問題引領 提升效能

金瑜

[ 摘 要 ]“問題解決”是發展學生學習能力、提升學生數學素養的重要途徑.在復習教學中，教師應結合教學實際設計有效的問題，讓學生在問題解決的過程中完成知識的梳理、經驗的積累和認知結構的完善，以此提高課堂教學實效，提升學生數學素養.

[ 關鍵詞 ]問題解決；教學實效；數學素養

“提質增效”是一線教師的共同追求.為了實現“提質增效”這一目標，教師不妨將“問題解決”應用于復習教學中，讓學生在問題解決過程中學會思考、學會探究、學會合作，從而讓學生走上真學之路，有效地提升課堂教學效能.筆者在“尺規作圖的復習”教學中，以“問題解決”為主線，通過問題引導學生自主探究，取得了較好的教學效果，現將教學過程簡單地呈現給同行，供參考.

課前分析

尺規作圖是初中生應具備的一種基本能力.本節課作為初三的一節復習課，旨在通過對五種基本作圖及較復雜的尺規作圖問題的深入研究，讓學生把握尺規作圖的本質，提高學生的作圖識圖能力.

雖然學生已經學過，且已掌握五種基本作圖，并具有一定的解決綜合性問題的能力，但是學生面對復雜的作圖問題時，還是會出現障礙，并因思維受阻而陷入僵局.基于此，本節課的教學目標是讓學生靈活運用基本作圖的策略和方法去解決較為復雜的尺規作圖問題，感悟類比、轉化等數學思想方法的價值，培養學生的邏輯推理、直觀想象等綜合素養.

教學過程

1.動畫引入，激發興趣

動畫演示：教師用幾何畫板演示長方形ABCD沿過點B的直線翻折的過程（如圖1）.

問題 結合以上翻折過程說一說點A的運動軌跡是什么.如果折痕位置確定，你能找到點A嗎？反過來，如果給出點A，如何確定折痕呢？

教學說明 復習教學若一直延續著“梳理—練習”這一單一模式，很容易讓學生產生枯燥乏味的感覺，影響教學效果.而借助多媒體直觀、動態、形象的教學優勢，可以快速吸引學生的注意力，激發學生探究尺規作圖的熱情.

2.復習回顧，促進生長

問題 利用沒有刻度的直尺和圓規可以作哪些基本圖形？說一說作圖步驟及理由.

師生活動 教師先讓學生動手做一做，然后通過交流總結五種基本尺規作圖的步驟及作圖的理由.

教學說明 在問題的引領下讓學生通過動手操作回顧五種基本尺規作圖的方法，反思五種基本尺規作圖的過程及緣由.在此過程中，教師將回顧、梳理、總結、歸納的機會交給學生，讓學生通過獨立思考、動手實踐、合作交流等活動理解尺規作圖的精髓，從而為解決復雜的尺規作圖問題打下堅實的基礎.

3.活動探究，提升能力

活動1 如圖2，過點P作已知直線的平行線.（保留作圖痕跡）

問題1 由什么可以得到平行線？

問題2 結合作圖過程說一說你應用了哪幾種基本尺規作圖.

學生活動 在問題的引領下，學生積極思考，并給出了不同的作圖方案（如圖3）.

教學說明 開放探究問題的創設，為學生提供了廣闊的探索空間，使學生的思維更加活躍.教學中，教師沒有直接讓學生操作，而是讓學生思考“由什么可以得到平行線”，引導學生執果索因，培養思維的深刻性.同時，探尋多種解決問題的方案，不僅可以發散思維，提升教學效果，而且可以讓學生進一步體會到，無論應用哪種作圖方案，最終都會回歸于五種基本作圖方法，由此明確復雜的尺規作圖均可以轉化為五種基本尺規作圖，幫助學生認清尺規作圖的本質.

活動2 如圖4，請按照如下要求作圖.（作圖工具：不帶刻度的直尺和圓規）

（1）如圖①，已知△АBC（AC

（2）在圖②中作Rt△DEF，使直角邊EF落在BC上，且△DEF的周長等于線段BC的長.

圖4

問題1 若想構造等長線段，可以應用什么性質？

問題2 在分析尺規作圖問題時，畫“成型圖”是一種有效的解決方案.假設已知Rt△DEF，怎樣畫出它的“成型圖”呢？

追問 在作△DEF時，D，E，F這三個點應該按照怎樣的順序來確定呢？

問題3 請說一說你的作圖過程、作圖理由，并說一說作圖過程中用到了哪些基本圖形.

師生活動 教師投影展示學生的作圖結果（如圖5、圖6），并讓學生陳述作圖過程

教學說明 以上兩個問題呈現遞進關系，活動1的作圖經驗為活動2的解決提供了前提.探究活動1時，在問題的驅動下，學生易于發現利用平行線的性質是構造等長線段的有效途徑，由此打開解題的突破口.在研究問題2時，教師讓學生體會“成型圖”的價值，從而為復雜作圖問題的解決提供方法.問題解決后，教師繼續讓學生思考作圖過程中應用了哪幾種基本作圖方法，由此進一步讓學生體驗復雜的尺規作圖問題實質是基本圖形的組合.

活動3 如圖7，將矩形ABCD折疊，使BC落在對角線BD上，折痕為BE.你能用尺規畫出折痕BE嗎？

問題1 觀察圖7，你能想象折痕BE在哪里嗎？

問題2 你還能想到其他方法嗎？

師生活動 從學生反饋來看，他們根據翻折的性質，很快確定其折痕為∠DBC的平分線，由此通過作角平分線得到了圖8①.方法1給出后，教師又鼓勵學生尋求另外一種作圖方法，于是學生結合等腰三角形的性質，確定點C折疊后的位置后，通過作線段的中垂線畫出了折痕，如圖8②.

教學說明 引導學生由翻折經驗直觀地感知折痕，并根據翻折的性質明確作圖方法與策略.在此過程中，學生給出一種解決方案后，教師鼓勵學生尋求另外一種解決問題的方案，以此發散學生的思維，幫助學生積累豐富的作圖經驗，培養學生觀察、思考和表達的能力，提升學生的數學素養.

活動4 如圖9，在矩形ABCD中，點E，F分別在邊AD，AB上.用直尺和圓規在線段AB上確定所有的點F，使得△AEF與以點B，F，C為頂點的三角形相似.（請保留作圖痕跡）

教學說明 作圖時，學生應先嘗試畫出草圖，然后執果索因，這往往是解決復雜尺規作圖問題的關鍵.活動4是一道綜合作圖題，具有一定的開放性和探究性，有助于培養學生的推理能力和直觀想象能力.

教學思考

在本課教學中，教師打破以教師講授為主的被動的、低效的教學模式，關注學生觀察能力、探究能力、表達能力、總結概括能力等綜合能力的培養.教學中，教師從整體出發，通過環環相扣的問題將課堂推向一個又一個高潮.

在引入環節，教師借助幾何畫板直觀、形象、生動等教學優勢點燃了學生數學探究的熱情，為學生營造了一個寬松的、和諧的學習氛圍，為課堂的高效生成打下了堅實的基礎.在復習回顧環節，學生在問題的引領下主動去探索、去歸納、去總結，以此通過積極參與讓學生明晰了基本作圖的過程和緣由，為接下來的探究活動做好了知識儲備.在探究環節，教師聚焦于鞏固基本作圖，通過活動引導學生分別研究了與三角形、四邊形和圓有關的三類作圖問題，讓學生明晰復雜作圖問題實質上就是若干基本作圖的組合.以上教學環節緊密聯系、環環相扣，通過有效問題的創設緊緊地吸引了學生的注意力，讓學生在思考、實踐、反思中領悟了尺規作圖的本質，強化了轉化、類比的數學思想方法，促進了學生數學能力的提升和數學核心素養的落實.

總之，復習教學中，教師要避免簡單的知識羅列和機械的試題練習，應重視設計系統且有內在聯系的問題，以此讓學生在問題的引領下主動思考、探索與實踐，在鞏固知識的同時，獲得新的生長，提升數學素養.