x2+2x2-3≥22-3]，當且僅當[x2=2]時等號成立，所以[（PA·PB）min=22-3]。

思路2：利用平面向量的基底轉化運算。

解法2：如圖2所示， 設[AB]的中點為[M]，設[OM=x]，在[Rt△PAO]中，由直角三角形射影定理得[OA2=OM×OP]，[MA2=OMPM]，所以[OP=1x]，[PM=1x-x]，所以[PA·PB=（PM+MA）·（PM+MB）=（PM+MA）（PM-MA）=PM2-MA2=PM2-OMPM=1x-x2-x1x-x=2x2+1x2-3≥22-3]，當且僅當[x2=22]時等號成立，所以[（PA·PB）min=22-3]。

思路3：利用平面向量的極化恒等式加以轉化。

解法3：如圖2所示，在[Rt△PAO]中，由直角三角形射影定理有[OA2=OMOP]，所以[OP=1OM]，[PA·PB=14（PA+PB）2-（PA-PB）2][ =14（2PM）2-AB2=14（2PM）2-（2AM）2=PM2-AM2=][（OP-OM）2-OA2-OM2][ =1OM-OM2-OA2-OM2][ =2OM2+1OM2-3≥22-3]，當且僅當[OM=124]時等號成立，所以[（PA·PB）min=22-3]。

思路4：建立平面直角坐標系，利用坐標運算求解。

解法4：如圖3所示，建立平面直角坐標系，設[A（x，y）]，[P（x0，0）]，則[B（x，-y）]，[x2+y2=1]，所以[PA=（x-x0 ，y）]，[PB = （x-x0 ，-y）]，所以[PA·PB=x2-2xx0+x20-y2=2x2+x20-2xx0-1]，又[OA·PA=0]，所以[PA·PB=2x2+x20-2xx0-1=2x2+x20-3≥22x2x20-3=22-3]，當且僅當[2x2=x20]，即[x=124]時等號成立，所以[（PA·PB）min=22-3]。

思路5：利用平面向量數量積定義，換元轉化為分式型最值問題。

解法5：如圖1所示，設[∠APO=θ]，則[PA·PB=PA2cos2θ]，在[Rt△PAO]中，[tanθ=1PA，]因為[cos2θ=1-tan2θ1+tan2θ=PA2-1PA2+1]，所以[PA·PB=PA2PA2-1PA2+1]，令[PA2=t]，則[PA·PB=t2-tt+1=t+1+2t+1-3≥22-3]，當且僅當[t+1=2]，即[t=2-1]時等號成立，所以[（PA·PB）min=22-3]。

二、反思提煉

求解平面向量數量積的最值問題，最基本的思路就是結合數量積定義與向量運算公式，選擇恰當的方法將平面向量數量積的最值問題轉化為函數的最值問題。這類問題一般有以下幾種轉化方向：利用數量積的定義，借助平面幾何知識，轉化為關于某個變量的函數，如思路1；利用向量運算（三角形法則）和平面圖形的幾何性質轉為關于某個變量的函數，如思路2；利用向量極化恒等式：[a·b=14（a+b）2-（a-b）2]進行轉化，如思路3； 建立平面直角坐標系，把問題轉化為坐標運算，如思路4；設角度，把問題轉化為三角函數問題后，換元化為分式型的最值問題，如思路5。建立目標函數后求最值，需具體問題具體分析。求最值問題一般有兩種方法：一是利用幾何意義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將最值問題轉化為函數問題，然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法求解。

三、解法活用

［例1］已知圓[O]的半徑是1，直線[PA]與圓[O]相切于點[A]，過點[P]的直線[PB]與圓[O]交于[B]、[C]兩點，且點[A]與點[O]在直線[PB]的兩側，點[D]為[BC]的中點，若[PA=3]，則[PA·PD]的最大值為? ? ? ? ? ? ?。

分析：依題意求出[PO=2]，[∠APO=π6]，設[∠CPO=α]，將[PA·PD]轉化為[α]的函數，由三角函數的最值求解。

解：依題意，如圖4所示，在[Rt△AOP]中，[AO=1]，[AP=3]，所以[PO=2]，[∠APO=π6]，設[∠CPO=α]，[α∈0，π6]，在[Rt△DOP]中，[PD=POcosα=2cosα]，[PA·PD=]

[PAPDcosπ6-α=3×2cosαcosπ6-α=][23cosα32cosα+12sinα=32cos2α+32sin2α+] [32 =3sin2α+π3+32]，由于[α∈0，π6]，則[2α+π3∈π3，2π3]，當[2α+π3=π2]時，[sin2α+π3=1]，此時[PA?PD]取得最大值[32+3]。

點評：本題結合平面向量數量積定義和幾何圖形特征，將原問題轉化為三角函數的最值問題。

［例2］已知向量[a，b，e]滿足[e=1]，[a·e=1]，[b·e=2]，[a-b=2]，則[a·b]的最小值是? ? ? ? ? ? 。

分析：由題意知，若[e=（1，0）]，設[a=（1，m）]，[b=（2，n）]，求出[a+b]、[a-b]的坐標。

思路1：根據[a·b=a+b22-a-b22]求最小值。

思路2：由已知[a-b=1+（m-n）2=2]，結合基本不等式求[mn]的取值范圍，再由平面向量數量積坐標表示求[a·b]的最小值；注意取值條件。

解法1：由題意，若[e=（1，0）]，設[a=（1，m）]，[b=（2，n）]，則[a+b=（3，m+n）]，[a-b=（-1，m-n）]，[a·b=a+b22-a-b22=149+（m+n）2-4=145+（m+n）2≥54]，當且僅當[m+n=0]時等號成立，故[a·b]的最小值為[54]。

解法2：[a-b=1+（m-n）2=2]，即[（m-n）2=3]，由基本不等式得[mn≥-34]，當且僅當[m=-n]時等號成立，故[a·b=2+mn≥2-34=54]，所以[a·b]的最小值為[54]。

點評：解法1采用了向量極化恒等式，通過配方法求最值；解法2采用了坐標法，利用基本不等式求最值。

［例3］已知[OA=OB=OC=1]，[OA·OB=0]，[OP≤1]，則[AP·BP+BP·CP+CP·AP]的最大值為? ? ? ? ? 。

分析：利用向量的減法法則，把[AP]，[BP]，[CP]轉化為[OA]，[OB]，[OC]，[OP]進行求解。

解：設[M=AP·BP+BP·CP+CP·AP]，則[M=（OP-OA）（OP-OB）+（OP-OB）（OP-OC）+（OP-][OC）（OP-OA）] [=3OP2-（OA+OB）?OP+（OB+OC）?OP+（OC+OA）?OP+（OA·OB+OB·OC+][OC·OA） ][=3OP2-2（OA+OB+OC）·OP+（OA?OB+OB·OC+OC?OA） ][=3OP-OA+OB+OC32-（OA+OB+OC）23+（OA?OB+OB?OC+OC?OA）=][3OP-OA+OB+OC32+OA·OB+OB·OC+OC·OA3-1]。設[OP=（x，y）]，[OA=（1，0）]，[OB=（0，1）]，[OC=]（[cosθ]，[sinθ]），[θ∈0，2π ]，[OG=OA+OB+OC3]，即[G]為[△ABC]的重心，則[OP-OA+OB+OC32=PG2]，∵[OA=OB=OC=1]，[OP≤1]，∴[A]、[B]、[C]三點共圓，點[P]位于圓上或圓內，故當[P]為射線[GO]與圓周交點時，[PG2]最大，即[OG+12]最大。∴[M≤3OG+12+OA·OB+OB·OC+OC·OA3-1][=3（1+cosθ）2+（1+sinθ）2+12+sinθ+cosθ3-1=][3133+2（cosθ+sinθ）+12+sinθ+cosθ3-1]。由[-2≤sinθ+cosθ≤2]得，[M≤3133+22+12+23-1=5+32]。當且僅當[θ=π4]時，[M]取到最大值[5+32]。

點評：本題應用平面向量基本定理，將所求向量向基底轉化，同時為了構建目標函數將向量坐標化，求最值時，既應用了幾何圖形的性質，又運用了三角函數的有界性。用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決。

［例4］已知向量[a]，[b]滿足[a=3]，且[b-λa]的最小值為1（[λ]為實數），記[a，b=α]，[a，a-b=β]，則[b·（b-a）cos（α+β）]最大值為? ? ? ? ? ? 。

分析：如圖5所示，由題意建立位于坐標系內的[△OAB]，先數形結合得出[B]到[OA]的距離為1，再利用三角形內角和關系轉化為求[-b·b-a]的最大值，利用坐標轉化為求函數最值問題，利用求導找出函數的單調性，結合函數的單調性可得函數的最值，進一步得到答案。

解：設[a=OA]，[OA=3]，[b=OB]，由[b-λa]的最小值為1（[λ]為實數），[∴B]到[OA]的距離為1，如圖5所示建立平面直角坐標系，[A（3，0）]，[B（x，1）]，∵[a，b=α]，[a，a-b=β]，∴在[△ABO]中，[∠BOA=α]，[∠BAO=β]，∴[cos（α+β）=-cos∠OBA=-cosb，b-a]， ∴[b·（b-a）cos（α+β）=b·（b-a）-cosb，b-a=-b·b-a=-x2+1·（x-3）2+1][ =-x4-6x3+11x2-6x+10]，

令[f（x）=x4-6x3+11x2-6x+10 ]，[ f（x）=4x3-18x2+22x-6=2（2x-3）（x2-3x+1）]，

令[f ′（x）=0]，得[x=32]或[3+52]或[3-52]或[x<3-52]時， [f（x）<0]， [f（x）]單調遞減；

[x∈3-52，32]， [f（x）>0]， [f（x）]單調遞增；

[x∈32，3+52]， [f（x）<0]， [f（x）]單調遞減；

[x∈3+52，+∞]， [f（x）>0]， [f（x）]單調遞增；

∵[f3+52=f3-52=9]，∴[f（x）min=9]，∴[-b·b-amax=-3]，即[b·（b-a）cos（α+β）]的最大值為[-3]。

點評：建立平面直角坐標系，在圖形中找到角度的關系，轉化為求[-b·b-a]的最大值，再轉化為求函數最值問題，利用導數找出函數的單調性，即可分析函數的最值。

由此可見，求解平面向量數量積的最值問題的關鍵是數形結合，建立目標函數，利用向量數量積定義和向量運算公式進行合理轉化。

（責任編輯 黃桂堅）